Ejercicios: Progresiones aritméticas

Observa las siguientes secuencias de números. Tu tarea consiste en identificar cuáles de ellas son progresiones aritméticas.

Para aquellas que lo sean, indica cuál es la diferencia ($d$) constante entre sus términos y calcula el número que iría en la siguiente posición.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

En un supermercado están montando una exhibición de latas de tomate en forma de pirámide triangular plana contra una pared.

En la fila superior (la cima) colocan 1 lata. En la fila justo debajo colocan 2 latas, en la tercera fila 3 latas, y así sucesivamente, aumentando una lata por cada nivel que bajan.

Si la pirámide tiene un total de 8 filas de altura:

1. a) Escribe la sucesión que representa el número de latas en cada fila.
2. b) ¿Cuántas latas habrá en la última fila (la de la base)?

Dada la siguiente progresión aritmética:

1. Identifica el primer término ($a_1$) y la diferencia ($d$).

2. Utilizando la fórmula del término general $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcula el valor del término que ocupa la posición 20 ($a_{20}$).

Carla ha decidido ahorrar para comprarse una bicicleta nueva. En su alcancía ya tiene 50 dólares que le regalaron por su cumpleaños. Ha decidido que, a partir de la próxima semana, guardará 5 dólares de su dinero cada semana sin fallar.

1. a) Escribe los ahorros totales que tendrá Carla al final de la semana 1, semana 2, semana 3 y semana 4.
2. b) ¿De qué tipo de progresión se trata y cuál es la diferencia?
3. c) Calcula cuánto dinero tendrá acumulado en la semana 12.

Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que:

• El primer término es $a_1 = 3$.

• El último término a sumar es $a_{15} = 45$.

Recuerda utilizar la fórmula de la suma de una progresión aritmética:

En un restaurante se juntan mesas cuadradas para formar una mesa larga de celebración.

• Si se usa 1 mesa aislada, caben 4 personas (una por lado).

• Si se juntan 2 mesas, caben 6 personas.

• Si se juntan 3 mesas, caben 8 personas.

Observa el dibujo y responde:

1. a) ¿Cuántas personas caben si juntamos 4 mesas?
2. b) ¿Cuál es la diferencia constante de personas que caben por cada mesa extra que añadimos?
3. c) Calcula cuántas personas cabrían si juntamos una hilera de 10 mesas.

Halla el término general ($a_n$) de las siguientes progresiones aritméticas dadas por sus primeros términos. Exprésalo de la forma más simplificada posible (por ejemplo: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Una planta de bambú crece muy rápido y de manera constante bajo condiciones controladas de laboratorio.

El día 1, la planta mide 15 cm de altura.

El día 2, la planta mide 18 cm de altura.

Sabiendo que su crecimiento sigue una progresión aritmética:

1. a) ¿Cuántos centímetros crece la planta cada día ($d$)?
2. b) ¿Cuánto medirá la planta en el día 7?

En un examen de 3.º de ESO, se pide calcular el término que ocupa la posición 12 ($a_{12}$) en la progresión aritmética decreciente: $18, 14, 10, 6, \dots$

Claudia lo resuelve en su cuaderno de la siguiente manera:

«La diferencia es $d = 4$ porque los números van de 4 en 4.

Aplico la fórmula del término general: $a_{12} = a_1 + 12 \cdot d = 18 + 12 \cdot 4 = 18 + 48 = 66$.»

1. a) Encuentra y explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Claudia en su planteamiento.
2. b) Corrige el ejercicio paso a paso calculando el valor real de la diferencia $d$ y el valor correcto del término $a_{12}$.
3. c) Sin hacer operaciones complejas, ¿por qué resulta evidente que el resultado obtenido por Claudia ($66$) no tiene ningún sentido viendo los primeros términos de la sucesión?

Imagina que eres tú quien diseña los ejercicios para una prueba escrita de tu clase. Debes inventar dos progresiones aritméticas distintas que cumplan una misma condición: en ambas, el octavo término debe valer exactamente 30 ($a_8 = 30$).

