Ejercicios: Operaciones con potencias

Escribe las siguientes multiplicaciones repetidas en forma de potencia y, posteriormente, calcula su valor numérico. Recuerda que la base es el número que se repite y el exponente indica cuántas veces aparece.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Utiliza las propiedades del producto de potencias con la misma base para simplificar estas expresiones y dejarlas como una única potencia. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia resultante.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Aplica la propiedad del cociente (división) de potencias con la misma base para reducir las siguientes expresiones a una sola potencia. Recuerda que debes restar los exponentes.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Tenemos un cubo de Rubik clásico. Sabemos que en cada arista (lado) hay 3 piezas pequeñas.

Expresa mediante una potencia cuántas piezas pequeñas forman el cubo total y calcula el valor.

Observa el dibujo para ayudarte:

Calcula el valor de las siguientes potencias teniendo en cuenta las propiedades de la potencia de exponente 0 y de la potencia de base 1. Ten cuidado con los signos.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Simplifica las siguientes expresiones utilizando la propiedad de la potencia de una potencia. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

En estos casos, las bases son diferentes pero los exponentes son iguales. Aplica las propiedades correspondientes para agrupar las bases y expresar el resultado como una única potencia.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Simplifica al máximo las siguientes expresiones combinando las propiedades de las potencias que has aprendido (producto y cociente de bases iguales). Expresa el resultado como una sola potencia.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

En un examen de 3.º de ESO, Clara debe simplificar la operación $2^3 \cdot 2^4$. Escribe en su cuaderno el siguiente desarrollo:

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2)^{3+4} = 4^7$$

1. a) Identifica y describe los dos errores conceptuales distintos que ha cometido Clara en su procedimiento.
2. b) Explica, recurriendo al significado básico de potencia como multiplicación repetida (sin limitarte a citar la fórmula de memoria), por qué al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes pero la base se mantiene invariable.
3. c) Corrige el ejercicio escribiendo la solución adecuada en forma de una única potencia de base 2 y calcula su valor numérico final.

Diseña tres operaciones aritméticas distintas cuyo resultado final sea exactamente la potencia $3^8$, cumpliendo obligatoriamente en cada caso la condición que se indica:

1. a) Un producto de dos potencias de base 3 donde ningún exponente sea un número par.
2. b) Una división entre dos potencias que tengan distinta base y el mismo exponente.
3. c) Una potencia de otra potencia donde uno de los exponentes involucrados sea un número entero negativo.

Justifica en cada apartado la propiedad de las potencias que garantiza que tu propuesta da exactamente $3^8$.

Calcula el resultado de la siguiente expresión, aplicando las propiedades de las potencias antes de calcular el valor final. Fíjate bien en que todas las bases son el mismo número negativo:

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Recuerda que cuando un número no lleva exponente visible, este es 1.

Simplifica la siguiente operación y expresa el resultado como una única potencia de base 2. Para ello, primero tendrás que descomponer en factores primos las bases que no sean números primos:

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Tenemos un cuadrado cuyo lado mide $2^4$ centímetros.

1. Expresa el perímetro del cuadrado como una única potencia de base 2 (no hace falta que calcules el número final, solo la potencia).

2. Expresa el área del cuadrado como una única potencia de base 2.

Opera y simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias con base racional. Expresa el resultado como una fracción irreducible con exponente positivo:

$$ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^5 \right] : \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de 1 TB (Terabyte). Sabiendo que las equivalencias aproximadas en el sistema binario son:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Si una fotografía de alta calidad ocupa $2^4$ MB, ¿cuántas fotografías caben en total en el disco duro? Expresa el resultado como una potencia de base 2.

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos:

$$ \frac{a^3 \cdot b^{-4} \cdot a^{-2}}{a^5 \cdot b^{-6}} $$

Calcula el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para igualar los exponentes:

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Simplifica la siguiente fracción numérica descomponiendo primero las bases en factores primos y aplicando después las propiedades de las potencias:

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Para simplificar y calcular el valor numérico de la expresión $\frac{12^4 \cdot 5^4}{30^3}$, Sergio y Alba debaten sobre qué estrategia es más conveniente:

• Sergio propone descomponer previamente todas las bases en sus factores primos ($12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$) y utilizar las propiedades del producto y cociente de potencias con la misma base.

• Alba propone aplicar primero la propiedad de potencias con el mismo exponente en el numerador para agruparlo como $(12 \cdot 5)^4 = 60^4$, y luego expresar 60 como $2 \cdot 30$ para operar con la base 30 del denominador.

1. a) Resuelve la expresión siguiendo paso a paso la propuesta de Sergio.
2. b) Resuelve la expresión aplicando la estrategia propuesta por Alba.
3. c) Compara ambos caminos: ¿cuál de los dos métodos consideras más eficiente para este caso concreto? Razona tu elección analizando el volumen de cálculos y el riesgo de equivocarse en cada uno.

El Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico (MITECO) coordina las labores de reforestación en una comarca de la Sierra de Gata (Extremadura). Para organizar la repoblación de árboles autóctonos, el terreno se ha dividido en $3^3$ parcelas principales. Dentro de cada parcela se han habilitado $9^2$ sectores, y en cada uno de estos sectores se han plantado exactamente 27 plantones de encina.

1. a) Plantea una única operación combinada con potencias que represente el número total de encinas plantadas en la comarca.
2. b) Descompón las bases en factores primos y aplica las propiedades de las potencias para expresar el número total de encinas como una única potencia de base 3. ¿Cuántos árboles se han plantado en total?
3. c) Durante las primeras semanas, cada plantón necesita recibir $3^{-2}$ litros de agua por hora mediante un sistema de riego localizado. Expresa como una única potencia de base 3 cuántos litros de agua consume en una hora la plantación completa.

