Ejercicios: Notación científica

Calcula el valor de las siguientes potencias. Presta mucha atención al uso de los paréntesis y al signo de la base, ya que es uno de los errores más comunes en este tema.

1. a) $2^4$
2. b) $(-2)^4$
3. c) $-2^4$
4. d) $(-3)^3$
5. e) $-3^3$
6. f) $5^0$

Observa la siguiente imagen que representa geométricamente la diferencia entre $2^2$ y $2^3$. ¿Podrías dibujar en tu cuaderno cómo se representaría $3^2$?

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones y dejarlas como una única potencia. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia resultante.

Recuerda que:

• Para multiplicar potencias de la misma base, sumamos los exponentes.

• Para dividir potencias de la misma base, restamos los exponentes.

• Para elevar una potencia a otra potencia, multiplicamos los exponentes.

1. a) $3^5 \cdot 3^2$
2. b) $7^8 : 7^3$
3. c) $(2^3)^4$
4. d) $x^4 \cdot x \cdot x^2$
5. e) $\frac{5^7}{5^2}$
6. f) $(10^2)^3 \cdot 10^4$

Transforma las siguientes potencias de exponente negativo en fracciones con exponente positivo, y viceversa. Calcula el valor final cuando sea posible.

Este ejercicio te ayudará a manejar con soltura la propiedad $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. a) $2^{-3}$
2. b) $5^{-2}$
3. c) $\frac{1}{3^2}$
4. d) $10^{-1}$
5. e) $\frac{1}{2^{-4}}$
6. f) $(\frac{2}{3})^{-2}$

Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Si alguna es falsa, escribe la expresión correcta en tu cuaderno.

1. a) $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$
2. b) $3^{-2} = -9$
3. c) $(5^2)^3 = 5^6$
4. d) $\frac{a^5}{a^5} = 0$
5. e) $4^2 \cdot 3^2 = 12^2$

En nuestro día a día, y especialmente en la tecnología, utilizamos números muy grandes. Escribe en notación científica las siguientes cantidades relacionadas con las redes sociales e internet.

Recuerda que la notación científica tiene la forma $a \cdot 10^n$, donde $1 \le a < 10$.

1. a) Número de visualizaciones del video más visto del mes: 12.500.000 visualizaciones.
2. b) Cantidad de bytes en un Terabyte (TB): 1.000.000.000.000 bytes.
3. c) Número aproximado de usuarios de una red social: 2.900.000.000 usuarios.
4. d) Tu edad en segundos (aproximadamente, calculando 14 años): 441.500.000 segundos.

Ahora vamos a trabajar con lo muy pequeño. La biología y la física utilizan la notación científica para medir cosas que no podemos ver a simple vista.

Escribe en notación científica las siguientes medidas:

1. a) El diámetro de un glóbulo rojo: 0,0000075 metros.
2. b) El tamaño aproximado de un virus de la gripe: 0,00000012 metros.
3. c) La masa de un grano de polvo fino: 0,00000067 gramos.
4. d) El tiempo que tarda la luz en recorrer un metro: 0,0000000033 segundos.

Observa la imagen para visualizar la escala microscópica:

Convierte los siguientes números dados en notación científica a su forma decimal (número estándar).

1. a) $3,5 \cdot 10^4$
2. b) $1,2 \cdot 10^6$
3. c) $5,4 \cdot 10^{-3}$
4. d) $8,9 \cdot 10^{-5}$

Ordena los siguientes números de menor a mayor. Para ello, fíjate bien en el exponente de la potencia de 10. Si los exponentes son iguales, compara el número decimal.

$$ 3,2 \cdot 10^5 \quad ; \quad 1,5 \cdot 10^6 \quad ; \quad 8,9 \cdot 10^4 \quad ; \quad 3,1 \cdot 10^5 $$

Utiliza el símbolo $<$ para escribir la respuesta final.