1. a) Construye una primera progresión que sea creciente y cuya diferencia sea un número par ($d > 0$). Indica el valor que has elegido para $d$, calcula su primer término $a_1$ y escribe la expresión simplificada de su término general $a_n$.
2. b) Construye una segunda progresión que sea decreciente ($d < 0$) y cuyo primer término sea mayor que 50 ($a_1 > 50$). Muestra los valores elegidos para $d$ y $a_1$, y escribe su término general $a_n$.
3. c) Comprueba numéricamente en ambas progresiones que, al sustituir $n = 8$ en tus fórmulas, se obtiene exactamente 30.

Dada la sucesión aritmética formada por los números: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Escribe la fórmula del término general $a_n$.
2. b) Calcula el valor del término que ocupa la posición 30 ($a_{30}$).
3. c) Determina qué posición ocupa el número $127$ en esta sucesión.

En una progresión aritmética sabemos que el tercer término ($a_3$) vale $12$ y el octavo término ($a_8$) vale $27$.

Calcula la diferencia $d$ de la progresión y escribe el valor del primer término $a_1$.

Javier está ahorrando para comprarse una bicicleta nueva. La primera semana guarda $25$ dólares en su alcancía. Se ha propuesto aumentar la cantidad que guarda cada semana en $2,50$ dólares respecto a la semana anterior. Es decir, la segunda semana guarda $27,50$ dólares, la tercera $30$ dólares, y así sucesivamente.

Si mantiene este ritmo:

1. a) ¿Cuánto dinero tendrá que guardar en la alcancía la semana número 12?
2. b) ¿Cuánto dinero habrá acumulado en total al finalizar la semana 12?

Un auditorio tiene sus butacas dispuestas en forma de trapecio. La primera fila (la más cercana al escenario) tiene $15$ asientos. Cada fila siguiente tiene $2$ asientos más que la anterior.

Si el auditorio tiene un total de $20$ filas:

1. a) ¿Cuántos asientos tiene la última fila?
2. b) ¿Cuál es la capacidad total (número total de butacas) del auditorio?

Calcula la suma de todos los múltiplos de $3$ que hay entre el $100$ y el $200$.

Las medidas de los cuatro ángulos de un cuadrilátero forman una progresión aritmética. Sabiendo que el ángulo más pequeño mide $60^{\circ}$, calcula la medida de los otros tres ángulos.

Recuerda: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es siempre $360^{\circ}$.

En un almacén están apilando tubos de PVC formando una estructura triangular. En la fila inferior (la base) han colocado $18$ tubos. En la fila inmediatamente superior han puesto $17$ tubos, en la siguiente $16$, y así sucesivamente hasta coronar la pila con un único tubo en la cima.

1. a) ¿Cuántas filas de tubos se han apilado en total?
2. b) ¿Cuántos tubos hay en total en la estructura?

Queremos colocar $5$ postes de señalización en una carretera recta que une dos pueblos situados en el kilómetro $10$ y el kilómetro $28$ respectivamente. Los postes deben colocarse entre los dos pueblos de manera que la distancia entre poste y poste sea siempre la misma, y también sea igual a la distancia del primer pueblo al primer poste y del último poste al segundo pueblo.

Calcula en qué punto kilométrico exacto debe colocarse cada uno de los $5$ postes.

Para preparar la tradicional carrera de la San Silvestre Vallecana (10 km) en Madrid, Mateo planifica un entrenamiento de 14 días seguidos. El primer día corre $3\text{ km}$, y cada jornada decide aumentar la distancia recorrida en $0,5\text{ km}$ respecto al día anterior ($a_1 = 3$, $d = 0,5$).

1. a) Estima: Antes de calcular nada con fórmulas exactas, estima mentalmente si la distancia total acumulada durante los 14 días superará los $80\text{ km}$. Para razonar tu estimación, piensa en la distancia aproximada que correrá a mitad del plan (por ejemplo, el día 7) y multiplícala por los 14 días. Explica por qué este producto aproxima bien la suma total.
2. b) Calcula: Determina la distancia exacta que correrá el último día ($a_{14}$) y, aplicando la fórmula de la suma de una progresión aritmética $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, calcula los kilómetros totales que habrá recorrido al finalizar los 14 días.
3. c) Comprueba y valora: Compara tu estimación inicial con el resultado exacto. ¿Fue acertada tu predicción? ¿Qué relación matemática existe entre el valor del día intermedio y la media entre el primer y el último término $\frac{a_1 + a_{14}}{2}$?

