Ejercicios: Potencias de números racionales

Calcula el valor numérico de las siguientes potencias. Recuerda que debes elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado. Expresa el resultado como una fracción irreducible.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

En matemáticas, a veces necesitamos cambiar el signo del exponente para poder operar. Transforma las siguientes potencias para que tengan exponente positivo, invirtiendo la base cuando sea necesario. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia transformada.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia (no hace falta calcular el valor final).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Tenemos una baldosa cuadrada pequeña para un mosaico. El lado de la baldosa mide $\frac{2}{5}$ de metro. Calcula el área que ocupa esta baldosa expresando el resultado como una fracción.

Ayúdate del siguiente esquema visual:

Determina el signo (positivo o negativo) del resultado de las siguientes potencias sin necesidad de realizar el cálculo completo. Razona tu respuesta basándote en si la base es negativa y si el exponente es par o impar.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

A veces confundimos el tamaño de las fracciones cuando las elevamos a una potencia. Observa el siguiente gráfico que representa la unidad, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ y $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Basándote en la lógica anterior, ordena las siguientes potencias de menor a mayor:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

Encuentra el número que falta en cada hueco para que las igualdades sean ciertas. Escribe en tu cuaderno la igualdad completa.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Calcula las siguientes potencias que tienen el mismo exponente pero distinta base. Recuerda que puedes multiplicar las bases primero y elevar el resultado al exponente común. Expresa el resultado como una fracción simplificada.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

Darío escribe en la pizarra la siguiente resolución de un ejercicio propuesto por su profesora:

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

Al defender su respuesta, argumenta: «El signo menos del exponente convierte toda la potencia en un número negativo, y después solo tengo que darle la vuelta a la fracción y elevar al cuadrado».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Darío. Explica con claridad la diferencia entre lo que produce el signo menos de la base y lo que produce el signo menos del exponente.
2. b) Corrige el ejercicio calculando el valor exacto como fracción irreducible. Por último, razona qué signo habría tenido el resultado si el exponente inicial hubiese sido $-3$ en lugar de $-2$.

Sin realizar operaciones escritas detalladas en un primer momento, observa con atención estas tres potencias:

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Realiza una estimación razonada previa: determina cuáles de estas potencias darán un resultado menor que $1$ y cuáles darán un resultado mayor que $1$. Asimismo, anticipa si hay dos de ellas que vayan a dar exactamente el mismo valor final. Justifica tu predicción a partir de las propiedades de las fracciones y los exponentes negativos.
2. b) Calcula el valor numérico exacto de $A$, $B$ y $C$ en forma de fracción irreducible y contrasta los resultados con tu estimación inicial para comprobar si tu razonamiento era acertado.

Calcula el valor de las siguientes potencias transformándolas primero en potencias de exponente positivo. Recuerda que el resultado debe ser una fracción irreducible.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones y escribe el resultado como una única potencia de base racional. No hace falta que calcules el valor final, solo la potencia simplificada.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Tenemos una pelota de goma especial. Cada vez que rebota contra el suelo, alcanza una altura que es $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.

Si dejamos caer la pelota desde una altura de 2 metros:

1. a) Expresa mediante una potencia la altura que alcanza tras el cuarto rebote.
2. b) ¿Es esa altura mayor o menor que 0,3 metros? Justifica tu respuesta usando el cálculo de la potencia.

Simplifica las siguientes expresiones. Para ello, primero deberás descomponer las bases en factores primos para que todas las bases sean iguales, y después aplicar las propiedades de las potencias.

1. a) $(\frac{4}{9})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5$
2. b) $(\frac{25}{4})^3 : (\frac{5}{2})^{-2}$

Calcula el valor de $x$ en cada una de las siguientes igualdades para que sean ciertas. Piensa en las propiedades de las potencias de igual base.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Observa la figura de un cubo mágico. Supongamos que la arista de un cubo grande mide $L$.

Si reducimos la longitud de la arista a la mitad ($\frac{1}{2}L$), ¿cómo cambia su volumen?

