Ejercicios: Expresiones algebraicas

En una tienda de aplicaciones para celulares, el costo de una suscripción mensual a un servicio de música es de $x$ dólares. Además, hay una comisión fija de $1,50$ dólares por gastos de gestión en cada recibo (se emite un recibo por persona y por mes). Expresa en lenguaje algebraico:

1. a) El costo total de un mes de suscripción.
2. b) El costo de tres meses de suscripción para un mismo usuario.
3. c) El costo de la suscripción de un mes para un grupo de 4 amigos si a cada uno se le aplica un descuento de $2$ dólares sobre el precio base $x$.

Copia y completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio dado:

Monomio	Coeficiente	Parte Literal	Grado
$-5x^2y$
$\frac{3}{4}ab^3$
$x^2yz^2$
$-12$

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican:

1. a) $3x^2 - 5x + 2$ para $x = 2$
2. b) $2(a + b)^2$ para $a = -1$ y $b = 3$
3. c) $\frac{x + 2y}{2}$ para $x = 4$ e $y = -3$

Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:

1. a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
2. b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
3. c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$

Un arquitecto está diseñando una habitación rectangular. El largo de la habitación mide $5$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ al ancho de la habitación:

1. a) Escribe una expresión algebraica que represente el perímetro de la habitación.
2. b) Escribe una expresión algebraica que represente el área de la habitación.

Dado el polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, responde a las siguientes cuestiones:

1. a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
2. b) ¿Cuál es el coeficiente del término de grado 2?
3. c) ¿Cuál es el término independiente?
4. d) Ordena el polinomio de forma creciente (de menor a mayor grado).

Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:

1. a) $(3x^2 - 5x + 4) + (2x^2 + x - 6)$
2. b) $(x^3 - 2x^2 + 3) - (x^2 - 5x + 1)$
3. c) $(-4x^4 + 2x^2) + (4x^4 - x^2 + x)$

Observa la siguiente figura formada por un cuadrado de lado $x$ y un rectángulo adosado de base $3$ y altura $x$.

1. a) Escribe el polinomio que representa el área total de la figura.
2. b) Si el lado $x$ vale $4$ cm, ¿cuál es el área total de la figura?

Mario está resolviendo una tarea sobre polinomios y debe simplificar la siguiente expresión reduciendo términos semejantes:

$$P(x) = 4x^3 - 7x^2 + 2x^3 + 5$$

En su cuaderno escribe el siguiente procedimiento:

$$P(x) = (4 - 7 + 2)x^{3+2+3} + 5 = -1x^8 + 5 = -x^8 + 5$$

y concluye afirmando que el resultado final es un binomio de grado $8$.

1. a) Localiza y explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Mario en su resolución.
2. b) Corrige el ejercicio en tu cuaderno realizando los pasos de forma correcta. ¿Cuál es el polinomio reducido resultante, su grado y su término independiente?

Diseña y escribe en cada caso una expresión algebraica que cumpla rigurosamente todas las condiciones exigidas:

1. a) Un monomio en el que intervengan dos variables distintas, $x$ e $y$, cuyo coeficiente sea un número fraccionario negativo y su grado total sea igual a $5$.
2. b) Un polinomio de grado $3$ con la indeterminada $x$, ordenado de mayor a menor grado, que tenga tres términos, cuyo coeficiente principal sea $4$, su término independiente sea $-6$ y que tenga como raíz a $x = 1$ (recuerda que un número $a$ es raíz de un polinomio si su valor numérico es $0$, es decir, $P(a) = 0$). Justifica paso a paso cómo deduces el término intermedio que falta.

Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos unidos. Las longitudes están dadas en función de una variable indeterminada $x$.

Tu tarea consiste en:

1. Encontrar la expresión algebraica simplificada (polinomio) que representa el perímetro total de la figura.

2. Encontrar la expresión algebraica simplificada (polinomio) que representa el área total de la figura.

Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas utiliza la siguiente expresión algebraica para calcular el costo en centavos del alquiler en función de los minutos de uso ($x$):

$$ C(x) = 2x^2 - 5x + 150 $$

Nota: Esta fórmula es un modelo promocional para usuarios VIP y es válida para trayectos cortos.

1. Calcula el valor numérico del costo si utilizas la patineta durante 10 minutos.

2. Si un usuario ha pagado exactamente 150 centavos, ¿cuántos minutos teóricamente ha estado usando la patineta según la fórmula? (Pista: observa el término independiente y encuentra todas las soluciones posibles).

3. Desarrolla la expresión del costo para un tiempo de $(x + 3)$ minutos, es decir, calcula y simplifica $C(x+3)$.

Considera los siguientes polinomios que representan las dimensiones y propiedades de diferentes cuerpos geométricos:

$$ P(x) = 3x^2 - 5x + 1 $$ $$ Q(x) = 2x^2 + 4x - 2 $$ $$ R(x) = x - 3 $$

Realiza las siguientes operaciones combinadas y simplifica el resultado final:

1. Calcula la diferencia: $P(x) - Q(x)$.

2. Calcula el producto: $Q(x) \cdot R(x)$.

3. Calcula: $2 \cdot P(x) - 3 \cdot Q(x)$.

Utilizando las igualdades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia), desarrolla o factoriza las siguientes expresiones algebraicas según corresponda. Relaciona el apartado 2 con la interpretación geométrica mostrada en la imagen.

