Ejercicios: Interés compuesto y variación porcentual

Escribe el índice de variación que corresponde a cada una de estas variaciones porcentuales:

1. a) Un aumento del $25\ \%$.

1. b) Una disminución del $15\ \%$.

1. c) Un aumento del $3\ \%$.

1. d) Una disminución del $60\ \%$.

1. e) Un aumento del $130\ \%$.

¿Qué aumento o disminución porcentual corresponde a cada uno de estos índices de variación?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Aplica el índice de variación correspondiente para calcular el valor final:

1. a) Una entrada de festival que cuesta $\$80$ sube un $15\ \%$.

1. b) Unos tenis de $\$64$ se rebajan un $25\ \%$.

1. c) El alquiler de $\$950$ al mes de un local sube un $4\ \%$.

Un ahorrador deposita $\$2.000$ en un depósito al $4\ \%$ anual de interés compuesto, es decir, cada año los intereses se suman al capital y también generan intereses.

1. a) ¿En cuánto se convierte el capital al final del primer año?

1. b) ¿Y al final del segundo año?

1. c) ¿Por qué el aumento del segundo año es mayor que el del primero, si el porcentaje es el mismo?

Los porcentajes pueden ser mayores que $100\ \%$:

1. a) La población de un barrio nuevo ha aumentado un $150\ \%$ en diez años. ¿Cuál es el índice de variación? Si había $1.200$ habitantes, ¿cuántos hay ahora?

1. b) La reserva de puntos de un club se ha triplicado. ¿A qué aumento porcentual equivale?

1. c) ¿Es lo mismo «aumentar un $200\ \%$» que «duplicar»? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\ \%$:

1. a) Una entidad cobra una comisión del $0,3\ \%$ por cada transferencia urgente. ¿Cuánto cobra por una transferencia de $\$4.500$?

1. b) En una piscina olímpica de $2.500.000\ \text{L}$ de agua, el $0,02\ \%$ corresponde al agua que se renueva a diario por los aportes de cloro y equilibrado. ¿Cuántos litros son?

1. c) Expresa el $0,5\ \%$ como índice de variación y como fracción.

En una tienda de ropa en periodo de rebajas, un abrigo cuesta inicialmente $\$90$. En la primera semana se le aplica un descuento del $20\ \%$, y en la segunda semana se le aplica un descuento adicional del $15\ \%$ sobre el precio que ya estaba rebajado.

Marcos calcula el precio final sumando ambos porcentajes: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$, por lo que aplica un único índice de variación de $1 - 0,35 = 0,65$ y afirma que el abrigo cuesta $90 \cdot 0,65 = \$58,50$.

1. a) Identifica y explica razonadamente el error conceptual de Marcos. ¿Sobre qué cantidad se debe aplicar en realidad el segundo descuento?
2. b) Escribe los índices de variación de cada rebaja y calcula, mediante índices encadenados, el precio final correcto del abrigo.
3. c) Sin fijarte solo en el número obtenido, razona por qué el precio real resulta más caro de lo que calculó Marcos.

El recibo bimestral del agua de una familia ha subido un $5\ \%$ debido a un recargo extraordinario por sequía, alcanzando un importe final de $\$42$.

1. a) Antes de realizar operaciones complejas, haz una estimación mental: ¿el precio antes de la subida era de aproximadamente $\$40$, $\$35$ o menos? Justifica tu respuesta calculando mentalmente cuánto representaría un aumento del $5\ \%$ sobre $\$40$.
2. b) Escribe el índice de variación asociado al aumento y calcula el precio original exacto dividiendo el importe final entre dicho índice.
3. c) Comprueba si el resultado exacto valida tu estimación. Si a los $\$42$ finales les restaras directamente el $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$), ¿obtendrías el precio original? Realiza la comprobación numérica y razona por qué no coinciden.

Una tienda sube el precio de sus productos un $20\ \%$ y, un mes después, los rebaja un $20\ \%$.

1. a) Unos auriculares costaban inicialmente $\$50$. ¿Cuánto cuestan tras la subida? ¿Y tras la rebaja?

1. b) Calcula el índice de variación total multiplicando los índices de cada variación.

1. c) ¿Han vuelto los precios al valor inicial? ¿Cuál ha sido la variación porcentual total?

Unos abuelos depositan $\$3.000$ en una cuenta de ahorro al $5\ \%$ anual de interés compuesto para su nieta.

1. a) Escribe la expresión que da el capital final al cabo de $4$ años usando una potencia.

1. b) Calcula el capital final con la calculadora.

1. c) ¿Cuántos dólares corresponden a intereses?

Tras aplicarle una rebaja del $25\ \%$, un abrigo cuesta $\$54$.

1. a) ¿Cuál es el índice de variación de la rebaja?

1. b) Calcula el precio inicial dividiendo entre el índice de variación.

1. c) Comprueba el resultado aplicando la rebaja al precio inicial que has obtenido.

