Ejercicios: Suma y producto de polinomios

Completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio:

Un "streamer" cobra una parte fija de $50$ dólares por cada transmisión en vivo y, además, recibe $2$ dólares por cada nueva suscripción ($s$) y $0,5$ dólares por cada "donación" ($d$).

1. Escribe la expresión algebraica (polinomio) que representa sus ingresos totales en un día.

2. Si en una transmisión en vivo consigue $20$ suscripciones y $40$ donaciones, ¿cuánto dinero ganó en total?

Dados los polinomios $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ y $Q(x) = x^2 + 7x - 2$, realiza las siguientes operaciones agrupando los términos semejantes:

1. a) $P(x) + Q(x)$
2. b) $P(x) - Q(x)$

Halla el polinomio que expresa el perímetro de la siguiente figura geométrica (un "L-block" de un videojuego). Recuerda que el perímetro es la suma de todos sus lados.

Realiza los siguientes productos de monomios, aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $(3x^2) \cdot (4x^3) =$
2. b) $(-2a^2b) \cdot (5ab^3) =$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^5) =$

Aplica la propiedad distributiva para calcular el área del siguiente rectángulo, expresando el resultado como un polinomio:

Reduce las siguientes expresiones polinómicas combinando sumas, restas y productos sencillos:

1. a) $3 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (4x - 5) =$
2. b) $x \cdot (x + 3) - (x^2 - 2) =$

En una tienda de ropa, el precio de una sudadera viene dado por el polinomio $P(x) = 2x^2 + 10$, donde $x$ es una variable logística. Si compramos $3x$ sudaderas:

1. ¿Cuál es el polinomio que expresa el costo total de la compra?

2. Si para un valor de $x=2$, el precio de una sudadera es en dólares, ¿cuánto costarán las $3x$ sudaderas para ese mismo valor?

Lucía tiene que desarrollar la expresión $(3x - 5)^2$ en un examen y escribe lo siguiente en su hoja:

1. a) Identifica y explica razonadamente los dos errores conceptuales que ha cometido Lucía al aplicar los productos notables.
2. b) Desarrolla de forma correcta la expresión aplicando la fórmula del cuadrado de una diferencia paso a paso.
3. c) Comprueba numéricamente tu resultado frente al de Lucía sustituyendo el valor $x = 2$ en la expresión inicial $(3x - 5)^2$, en el resultado erróneo de Lucía y en tu polinomio final simplificado. ¿Qué conclusión extraes?

Para simplificar la expresión $(2x + 7)\cdot(2x - 7)$, dos compañeros de clase plantean resolverlo de formas distintas:

• David propone: «Multiplico término a término con la propiedad distributiva: $2x \cdot 2x + 2x \cdot (-7) + 7 \cdot 2x + 7 \cdot (-7)$, y después agrupo los términos que sean semejantes».

• Sara afirma: «Al tratarse de una suma por diferencia, puedo aplicar directamente la identidad notable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, escribiendo directamente $(2x)^2 - 7^2$».

1. a) Aplica ambos procedimientos paso a paso y comprueba si ambos conducen al mismo polinomio resultante.
2. b) Justifica cuál de las dos estrategias es más eficiente y explica qué términos se cancelan siempre y por qué cuando multiplicamos la suma de dos términos por su diferencia.

Dados los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = -x^2 + 2x - 7$, realiza las siguientes operaciones combinadas y simplifica el polinomio resultante:

1. a) $2 \cdot P(x) + 3 \cdot Q(x)$
2. b) $P(x) - [Q(x) + (x^2 - 1)]$
3. c) $3x \cdot Q(x) + 5x^2$

Una empresa que fabrica tablets ha diseñado un nuevo modelo cuya pantalla tiene las dimensiones mostradas en la siguiente figura. El borde exterior (marco) tiene una anchura constante de $2$ cm en todos sus lados.

1. a) Expresa mediante un polinomio el área total de la tablet (incluyendo el marco).
2. b) Determina el polinomio que representa el área exclusiva de la pantalla (zona sombreada).
3. c) Calcula el polinomio que representa el área del marco de la tablet.