Según registros de la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), en una atmósfera estable la temperatura disminuye de forma aproximadamente constante $0,65\,^\circ\text{C}$ por cada $100\text{ m}$ que se asciende en altitud (gradiente térmico vertical). En un día despejado de primavera, a las 11:00 h se registra una temperatura de $14,2\,^\circ\text{C}$ en el pueblo alpujarreño de Trevélez (Granada), situado a $1500\text{ m}$ de altitud. Se establecen puntos de control altimétricos cada $100\text{ m}$ de subida hacia Sierra Nevada: el punto 1 está a $1500\text{ m}$ ($a_1 = 14,2$), el punto 2 a $1600\text{ m}$, el punto 3 a $1700\text{ m}$, etc.

1. a) Modela la temperatura de los puntos de control como una progresión aritmética: identifica el valor de la diferencia $d$ y escribe la fórmula del término general $a_n$ en función del número de punto de control $n$.
2. b) El refugio de Poqueira se encuentra a una altitud de $2500\text{ m}$. ¿Qué número de punto de control $n$ le corresponde y qué temperatura se registrará allí a esa misma hora?
3. c) En esa misma ladera, ¿a qué altitud exacta se alcanzaría la temperatura de congelación ($0\,^\circ\text{C}$)? Justifica razonadamente si esa cota coincide exactamente con alguno de los puntos de control de la progresión o se sitúa entre dos de ellos.

Un parque de aventuras quiere instalar una nueva tirolina. El diseño de la estructura forma un triángulo rectángulo como se muestra en la figura. El ingeniero ha determinado que las longitudes de los tres lados del triángulo (la base en el suelo, el poste vertical y el cable de la tirolina) deben formar una progresión aritmética.

Si sabemos que la diferencia de dicha progresión es de $6\text{ m}$ (es decir, cada lado mide 6 metros más que el anterior), calcula:

1. La longitud de cada uno de los tres lados.

2. La longitud total de cable y material necesaria para formar el perímetro del triángulo.

(Pista: Recuerda el Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$ y plantea los lados en función de la diferencia).

En un almacén de suministros de fontanería, los tubos de PVC se apilan formando una estructura trapezoidal para ahorrar espacio y mantener el equilibrio.

En la fila inferior (la base) hay 35 tubos. En la fila superior (la cima) hay 5 tubos. Cada fila tiene un tubo menos que la fila inmediatamente inferior.

1. ¿Cuántas filas de altura tiene la pila?

2. ¿Cuántos tubos de PVC hay almacenados en total en esta estructura?

Los ángulos interiores de un pentágono convexo (polígono de 5 lados) están en progresión aritmética.

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un polígono se calcula con la fórmula $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, donde $n$ es el número de lados. Si el ángulo menor del pentágono mide $72^{\circ}$:

1. Calcula la diferencia $d$ de la progresión.

2. Determina cuánto mide el ángulo mayor.

3. Escribe la medida de los cinco ángulos.

Una ciclista está entrenando para una competición y sigue un plan de entrenamiento progresivo durante 14 días.

El plan establece que cada día debe recorrer una distancia determinada, aumentando esta distancia en una cantidad fija de kilómetros respecto al día anterior.

Sabemos que:

• El tercer día ($a_3$) recorrió 24 km.

• El último día ($a_{14}$) recorrió 79 km.

Responde razonadamente:

1. ¿Cuántos kilómetros recorrió el primer día?

2. ¿Cuál es el incremento diario de distancia ($d$)?

3. Calcula la distancia total acumulada que habrá recorrido al finalizar los 14 días de entrenamiento.

Tres números forman una progresión aritmética. Sabemos que su suma es igual a 33 y que su producto es igual a 1287.

Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las propiedades de las progresiones aritméticas (puedes llamar a los términos $x-d$, $x$ y $x+d$ para simplificar) y halla el valor de dichos tres números.

El patio de butacas de un auditorio de música tiene forma de trapecio isósceles. Debido a esta forma, cada fila tiene más asientos que la anterior.

• La primera fila (la más cercana al escenario) tiene 20 butacas.

• El auditorio tiene un total de 780 butacas.

• Cada fila tiene 2 butacas más que la fila inmediatamente anterior.