1. a) Calcula el volumen del cubo original ($V_{grande}$) y del cubo reducido ($V_{pequeño}$) en función de $L$.
2. b) Expresa la relación $\frac{V_{pequeño}}{V_{grande}}$ como una potencia de base $\frac{1}{2}$.
3. c) Si el cubo grande tiene un volumen de $512 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen del cubo reducido?

Realiza las siguientes operaciones combinadas paso a paso, respetando la jerarquía de operaciones. Expresa el resultado final como una fracción irreducible.

$$ \left( \frac{2}{3} - 1 \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot 2^4 - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Si alguna es falsa, escribe la igualdad correcta.

1. a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$
2. b) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^5$
3. c) $(\frac{x}{y})^{-1} \cdot (\frac{y}{x})^{-1} = 1$
4. d) $\frac{a^3}{b^3} = (\frac{a}{b})^3$

En un informe del Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos sobre el seguimiento de la sequía, los técnicos estiman que el caudal de un afluente disminuye de forma regular durante los periodos secos: cada mes que pasa sin llover, el caudal pasa a ser $\frac{2}{3}$ del caudal del mes anterior. Los hidrólogos modelizan esta evolución con la expresión $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^t$, donde $C_0$ es el caudal actual (en $\text{m}^3/\text{s}$) y $t$ representa el tiempo en meses transcurridos ($t > 0$ meses futuros, $t < 0$ meses pasados).

1. a) Un técnico afirma que para calcular el caudal que llevaba el afluente hace 3 meses se debe aplicar el factor $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$. Calcula dicho factor en forma de fracción irreducible y explica el sentido físico y matemático de que al invertir la fracción el factor obtenido sea estrictamente mayor que $1$.
2. b) Si el caudal medido en la estación de aforo hoy es $C_0 = 16\text{ m}^3/\text{s}$, ¿cuál era el caudal estimado hace 2 meses ($t = -2$)? ¿Y cuál será dentro de 2 meses ($t = 2$)? Expresa ambos resultados como fracciones irreducibles.

Busca una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ y un número entero $n$ que cumplan simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{81}{16}$

2) El exponente $n$ es un entero negativo estrictamente menor que $-1$.

3) La fracción base verifica que $0 < \frac{a}{b} < 1$.

1. a) Deduce paso a paso todas las parejas posibles de valores de $\frac{a}{b}$ y de $n$, justificando cómo utilizas la descomposición en factores primos del numerador y del denominador.
2. b) Si no fuera obligatorio que la fracción fuese irreducible, ¿podrías encontrar otra base positiva distinta que diera el mismo resultado con otro exponente entero negativo? ¿Y qué ocurriría si permitiéramos que la base $\frac{a}{b}$ fuera negativa? Analiza y justifica las posibles soluciones adicionales que surgen en ambos casos.

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos y debe estar simplificado al máximo. Ten mucho cuidado con los signos de las bases y los paréntesis.

$$ \left[ \frac{(x^2 \cdot y^{-3})^{-2} \cdot (x^{-1} \cdot y^2)^3}{(x^3 \cdot y^{-4})^{-1}} \right]^{-2} $$

Calcula el valor exacto de la siguiente operación combinada con fracciones y exponentes enteros. Recuerda respetar la jerarquía de las operaciones y trabajar con fracciones irreducibles.

$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \cdot \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

En arquitectura, a menudo se utilizan diseños fractales donde una figura se repite a diferentes escalas. Imagina que diseñamos una vidriera triangular siguiendo este patrón:

Partimos de un triángulo equilátero de área $A$. En el paso 1, dividimos el triángulo en 4 triángulos iguales y quitamos el central (el triángulo invertido). En el paso 2, repetimos el proceso con los 3 triángulos que quedan, y así sucesivamente.

1. Escribe la potencia de base racional que representa la fracción de área que queda coloreada después del paso $n$.

2. Si el área inicial es de $256 \text{ cm}^2$, calcula el área restante después de 4 iteraciones.

Simplifica la siguiente expresión descomponiendo las bases en factores primos. El resultado debe expresarse como una única potencia o un producto de potencias de bases primas.

$$ \frac{27^{-2} \cdot (-12)^4 \cdot 9^{-1}}{18^3 \cdot (-3)^{-5}} $$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias de base racional:

1. a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
2. b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
3. c) $ \frac{2^x \cdot 2^3}{2^{-1}} = 32 $

Un cubo de Rubik estándar de $3 \times 3 \times 3$ está formado por pequeños cubos unitarios. Imagina que construimos cubos gigantes formados por cubitos de 1 cm de lado.