1. Desarrolla: $(3x + 2)^2$

2. Desarrolla: $(x - 4)^2$

3. Desarrolla: $(2x + 5)(2x - 5)$

4. Factoriza el polinomio (escríbelo como cuadrado de un binomio): $x^2 + 10x + 25$

Queremos comprobar si ciertos valores son "raíces" de un polinomio. Recuerda que una raíz es un valor que hace que el polinomio valga cero.

Dado el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:

1. Utiliza la Regla de Ruffini para dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$. ¿Cuál es el resto? ¿Es $x=1$ una raíz del polinomio?

2. Sin usar Ruffini, calcula el valor numérico $P(-2)$. ¿Es $x=-2$ una raíz?

3. Escribe el polinomio $P(x)$ como producto de sus factores irreducibles sabiendo sus raíces.

Tenemos una caja de cartón con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyo volumen está dado por la expresión algebraica:

$$ V(x) = x^3 + 4x^2 + 3x $$

1. Extrae factor común en la expresión del volumen.

2. Factoriza completamente el polinomio resultante para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden al largo, ancho y alto de la caja.

3. Si sabemos que $x = 5$ cm, ¿cuáles son las dimensiones numéricas reales de la caja?

Halla el valor de la constante $k$ en los siguientes casos, aplicando el Teorema del Resto:

1. Para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 2$ entre $(x+2)$ sea exacta (es decir, que el resto sea 0).

2. Para que el resto de dividir $Q(x) = 2x^2 + kx + 5$ entre $(x-1)$ sea igual a 4.

Simplificación de fracciones algebraicas. Recuerda que para simplificar debes factorizar primero tanto el numerador como el denominador utilizando productos notables o sacando factor común.

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

1. $$ \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} $$
2. $$ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} $$
3. $$ \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 + 4x + 4} $$

En una ciudad cubana, la empresa estatal de transporte ofrece dos opciones para desplazarse en ómnibus durante un mes:

• Opción A (Pasaje sencillo): cada pasaje cuesta $1,40$ dólares.

• Opción B (Abono mensual recargable): se paga una cuota fija de mantenimiento de $12,50$ dólares al mes, y cada viaje realizado tiene un costo reducido de $0,60$ dólares.

1. a) Escribe el polinomio $A(x)$ que representa el costo mensual de realizar $x$ viajes mediante la Opción A, y el polinomio $B(x)$ que representa el costo mensual de realizar $x$ viajes con la Opción B.
2. b) Define y reduce el polinomio $D(x) = A(x) - B(x)$, que representa el ahorro económico que se obtiene al elegir el abono mensual en lugar de los pasajes sencillos.
3. c) Si una estudiante estima que realizará exactamente $20$ viajes a lo largo del mes, calcula el valor numérico $D(20)$ e interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema: ¿qué opción le resulta más económica y por qué? ¿A partir de cuántos viajes empieza a ser rentable el abono mensual?

En una estación meteorológica de montaña de la AEMET se modeliza la temperatura $T$ (en grados Celsius) durante un día de invierno mediante el siguiente polinomio:

$$T(h) = -0,2h^2 + 2,4h - 3$$

donde $h$ representa el número de horas transcurridas desde las 08:00 de la mañana ($h = 0$ equivale a las 08:00, $h = 4$ equivale a las 12:00, etc.).

1. a) Observa los coeficientes del polinomio antes de operar. Sabiendo que a las 08:00 ($h = 0$) la temperatura era de $-3$ ºC, realiza una estimación razonada de si a las 12:00 ($h = 4$) la temperatura habrá superado o no los $0$ ºC.
2. b) Calcula ahora el valor numérico exacto $T(4)$ y contrasta el resultado con tu estimación previa.
3. c) Un observador novato afirma que a las $18:00$ ($h = 10$) la temperatura alcanzará los $15$ ºC. Sin calcular aún el valor exacto, estima si esa afirmación es verosímil teniendo en cuenta el signo del término cuadrático $-0,2h^2$ para valores crecientes de $h$. Después, calcula $T(10)$ y confirma si la afirmación era correcta.

En un estudio de arquitectura están diseñando una nueva plaza rectangular para un preuniversitario. El diseño consta de una zona ajardinada central rectangular rodeada por un camino pavimentado de ancho uniforme.

Sabemos que la zona ajardinada interior tiene unas dimensiones de $x$ metros de ancho y el doble de largo, es decir, $2x$ metros. El camino que rodea al jardín tiene un ancho constante de 3 metros en todos sus lados.