Utilizando las fórmulas de la suma de una progresión aritmética ($S_n$), plantea una ecuación de segundo grado para averiguar cuántas filas ($n$) tiene en total el auditorio.

Se quiere instalar una valla de seguridad en una carretera recta. Los postes de la valla se deben colocar a distancias regulares formando una progresión aritmética.

Sabemos que:

• El poste número 11 se encuentra en el punto kilométrico 5,4.

• La distancia entre el poste número 5 y el poste número 20 es de 450 metros ($0,45\text{ km}$).

Calcula:

1. La distancia de separación entre cada poste (diferencia de la progresión).

2. En qué punto kilométrico se colocará el primer poste.

Una empresa tecnológica ofrece dos tipos de contrato salarial a un ingeniero para un proyecto de 5 años (60 meses):

• Opción A: Un salario inicial de $\$1500$ mensuales, con un aumento de $\$20$ cada mes respecto al mes anterior (progresión aritmética mensual).

• Opción B: Un salario fijo de $\$24.000$ el primer año, con un aumento anual de $\$3.000$ cada año siguiente (progresión aritmética anual).

Calcula el total de dinero ganado en los 5 años completos con cada opción y determina cuál es la más beneficiosa económicamente para el ingeniero. (Nota: En la opción A debes sumar 60 términos; en la opción B debes sumar 5 términos anuales).

En una progresión aritmética no conocemos ni el primer término ni la diferencia, pero sabemos que el sexto término es 19 ($a_6 = 19$) y el décimo quinto término es 64 ($a_{15} = 64$). Necesitamos averiguar el término que ocupa la posición 40 ($a_{40}$).

Dos estudiantes de 3.º de ESO proponen dos estrategias diferentes:

• Método de Sergio: Plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado por $a_1 + 5d = 19$ y $a_1 + 14d = 64$, resolverlo para hallar $a_1$ y $d$, y luego calcular $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Método de Laura: Darse cuenta de que para pasar del término 6 al 15 se dan 9 pasos: $a_{15} = a_6 + 9d$. Despejar $d$ directamente de esa única ecuación y, a continuación, calcular $a_{40}$ avanzando desde $a_{15}$ con la fórmula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, sin calcular $a_1$.

1. a) Resuelve el problema siguiendo los pasos del método de Sergio hasta encontrar $a_{40}$.
2. b) Resuelve el problema siguiendo los pasos del método de Laura y comprueba si se llega a la misma solución.
3. c) Compara ambos métodos: ¿cuál consideras más eficiente y con menor riesgo de cometer errores de cálculo? Justifica tu respuesta.
4. d) Si además el problema te pidiera calcular la suma de los primeros 40 términos ($S_{40}$), ¿seguiría siendo el método de Laura más corto o el planteamiento de Sergio cobraría ventaja? Razona por qué.

Una empresa de reparto de paquetería urbana en La Habana renueva su flota con camionetas eléctricas bajo un contrato de arrendamiento de 24 meses (2 años). El primer mes de uso, una camioneta recorre $3200\text{ km}$ ($a_1 = 3200$). Debido al envejecimiento paulatino de las baterías y al mantenimiento, la empresa asume que cada mes la camioneta recorrerá una cantidad fija de kilómetros menos que el mes anterior, describiendo una progresión aritmética decreciente de diferencia $d$.

1. a) La empresa establece que, por rentabilidad logística, el kilometraje del último mes del contrato (mes 24) no debe ser inferior a $2050\text{ km}$ ($a_{24} \ge 2050$). Determina cuál es la máxima reducción mensual admisible (el valor límite de la diferencia $d$).
2. b) Asumiendo que la reducción mensual es exactamente esa diferencia límite hallada en el apartado anterior, calcula la distancia total acumulada que habrá recorrido la camioneta durante los 24 meses del contrato ($S_{24}$).
3. c) En una reunión de dirección, un directivo propone un objetivo comercial alternativo: «Manteniendo el inicio de $3200\text{ km}$ en el mes 1, debemos conseguir que la camioneta acumule un total de al menos $80\,000\text{ km}$ en los 24 meses, permitiendo que el kilometraje descienda mes a mes ($d < 0$)». Demuestra matemáticamente, a partir de las propiedades de la suma de una progresión aritmética, si la propuesta de este directivo es posible o matemáticamente inviable.