Compara dos formas de invertir $\$1.000$ durante $3$ años al $6\ \%$ anual, como se muestra en la figura:

• Interés simple: cada año se generan los mismos intereses sobre el capital inicial.

• Interés compuesto: cada año los intereses se suman al capital.

1. a) Calcula el capital final con interés simple.

1. b) Calcula el capital final con interés compuesto.

1. c) ¿Qué diferencia hay? ¿De dónde sale esa diferencia?

Un banco ofrece un depósito de $\$1.200$ al $6\ \%$ anual con pago de intereses cada mes (interés compuesto mensual).

1. a) ¿Qué porcentaje de interés se aplica cada mes?

1. b) Escribe la expresión del capital final al cabo de $2$ años, teniendo en cuenta que hay $24$ periodos mensuales.

1. c) Calcula el capital final y compáralo con el que se obtendría con pago de intereses anual: $1.200 \cdot 1,06^2$. ¿Cuál es mayor?

Las acciones de una empresa tecnológica subieron un $40\ \%$ el primer año, bajaron un $30\ \%$ el segundo y subieron un $10\ \%$ el tercero.

1. a) Calcula el índice de variación de cada año y el índice de variación total de los tres años.

1. b) Si un paquete de acciones valía $\$2.500$ al principio, ¿cuánto vale al final del tercer año?

1. c) ¿Cuál ha sido la variación porcentual total? ¿Por qué no coincide con la suma de los tres porcentajes?

Una cuenta de ahorro para jóvenes ofrece un interés compuesto del $3\ \%$ anual. Una persona ingresa $\$1.500$ y decide no tocar el dinero durante $4$ años. Dos estudiantes proponen dos caminos distintos para calcular el capital acumulado al final del periodo:

• Elena propone el método paso a paso: calcular el $3\ \%$ de $\$1.500$ y sumarlo; al resultado obtenido, calcularle de nuevo el $3\ \%$ y sumarlo, repitiendo el proceso cuatro veces consecutivas.

• Lucía propone el método global: plantear la fórmula del interés compuesto utilizando el índice de variación: $C_f = 1.500 \cdot 1,03^4$.

1. a) Demuestra algebraicamente que ambos métodos dan el mismo resultado sacando factor común en los dos primeros años del método de Elena.
2. b) Compara ambos caminos: ¿cuáles son las ventajas e inconvenientes de cada uno? Si el plazo fuera de $20$ años, ¿cuál elegirías y por qué?
3. c) Calcula el capital final acumulado y los intereses totales ganados tras los $4$ años utilizando el método que consideres más eficiente.

Según los datos del padrón del Instituto Nacional de Estadística (INE), un municipio rural de Zamora contaba con $1.200$ habitantes a fecha 1 de enero de 2020. Debido a la despoblación, su número de habitantes desciende a un ritmo constante estimado del $4\ \%$ anual.

1. a) Escribe la expresión algebraica que modeliza la población $P(t)$ en función de los años transcurridos $t$ desde 2020, indicando con claridad el índice de variación anual empleado.
2. b) Utiliza el modelo para estimar la población que tendrá el municipio el 1 de enero de 2024 (redondea el resultado al número entero de personas más próximo).
3. c) ¿Qué porcentaje total de población habrá perdido el pueblo en esos $4$ años? Compara este porcentaje global con la multiplicación directa $4\ \text{años} \cdot 4\ \% = 16\ \%$ y razona matemáticamente por qué la pérdida real acumulada es menor que el $16\ \%$.

El precio de la tarjeta de transporte de una ciudad ha bajado un $20\ \%$ con un subsidio estatal.

1. a) Si el pasaje sencillo costaba $\$1,55$, ¿cuánto cuesta ahora?

1. b) Si el subsidio se retira y el precio vuelve al inicial, ¿qué porcentaje debe subir el precio actual para recuperar el original?

1. c) Razona, usando índices de variación, por qué la respuesta no es el $20\ \%$, y enuncia la regla general: tras una bajada del $r\ \%$, ¿qué subida porcentual devuelve el precio al inicio?

Dos bancos ofrecen un depósito a un año para $\$5.000$:

• Banco A: $4,9\ \%$ anual con pago de intereses semestral (la mitad del porcentaje cada semestre, es decir, $2,45\ \%$, con interés compuesto).

• Banco B: $5\ \%$ anual con un único pago de intereses al final del año.

1. a) Calcula el capital final en el banco A, teniendo en cuenta que se aplica un $2,45\ \%$ cada semestre.

1. b) Calcula el capital final en el banco B.

1. c) La TAE (Tasa Anual Equivalente) es el porcentaje anual real que rinde un depósito teniendo en cuenta la frecuencia de los pagos. ¿Cuál es la TAE de cada oferta? ¿Qué banco es mejor?