Aplica la propiedad distributiva para multiplicar los siguientes polinomios y reduce los términos semejantes:

1. a) $(2x - 3) \cdot (x^2 - 4x + 1)$
2. b) $(x^2 + 2) \cdot (x^2 - 2)$
3. c) $-(x - 5) \cdot (2x + 3) + 2x^2$

En la tienda de aplicaciones "AppZ", los ingresos mensuales por la venta de una suscripción premium vienen dados por el polinomio $I(x) = 10x^2 + 50x$, donde $x$ es el número de meses desde el lanzamiento. Por otro lado, los gastos de mantenimiento se expresan como $G(x) = 2x^2 - 10x + 100$.

1. a) Halla el polinomio $B(x)$ que representa los beneficios netos de la empresa ($Beneficio = Ingresos - Gastos$).
2. b) Si la empresa decide invertir en publicidad un extra equivalente al producto de $(x + 5) \cdot (x - 2)$, que supone un gasto adicional, ¿cuál sería el nuevo polinomio de beneficios totales?

Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas para transformarlas en un producto de un monomio por un polinomio:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
3. c) $2x(x+1) - 3(x+1)$

Calcula el polinomio resultante de la siguiente expresión utilizando los productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia):

$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \cdot (x - 4)$

Simplifica al máximo el resultado final.

Calcula el perímetro de la siguiente figura geométrica en función de la variable $x$, expresando el resultado como un polinomio reducido.

Determina el valor del coeficiente $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre polinomios:

$(x + 3) \cdot (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$

Una vez hallado $k$, realiza el producto $(x + 3) \cdot (2x - 5) \cdot (x + 1)$ y escribe el polinomio resultante en forma decreciente según sus grados.

En un proyecto municipal de huertos comunitarios, una asociación de vecinos dispone de una parcela rectangular cuyas dimensiones son $(2x + 3)$ metros de largo y $(x + 5)$ metros de ancho. Para optimizar el espacio, el gobierno municipal autoriza añadir en uno de los laterales una zona rectangular techada para compostaje y herramientas que mide $(x - 1)$ metros de ancho y comparte la misma longitud de largo, $(2x + 3)$ metros.

1. a) Escribe el polinomio reducido $A_T(x)$ que representa la superficie total ocupada por el huerto y la nueva zona techada juntas.
2. b) Determina la expresión algebraica simplificada del polinomio $D(x)$ que indica en cuántos metros cuadrados supera el área del huerto original al área de la zona de compostaje.
3. c) Si las medidas de la normativa urbanística corresponden a $x = 4\text{ m}$, calcula numéricamente el área total de la instalación y determina qué porcentaje de dicha superficie total representa la zona de compostaje.

Considera la siguiente operación combinada entre polinomios: $P(x) = (3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4) - (x^3 + 1)^2$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico por escrito, responde a estas preguntas razonando tu previsión:

1. ¿Cuál debe ser el grado del producto $(3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4)$ y el coeficiente de su término principal?

2. ¿Cuál debe ser el grado del desarrollo de $(x^3 + 1)^2$?

3. Al restar ambas expresiones, ¿se anularán los monomios de mayor grado o cuál prevés que sea el grado final del polinomio $P(x)$?

4. ¿Cuál será el término independiente de $P(x)$ analizando únicamente los números sin $x$ de cada parte?

1. b) Efectúa ahora el producto, el desarrollo del cuadrado de la suma y la resta, agrupando términos semejantes para obtener la forma reducida de $P(x)$.
2. c) Contrasta tu polinomio final con las cuatro estimaciones que realizaste en el apartado a) y confirma si tus deducciones previas fueron acertadas.

En un festival de música, la recaudación total depende del número de abonos vendidos, representado por la variable $x$. Se han determinado las siguientes funciones polinómicas:

• Ingresos por entradas: $I(x) = 3x^2 + 50x - 100$

• Gastos de logística y seguridad: $G(x) = 2x^2 - 15x + 500$

• Gastos de marketing: $M(x) = 10x + 1200$

Si el beneficio neto del festival se calcula restando todos los gastos a los ingresos, obtén el polinomio simplificado $B(x)$ que representa el beneficio. Una vez obtenido, calcula el beneficio real si se venden $x = 100$ abonos.

Dados los polinomios $P(x) = 2x^2 - ax + 5$ y $Q(x) = bx^2 + 3x - c$, determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que al sumarlos se obtiene el polinomio identidad $S(x) = 5x^2 + x + 2$. Justifica tu respuesta comparando los coeficientes de los términos del mismo grado.