Para expresar el número $0,0045 \cdot 10^5$ en notación científica, Lucía razona así en su cuaderno:

«Para que haya una sola cifra distinta de cero antes de la coma, muevo la coma tres posiciones a la derecha. Como he movido la coma hacia la derecha tres lugares, sumo 3 al exponente de la potencia de diez. Por tanto:

$$0,0045 \cdot 10^5 = 4,5 \cdot 10^{5+3} = 4,5 \cdot 10^8»$$

1. a) Explica detalladamente por qué la expresión de partida $0,0045 \cdot 10^5$ no cumple con la definición de notación científica.
2. b) Localiza el error en el razonamiento de Lucía al modificar el exponente y explica cómo se compensa realmente el desplazamiento de la coma para que el valor del número no varíe.
3. c) Escribe el procedimiento correcto paso a paso y da el resultado final tanto en notación científica como en número decimal ordinario.

Queremos obtener como resultado exacto el número $3,6 \cdot 10^{-2}$.

1. a) Inventa dos números, $A$ y $B$, ambos correctamente expresados en notación científica, de forma que el orden de magnitud de $A$ sea $-5$ y se verifique que $A \cdot B = 3,6 \cdot 10^{-2}$.
2. b) Muestra cómo has deducido la mantisa y el orden de magnitud de $B$ a partir del valor de $A$ que has elegido.
3. c) ¿Sería posible elegir un número $A$ con orden de magnitud $-5$ de tal forma que el orden de magnitud de $B$ tuviera que ser exactamente $2$? Razona tu respuesta teniendo en cuenta los posibles valores que puede tomar el producto de dos mantisas válidas (recuerda que cada mantisa debe estar en el intervalo $[1, 10)$).

En el estudio de las ciencias naturales nos encontramos con longitudes extremadamente grandes y extremadamente pequeñas. A continuación se presentan cuatro longitudes reales, todas expresadas en metros:

• Diámetro del virus de la gripe: $0,00000012$ m

• Grosor de un cabello humano: $0,00007$ m

• Diámetro de la Tierra: $12742000$ m

• Distancia de la Tierra al Sol: $149600000000$ m

Tu tarea consiste en:

1. a) Escribir cada una de las longitudes en notación científica.

1. b) Ordenarlas de menor a mayor.

Un influencer está analizando las estadísticas de sus redes sociales para ver el crecimiento de su audiencia.

• En Instagram tiene $1,25 \cdot 10^5$ seguidores.

• En TikTok tiene $8,4 \cdot 10^4$ seguidores.

• En YouTube tiene $2,1 \cdot 10^5$ suscriptores.

1. a) Calcula el número total de seguidores sumando las tres plataformas. Expresa el resultado en notación científica.
2. b) Si espera que su audiencia total crezca un $10\%$ el próximo mes, ¿cuántos seguidores tendrá en total?

La velocidad de la luz en el vacío es, aproximadamente, $3 \cdot 10^8$ m/s. Una nave espacial envía una señal de radio desde Marte a la Tierra. Si en ese momento la distancia entre ambos planetas es de $2,25 \cdot 10^8$ km:

1. a) Expresa la distancia en metros usando notación científica.
2. b) Calcula cuánto tiempo (en segundos) tarda la señal en llegar a la Tierra.
3. c) Expresa ese tiempo en minutos.

(Recuerda que la velocidad $v$, el espacio $e$ y el tiempo $t$ se relacionan mediante $e = v \cdot t$).

Un servicio de almacenamiento en la nube ofrece a sus usuarios 2 TB (Terabytes) de espacio. Sabiendo que las equivalencias aproximadas en el sistema informático son:

• $1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$

• $1 \text{ GB} = 10^9 \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$

Si un usuario tiene una colección de fotos donde cada foto ocupa una media de 4 MB:

1. a) ¿Cuántos bytes totales de almacenamiento tiene disponible el usuario? Expresalo en notación científica.
2. b) ¿Cuántas fotos aproximadamente puede guardar en su nube antes de llenarla?

El cuerpo humano contiene aproximadamente $3,7 \cdot 10^{13}$ células. Se estima que cada célula tiene una masa media de $2 \cdot 10^{-9}$ gramos.

1. a) Calcula la masa total de las células de una persona en gramos.
2. b) Convierte el resultado anterior a kilogramos.
3. c) Si una bacteria pesa $10$ veces menos que una célula humana, ¿cuál es la masa de una bacteria en notación científica?