Simplifica la siguiente expresión hasta obtener una única potencia de base prima positiva. Para ello, deberás aplicar las propiedades de las potencias, descomponer las bases en factores primos y tener mucho cuidado con los signos y los exponentes negativos.

$$ \frac{(-2)^4 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 16}{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (-8)^{-2}} $$

Recuerda que descomponer números como el 16 y el 8 en base 2 es el primer paso clave.

Observa la siguiente secuencia de figuras generada mediante un proceso fractal.

1. Partimos de un cuadrado sólido de lado 1 metro (Iteración 0).

2. Dividimos el cuadrado en 4 cuadrados iguales y eliminamos el superior derecho (Iteración 1).

3. Repetimos el proceso con cada uno de los 3 cuadrados restantes (Iteración 2).

Calcula el área total (la suma de las áreas de los cuadrados negros) en la Iteración 5. Expresa el resultado como una única potencia.

Calcula el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación exponencial, utilizando las propiedades de las potencias para agrupar términos. Todas las bases pueden expresarse como potencias del mismo número primo.

$$ 27^2 \cdot 9^{-x} = \frac{1}{3^x \cdot 81} $$

Un servidor de almacenamiento de datos en la nube tiene una capacidad total de 16 Petabytes (PB). Sabiendo que las equivalencias informáticas son potencias de 2 (no de 10) según la siguiente tabla:

• $1 \text{ KB} = 2^{10} \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 2^{10} \text{ KB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ PB} = 2^{10} \text{ TB}$

Si un archivo de fotografía de alta resolución ocupa $2^{24}$ bytes, ¿cuántas fotografías caben en total en el servidor? Expresa el resultado como una potencia de base 2.

Sin utilizar la calculadora para hallar el valor final, ordena los siguientes números de menor a mayor. Para ello, deberás buscar un exponente común o una base común que te permita compararlos mentalmente.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Ayuda: Intenta expresar todos los exponentes como múltiplos de un mismo número (busca el máximo común divisor de los exponentes).

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos ni paréntesis.

$$ \left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-3} : \left( \frac{a^3}{b^2} \right)^2 $$

Un cubo de Rubik gigante está formado por pequeños cubitos unitarios. Sabemos que el volumen total del cubo grande es de $27^4$ unidades cúbicas.

1. Expresa la longitud de la arista del cubo grande como una potencia de base 3.

2. Si pintamos la cara exterior de cada cubito unitario de rojo, ¿cuál es el área total pintada de rojo en todo el cubo gigante? Expresa el resultado en la forma $2 \cdot 3^n$.

(Recuerda que el cubo grande tiene 6 caras y el área de una cara es lado $\cdot$ lado).

Calcula el valor exacto de la siguiente operación combinada, aplicando primero las propiedades de las potencias y transformando a notación científica estándar antes de operar.

$$ \frac{ 3,5 \cdot 10^{-5} + 150 \cdot 10^{-7} }{ 0,02 \cdot 10^4 \cdot (10^{-2})^3 } $$

Expresa el resultado final en notación científica.

La Oficina Nacional de Estadística e Información (ONEI) custodia copias de seguridad de datos censales en dos centros de servidores independientes, denominados nodo A y nodo B:

• El nodo A contiene almacenados $8^7$ bloques de datos.

• El nodo B contiene almacenados $4^{11}$ bloques de datos.

1. a) Antes de realizar cálculos por escrito, haz una estimación intuitiva razonada: ¿cuál de los dos nodos crees que contiene más bloques de datos? Explica qué elemento ha pesado más en tu primera impresión (¿el valor de la base o la magnitud del exponente?).
2. b) Comprueba rigurosamente tu estimación: expresa la cantidad de bloques de cada nodo como una potencia de base 2 aplicando la descomposición factorial y la propiedad de potencia de una potencia.
3. c) Calcula el cociente entre el nodo de mayor capacidad y el de menor capacidad. ¿Cuántas veces más información alberga uno respecto al otro?
4. d) A la vista del resultado, explica por qué al comparar magnitudes exponenciales la intuición visual basada únicamente en el tamaño aparente de la base suele inducir a error.

Un equipo de ciberseguridad en León genera códigos de acceso cifrados. Un código maestro $K$ se define a partir de la siguiente expresión:

$$K = \frac{15^a \cdot 18^b}{10^c \cdot 12^d}$$

donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son números enteros positivos.

Al simplificar la expresión descomponiendo las bases en factores primos y aplicando las propiedades de las potencias, los analistas observan que las bases 2 y 5 se cancelan totalmente (sus exponentes resultantes son iguales a 0), de modo que el resultado final queda simplificado como $K = 3^6$.

1. a) Descompón las bases compuestas ($15$, $18$, $10$ y $12$) en factores primos y escribe la expresión agrupando los exponentes de las bases 2, 3 y 5 en función de las incógnitas $a$, $b$, $c$ y $d$.
2. b) Escribe las igualdades que deben verificar los exponentes de las bases 2 y 5 para que ambos se cancelen en el resultado final.
3. c) Si la configuración del sistema fija que $c = 1$ y $d = 1$, deduce razonadamente los valores numéricos exactos que deben tener los exponentes $a$ y $b$, y comprueba paso a paso que el valor obtenido para $K$ coincide con $3^6$.