Un estudio de arquitectura diseña una plaza rectangular que contiene una fuente central circular y una zona ajardinada. El área total de la plaza está definida por el producto de su base $b(x) = 3x + 5$ y su altura $h(x) = 2x - 1$. Si el área de la fuente viene dada por el polinomio $F(x) = x^2 + 2x + 1$, obtén el polinomio que representa el área de la zona ajardinada (el espacio restante de la plaza).

Considera dos polinomios cualesquiera, $A(x)$ de grado $n$ y $B(x)$ de grado $m$. Si sabemos que el grado del producto $A(x) \cdot B(x)$ es $7$ y que el grado de la expresión $(A(x) + B(x))^2$ es $8$, ¿cuáles son los grados individuales de $A(x)$ y $B(x)$? Razona tu respuesta basándote en las propiedades del grado de la suma y el producto de polinomios.

Realiza la siguiente operación combinada y simplifica el resultado al máximo, ordenando el polinomio de forma decreciente según su grado:

Ten especial cuidado con el desarrollo de la identidad notable y el signo negativo que afecta al corchete.

Una empresa de mensajería utiliza cajas cuyas dimensiones (en cm) están en progresión aritmética y dependen de una variable $x$:

• Ancho: $x - 2$

• Largo: $x + 1$

• Alto: $x + 4$

Halla el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja. Posteriormente, halla el polinomio $S(x)$ que representa el área total de las seis caras de la caja. Simplifica ambas expresiones.

Encuentra el polinomio $P(x)$ de segundo grado tal que cumpla las siguientes tres condiciones simultáneamente:

1. Su coeficiente principal es $3$.

2. Carece de término independiente.

3. Al multiplicarlo por el binomio $(x - 2)$, el coeficiente del término de grado $2$ del producto resultante es igual a $-4$.

Desarrolla y simplifica la siguiente expresión que involucra tres variables distintas ($x$, $y$, $z$). Este tipo de expresiones son comunes en fórmulas de física y modelos de datos:

Representa el resultado final como un polinomio reducido. ¿Qué observas respecto a los términos cruzados (como $xy$ o $xz$)?

Se sabe que al desarrollar y reducir la expresión polinómica $A(x) = (ax + 3)^2 - (bx - 1)(bx + 1) + c$, donde $a$, $b$ y $c$ son números enteros positivos, se obtiene como resultado exacto el polinomio $R(x) = 7x^2 + 24x + 15$.

1. a) Desarrolla algebraicamente la expresión de $A(x)$ en función de las letras $a$, $b$ y $c$, agrupando claramente los monomios resultantes según su grado ($x^2$, $x$ y término independiente).
2. b) Plantea las igualdades que deben cumplirse entre los coeficientes de $A(x)$ y los de $R(x)$, y deduce de forma justificada los valores exactos de $a$, $b$ y $c$.
3. c) Si se eliminara la condición de que $b$ deba ser un número positivo y se permitiera que fuera cualquier número entero, ¿existiría otro valor válido para $b$? Justifica tu respuesta analizando algebraicamente qué ocurre con el producto $(bx - 1)(bx + 1)$ si sustituyes $b$ por su opuesto $-b$.

Se quiere demostrar la siguiente propiedad matemática general: «La diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$». En clase se discuten tres enfoques metodológicos distintos:

• Alba dice: «Basta con probar varios ejemplos: $3^2 - 1^2 = 8$, $5^2 - 3^2 = 16$, $7^2 - 5^2 = 24$. Como en todos da múltiplo de $8$, la propiedad queda demostrada».

• Bruno propone: «Escribamos dos impares consecutivos generales como $(2n + 3)$ y $(2n + 1)$, siendo $n$ cualquier número entero, y desarrollemos algebraicamente la resta de sus cuadrados: $(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$».

• Clara sugiere: «En vez de desarrollar cada cuadrado, usemos la identidad de suma por diferencia en sentido inverso sobre la expresión de Bruno: $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$, llamando $A = 2n + 3$ y $B = 2n + 1$».

1. a) Explica por qué el método inductivo de Alba no constituye una demostración matemática válida para todos los infinitos números impares.
2. b) Desarrolla el método de Bruno aplicando las fórmulas de los productos notables, reduce términos semejantes y extrae factor común para demostrar que el resultado es obligatoriamente divisible por $8$.
3. c) Desarrolla el método propuesto por Clara y compara ambos caminos algebraicos: razona cuál de los dos requiere menos pasos de cálculo y explica las ventajas de transformar una resta de cuadrados en un producto.