Un embalse cúbico tiene una arista de $4 \cdot 10^2$ metros.

1. a) Calcula el volumen del embalse en metros cúbicos ($m^3$) y expresa el resultado en notación científica.
2. b) Sabiendo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$, calcula la capacidad total del embalse en litros, expresada también en notación científica.
3. c) Si el embalse está lleno solo al $50\%$, ¿cuántos litros de agua contiene?

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias y expresa el resultado final como una única potencia de exponente positivo.

1. a) $\frac{3^5 \cdot 3^{-2}}{3^7}$
2. b) $(5^3 \cdot 5^{-4})^{-2}$
3. c) $\frac{2^4 \cdot (2^3)^2}{2^{-2}}$

Una molécula de agua ($H_2O$) está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Las masas de estos átomos son aproximadamente:

• Masa átomo Hidrógeno: $1,67 \cdot 10^{-24}$ g

• Masa átomo Oxígeno: $2,66 \cdot 10^{-23}$ g

1. a) Para poder sumar las masas, expresa la masa del átomo de oxígeno como un número multiplicado por $10^{-24}$.
2. b) Calcula la masa total de una sola molécula de agua ($2 \times \text{Hidrógeno} + 1 \times \text{Oxígeno}$). Expresa el resultado final en notación científica.

Según datos del Instituto Nacional de Estadística (INE), los hogares de una determinada comunidad autónoma consumieron en un año un total de $2,38 \cdot 10^8\text{ m}^3$ de agua potable, repartidos entre una población de $4,75 \cdot 10^6$ habitantes.

1. a) Estima: Sin hacer operaciones en papel ni usar calculadora, redondea las mantisas a números enteros sencillos y estima mentalmente cuántos metros cúbicos de agua al año corresponden a cada habitante. Indica cuál será el orden de magnitud esperado para el resultado.
2. b) Calcula: Realiza la división utilizando la notación científica con los datos originales. Expresa el cociente en notación científica con la mantisa redondeada a las centésimas.
3. c) Comprueba y valora: Sabiendo que $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litros}$ y considerando un año de 365 días, calcula cuántos litros de agua al día consume por término medio un habitante según ese dato. Compara el resultado con tu estimación previa y razona si te parece una cifra verosímil para el gasto diario de una persona en un hogar.

Durante un episodio de lluvias torrenciales monitorizado por la AEMET en el litoral mediterráneo, una tormenta descargó una media de $1,2 \cdot 10^2\text{ l/m}^2$ sobre una comarca de $3,5 \cdot 10^2\text{ km}^2$ de superficie. Se estima que una gota de lluvia de tormenta tiene un volumen aproximado de $4 \cdot 10^{-5}\text{ litros}$.

1. a) Expresa la superficie de la comarca en metros cuadrados ($\text{m}^2$) en notación científica, sabiendo que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$.
2. b) Modela la precipitación total calculando el volumen global de agua (en litros) caído sobre la comarca durante el episodio. Expresa el resultado en notación científica.
3. c) Calcula el número total de gotas de lluvia que han caído en toda la comarca.
4. d) Observa el orden de magnitud del número de gotas obtenido y redacta una breve reflexión argumentando por qué la notación científica es indispensable en estudios meteorológicos y medioambientales frente a la notación decimal con ceros.

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. Debes descomponer las bases en factores primos, operar y expresar el resultado final como una fracción irreducible con exponentes positivos. No es necesario calcular el valor numérico final, solo la potencia simplificada.

$$ \frac{15^{-2} \cdot 4^3 \cdot (-3)^4}{(-10)^2 \cdot (2^{-2})^{-3} \cdot 9^{-1}} $$

La sonda espacial Voyager 1 es el objeto creado por el ser humano que más lejos ha llegado. Imagina que se encuentra a una distancia aproximada de $2,3 \cdot 10^{10}$ kilómetros de la Tierra.