Tarea de decisión. Inés ha ahorrado $\$900$ trabajando los fines de semana y quiere guardarlos durante $3$ años para comprarse una computadora al terminar el preuniversitario. Compara tres opciones, como se muestra en la figura:

• Opción 1: cuenta joven al $2\ \%$ anual de interés simple.

• Opción 2: depósito al $1,8\ \%$ anual de interés compuesto.

• Opción 3: letras al $2,5\ \%$ anual de interés compuesto, pero con una penalización de $\$15$ si se retira antes de los $3$ años.

1. a) Calcula el capital final de cada opción.

1. b) ¿Cuántos dólares de diferencia hay entre la mejor y la peor opción?

1. c) Inés cree que quizá necesite el dinero antes de los $3$ años para un curso de verano. ¿Cambia eso tu recomendación? Razona tu decisión.

El precio del menú del día en un barrio siguió la inflación: subió un $6\ \%$ en 2023, un $3,5\ \%$ en 2024 y un $2\ \%$ en 2025. En 2022 el menú costaba $\$11$.

1. a) Calcula el precio del menú al final de cada año usando índices de variación.

1. b) ¿Qué porcentaje total subió el menú en los tres años?

1. c) El salario de los trabajadores del barrio solo subió un $9\ \%$ en ese período. ¿Ganaron o perdieron poder adquisitivo para pagar el menú? Justifícalo comparando índices de variación.

Una cooperativa agraria solicitó un préstamo de $\$8.000$ a devolver de una sola vez al cabo de $3$ años mediante un sistema de interés compuesto anual para renovar su maquinaria. Al cumplirse el plazo de los $3$ años, la cooperativa cancela la deuda abonando un total de $\$9.528,13$ (capital inicial más intereses acumulados).

1. a) Plantea la ecuación del interés compuesto donde la única incógnita sea el índice de variación anual $I_v$.
2. b) Despeja $I_v$ utilizando la raíz cúbica y determina la tasa de interés anual nominal $r\ \%$ que aplicó la entidad financiera (redondea $r$ al número entero).
3. c) Si en el contrato se hubiera pactado liquidar los intereses mensualmente en lugar de anualmente con esa misma tasa $r\ \%$, escribe la expresión completa que permitiría calcular el importe total a devolver tras los $36$ meses. Razona si con capitalización mensual la cooperativa pagaría más o menos dinero que con la anual.

Durante un período de dos años consecutivos, la inflación en España según el IPC registró una subida del $6\ \%$ en el primer año y del $4\ \%$ en el segundo año. En ese mismo período, el convenio laboral de Irene fijó una subida salarial del $5\ \%$ el primer año y otro $5\ \%$ el segundo año. Irene afirma: «Como $5 + 5 = 10\ \%$ y la inflación también suma $6 + 4 = 10\ \%$, mi poder adquisitivo no ha variado en absoluto».

1. a) Detecta el error de Irene. Calcula el índice de variación acumulado de los precios (inflación) y el índice de variación acumulado del salario de Irene tras los dos años.
2. b) El índice de variación del poder adquisitivo se define como el cociente entre el índice salarial acumulado y el índice de precios acumulado: $I_p = \frac{I_{\text{sueldo}}}{I_{\text{precios}}}$. Calcula dicho valor con cuatro decimales y deduce el porcentaje exacto de poder adquisitivo que Irene ha ganado o perdido realmente.
3. c) Si el salario de Irene era de $\$1.500$ al inicio del bienio, calcula su salario final tras los dos años. A continuación, calcula qué porcentaje de subida única debería aplicarse a ese salario final para recuperar exactamente el poder adquisitivo que tenía al principio.

Reto del tema. Imagina que organizas la financiación de una cooperativa escolar y debes presentar un plan económico realista en una hoja de cálculo o documento digital.

1. Datos reales y variación: Consulta en la web del INE el dato oficial de inflación (IPC) interanual actual. Aplica esta variación porcentual para actualizar un presupuesto base de $1500$ dólares.

2. Modelización directa e inversa: Expresa la función directa del costo de transporte según la distancia ($y = 0,18x$). Después, con GeoGebra o una hoja de cálculo, representa la función de proporcionalidad inversa del costo por socio al alquilar un stand de $360$ dólares según el número de participantes ($y = 360/x$).

3. Reparto e intereses: Reparte $450$ dólares de ganancias de forma directamente proporcional a las horas dedicadas por tres miembros ($10$, $15$ y $25$ horas). Luego, compara en una tabla el capital final obtenido al depositar un fondo de $1000$ dólares durante $3$ años al $2,5$ % de interés simple frente a interés compuesto.

4. Propuesta final: Redacta un informe justificando qué fórmula de ahorro conviene más y adjunta tus tablas y gráficas.

Se valorará:

• Precisión matemática en los cálculos de porcentajes, repartos e intereses.

• Corrección técnica en la modelización y gráfica de la proporcionalidad inversa.

• Rigor al integrar el dato real del INE y coherencia en las conclusiones del informe.