1. Si tenemos un cubo gigante cuyo volumen es $8^{4} \text{ cm}^3$, expresa la longitud de su arista como una potencia de base 2.

2. Si pintamos el exterior de ese cubo gigante, ¿cuántos cubitos unitarios tendrán al menos una cara pintada? Expresa el cálculo utilizando potencias y la resta de volúmenes.

Ordena los siguientes números de menor a mayor sin calcular su valor decimal, utilizando las propiedades de las potencias para compararlos (pista: intenta igualar las bases o los exponentes). Justifica tu respuesta paso a paso.

$$ A = 2^{60} \quad ; \quad B = 3^{40} \quad ; \quad C = 5^{30} \quad ; \quad D = (0,5)^{-50} $$

La capacidad de almacenamiento de las computadoras ha crecido exponencialmente.

Sabiendo que:

• 1 Kilobyte (KB) = $2^{10}$ bytes

• 1 Megabyte (MB) = $2^{10}$ KB

• 1 Gigabyte (GB) = $2^{10}$ MB

• 1 Terabyte (TB) = $2^{10}$ GB

Calcula cuántos archivos de música, que ocupan un promedio de $4 \cdot 10^6$ bytes cada uno, caben aproximadamente en un disco duro de 2 TB. Expresa el resultado en notación científica y como una potencia de base 2 aproximada (considerando $10^3 \approx 2^{10}$).

Para simplificar la siguiente expresión con fracciones y exponentes enteros:

$$E = \frac{\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^{-2}\right]^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{-5}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{-2}}$$

dos estudiantes de 3.º de ESO proponen dos estrategias diferentes:

• Estrategia de Lucía: Trabaja primero con los signos y las inversiones; pasa cada potencia a exponente positivo invirtiendo las fracciones individuales, descompone todas las bases en sus factores primos ($2$ y $3$) y simplifica la gran fracción resultante aplicando propiedades de potencias de exponente natural.

• Estrategia de Pablo: Mantiene la estructura de bases racionales unificando todo a potencias de base $\frac{3}{4}$. Para ello usa que $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$, que $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, analiza el signo global observando los exponentes pares e impares, y opera algebraicamente los exponentes enteros mediante las propiedades habituales antes de calcular ningún número grande.

1. a) Resuelve la expresión completa siguiendo el método de Lucía.
2. b) Resuelve la expresión completa siguiendo el método de Pablo.
3. c) Compara ambos caminos: ¿cuál minimiza el número de cálculos y reduce la posibilidad de cometer errores con fracciones complejas de varios niveles? Justifica cuál de los dos métodos recomendarías a un compañero.

Queremos construir una expresión con potencias de fracciones de la forma:

$$M = \frac{\left(\frac{x}{y}\right)^p \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^q}{\left(\frac{x}{y}\right)^r}$$

donde $x, y \neq 0$ y los exponentes $p, q, r$ son números enteros. La expresión debe verificar de forma simultánea las tres condiciones siguientes:

1) Al simplificarla aplicando propiedades de las potencias, el resultado final debe ser exactamente $\left(\frac{x}{y}\right)^{-3}$.

2) Al menos dos de los tres exponentes ($p, q, r$) deben ser números enteros estrictamente negativos.

3) El exponente $q$ no puede ser cero ($q \neq 0$).

1. a) Expresa la condición (1) como una ecuación algebraica que relacione los exponentes $p$, $q$ y $r$, transformando previamente la base $\frac{y}{x}$ en una potencia de base $\frac{x}{y}$.
2. b) Encuentra una terna de números enteros $(p, q, r)$ que satisfaga todas las condiciones exigidas y comprueba la validez de tu solución.
3. c) Un compañero sostiene que es imposible encontrar una terna válida si se añade una cuarta condición: $p + q + r = 1$. Demuestra de forma razonada si la afirmación de tu compañero es verdadera o falsa planteando el sistema correspondiente.