Si la sonda envía una señal de radio hacia nosotros, y sabiendo que las señales viajan a la velocidad de la luz ($3 \cdot 10^5$ km/s):

1. a) Calcula cuánto tiempo (en segundos) tarda la señal en llegar a la Tierra. Expresa el resultado en notación científica.
2. b) Convierte ese tiempo a horas y exprésalo como un número decimal redondeado a dos cifras decimales.

Tenemos un depósito cúbico gigante destinado a almacenar agua para riego. La arista de este depósito mide $2^5$ metros.

1. a) Expresa el volumen del depósito en metros cúbicos utilizando una única potencia de base 2.
2. b) Sabiendo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$, expresa la capacidad total del depósito en litros utilizando notación científica.
3. c) Si el depósito está lleno hasta la mitad, ¿cuántos litros contiene? Expresa el resultado como potencia de base 2 multiplicada por una potencia de base 10.

En el mundo de la informática, las unidades de almacenamiento crecen rápidamente. Un servidor de datos tiene una capacidad total de almacenamiento de 4 Petabytes.

Sabiendo que:

• $1 \text{ Petabyte (PB)} = 10^{15} \text{ bytes}$

• Una fotografía de alta calidad ocupa una media de $8 \text{ Megabytes (MB)}$, donde $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$.

Calcula cuántas fotografías de alta calidad caben en dicho servidor. Expresa el resultado final en notación científica.

Realiza las siguientes operaciones combinadas con notación científica sin usar la calculadora para los pasos intermedios. Debes ajustar los exponentes para poder sumar o restar y aplicar las propiedades para multiplicar o dividir. Expresa el resultado final en notación científica correctamente normalizada.

$$ \frac{(3,2 \cdot 10^{-4}) + (1,8 \cdot 10^{-3})}{2 \cdot 10^{-2}} \cdot (4 \cdot 10^6) $$

El cuerpo humano de un adulto medio tiene aproximadamente $3,72 \cdot 10^{13}$ células. Si asumimos que, en promedio, una célula humana tiene una masa de $1,8 \cdot 10^{-9}$ gramos:

1. a) Calcula la masa total de todas las células en gramos.
2. b) Convierte el resultado a kilogramos.
3. c) Si una persona pesa 75 kg, ¿qué porcentaje aproximado de su peso total corresponde a la masa celular calculada? (Nota: el resto sería agua extracelular, minerales óseos, etc.).

Halla el valor de $x$ en la siguiente ecuación exponencial utilizando las propiedades de las potencias. Para ello, expresa todos los números como potencias de la misma base (base 3).

$$ \frac{3^x \cdot 9^2}{27^{-1}} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-5} $$

Reto del tema. Una hoja de papel tiene un grosor aproximado de $10^{-4}$ metros. Imagina que pudiéramos doblar la hoja por la mitad tantas veces como quisiéramos.

1. a) Escribe una expresión en forma de potencia que indique el grosor del mazo de papel tras realizar $n$ dobleces.

1. b) Si lográsemos doblar la hoja 42 veces (algo físicamente imposible, pero matemáticamente calculable), ¿cuál sería el grosor del mazo en kilómetros? Expresa el resultado en notación científica.

1. c) Compara el resultado con la distancia media de la Tierra a la Luna ($3,84 \cdot 10^5$ km). ¿El grosor del mazo superaría esta distancia?

En un proyecto interdisciplinar de Ciencias, se quiere calcular la masa total de la hidrosfera y la atmósfera terrestres sumando sus masas estimadas: la masa de la atmósfera es $M_A = 5,15 \cdot 10^{18}\text{ kg}$ y la de la hidrosfera es $M_H = 1,4 \cdot 10^{21}\text{ kg}$. Para calcular $M_T = M_A + M_H$, tres compañeros de clase proponen estrategias distintas:

• Método 1 (Marcos): Expresar la cantidad mayor en la potencia menor ($1,4 \cdot 10^{21} = 1400 \cdot 10^{18}$), sumar las mantisas y al final ajustar a notación científica.

• Método 2 (Sara): Expresar la cantidad menor en la potencia mayor ($5,15 \cdot 10^{18} = 0,00515 \cdot 10^{21}$), sumar las mantisas y obtener el resultado directamente en notación científica.

• Método 3 (Álex): Escribir ambos números con todos sus ceros en notación decimal estándar, alinearlos en vertical para sumar cifra a cifra y volver a pasar el resultado final a notación científica.

1. a) Resuelve la suma aplicando de forma explícita el Método 1 y el Método 2, verificando que ambos caminos conducen al mismo resultado.
2. b) Compara los tres métodos: justifica cuál es el más eficiente y seguro en este caso y argumenta por qué el camino de Álex es completamente desaconsejable para trabajar con magnitudes científicas.
3. c) Analiza el resultado obtenido: ¿qué porcentaje aproximado representa la masa de la atmósfera respecto a la de la hidrosfera? Razona cómo influye esta desproporción en el orden de magnitud de la suma final.

La estación de seguimiento del espacio profundo del INTA/NASA situada en Robledo de Chavela (Madrid) recibe datos de una sonda espacial. La distancia entre la sonda y la Tierra varía entre un perihelio de $4,5 \cdot 10^7\text{ km}$ y un afelio de $1,5 \cdot 10^8\text{ km}$. Las señales electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz, $c = 3 \cdot 10^5\text{ km/s}$. Además, la sonda envía un paquete de datos de $7,2 \cdot 10^6\text{ kilobits}$ a una velocidad de transmisión constante de $2,4 \cdot 10^4\text{ kilobits/s}$. El «tiempo total de recepción» es la suma del tiempo que tarda la señal en viajar por el espacio más el tiempo que tarda la antena en descargar la totalidad del paquete.

1. a) Plantea la fórmula del tiempo total de recepción en función de los datos del enunciado y calcula este tiempo (en segundos y en notación científica) en el perihelio y en el afelio.
2. b) Por restricciones operativas del centro de control, se establece un protocolo de emergencia que exige que el tiempo total de recepción de dicho paquete no supere bajo ningún concepto los $400\text{ segundos}$. Plantea una inecuación y calcula la distancia máxima a la Tierra (en km y en notación científica) a la que puede encontrarse la nave para cumplir ese requisito.
3. c) Interpreta el resultado obtenido en el apartado b): ¿estará la nave dentro del límite de seguridad durante toda su órbita, en ninguna parte de ella, o solo en un tramo determinado? Justifica tu respuesta comparando la distancia máxima hallada con el perihelio y el afelio.

Reto del tema. Diseña un modelo energético a escala para tu localidad a partir de datos reales de Red Eléctrica de España (REE).

1. Recogida y notación científica: Accede a la web de REE (sección de demanda eléctrica diaria) y consulta el consumo peninsular total de ayer en $\text{MWh}$. Pásalo a vatios-hora ($\text{Wh}$) multiplicando por $10^6$ y expresa el valor final, redondeado a dos cifras significativas, en notación científica ($a \cdot 10^k$, con $1 \le a < 10$).

2. Potencias de racionales: Asume que a tu municipio le corresponde una fracción equivalente a $(2/5)^3$ de una milésima de dicha energía global. Utiliza las propiedades de las potencias de base racional para simplificar la operación y hallar el consumo estimado de tu localidad en notación científica.

3. Operaciones con radicales: Si un panel solar estándar rinde $2,5 \cdot 10^2\text{ Wh}$ diarios por metro cuadrado, calcula el área total $A$ de paneles necesaria. Plantea la instalación en un terreno cuadrado de lado $L = \sqrt{A}$ metros. Factoriza el radicando, extrae todos los factores posibles fuera de la raíz para obtener la solución exacta simplificada y, finalmente, aproxima su valor con coma decimal.

Producto final: Entrega un informe breve de una página (o captura de tu hoja de cálculo) con los datos recopilados, los desarrollos matemáticos detallados y la interpretación del resultado.

Se valorará:

• Precisión en el cambio de unidades y uso riguroso de la notación científica.

• Aplicación correcta de las propiedades de potencias de números racionales.

• Descomposición factorial y destreza en la simplificación y extracción de factores en radicales.

• Claridad, orden y justificación de las conclusiones en el informe.