1. Dibuja un esquema de la situación.

2. Escribe la expresión algebraica reducida que representa el área total de la plaza (jardín más camino).

3. Escribe la expresión algebraica que representa el área del camino pavimentado (la zona gris en el dibujo).

Tenemos un polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12$. Sabemos que al realizar la división de este polinomio entre el binomio $(x + 2)$, el resto obtenido es 40.

Utilizando el Teorema del Resto (sin realizar la división larga ni Ruffini completo), determina el valor de $k$. Una vez hallado el valor de $k$, comprueba si $x=2$ es una raíz del polinomio resultante.

Una empresa de paquetería quiere fabricar cajas sin tapa a partir de láminas rectangulares de cartón de 40 cm de largo por 30 cm de ancho. Para ello, se cortan cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y se doblan las pestañas resultantes hacia arriba.

1. Escribe el polinomio que expresa el volumen de la caja en función de $x$.

2. Determina el volumen de la caja si cortamos cuadrados de 5 cm de lado.

3. ¿Tendría sentido físico cortar cuadrados de 16 cm de lado? Razona tu respuesta basándote en las dimensiones de la lámina.

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos.

• Figura 1: Tiene 3 puntos (formando un triángulo).

• Figura 2: Tiene 6 puntos.

• Figura 3: Tiene 10 puntos.

• Dibuja la Figura 4 siguiendo el patrón de crecimiento.

• Encuentra una expresión algebraica (polinomio) en función de $n$ que nos permita calcular el número total de puntos de la Figura n. Pista: Relaciona estos números con el área de un rectángulo de lados $n+1$ y $n+2$.

• Utiliza tu expresión para calcular cuántos puntos tendría la Figura 20.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Analiza los siguientes productos notables incompletos. Tu tarea consiste en encontrar el valor de los términos que faltan (representados por espacios en blanco) y escribir el producto notable completo.

1. $( \dots + 3y)^2 = 4x^2 + \dots + 9y^2$

2. $(5x - \dots)^2 = \dots - 20x + 4$

3. $(3x + \dots) \cdot (3x - \dots) = 9x^2 - 16$

Explica brevemente qué fórmula utilizaste en cada caso (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia).

El área de un rectángulo viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 7x + 3$.

1. Factoriza el polinomio $A(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a la base y la altura del rectángulo, sabiendo que ambas expresiones son binomios con coeficientes enteros.

2. Si sabemos que el valor de $x$ es tal que $x > 0$, calcula cuánto valdría el perímetro del rectángulo en función de $x$. Simplifica la expresión resultante al máximo.

Queremos demostrar algebraicamente una curiosidad matemática sobre los números impares.

Sabemos que cualquier número impar se puede escribir de la forma $2n + 1$ (siendo $n$ un número entero) y su consecutivo impar sería $2n + 3$.

1. Escribe la expresión algebraica de la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos: $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$.

2. Desarrolla y simplifica dicha expresión al máximo.

3. Basándote en el resultado simplificado, razona: ¿Es cierto que la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de 8?

Se quiere construir una pieza metálica con forma de corona circular (un anillo plano).

El radio exterior del anillo es $R$ y el radio del hueco interior es $r$.

1. Escribe la expresión algebraica del área de la pieza ($A$) utilizando $\pi$, $R$ y $r$.

2. Sabiendo que el radio exterior es $x + 3$ y el radio interior es $x - 3$:

   a) Sustituye estos valores en la fórmula del área.

   b) Utiliza las igualdades notables para simplificar la expresión del área. El resultado final debe ser un monomio o polinomio muy sencillo multiplicado por $\pi$.

Se quiere hallar el valor numérico de la expresión algebraica:

$$E(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5) - (2x^2 - x) \cdot (x + 4)$$

para el valor $x = -2$.

Dos estudiantes discuten sobre cuál es la mejor estrategia para calcularlo:

• Marcos propone el Método 1: sustituir directamente $x = -2$ en cada uno de los factores de la expresión original y realizar las operaciones aritméticas respetando la jerarquía.

• Sara propone el Método 2: multiplicar primero los polinomios, agrupar y reducir todos los términos semejantes hasta obtener la expresión en su forma canónica más simple, y después sustituir $x = -2$.

1. a) Aplica el Método 1 de Marcos detallando cada una de las operaciones intermedias.
2. b) Aplica el Método 2 de Sara desarrollando y reduciendo primero la expresión algebraica, y calculando después el valor numérico para comprobar que coincide con el anterior.
3. c) Compara ambos caminos valorando el riesgo de error en cada uno. Si ahora te pidieran calcular el valor de esa misma expresión para cuatro valores distintos ($x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ y $x = 3$), ¿cuál de los dos métodos elegirías y por qué? Justifica tu respuesta.

Considera la familia de polinomios dada por la expresión:

$$P(x) = 2x^3 + kx^2 - 8x - 12$$

donde $k$ es un número real constante que desconocemos.

1. a) Sabiendo que $x = -2$ es una raíz de $P(x)$, calcula de manera justificada el valor exacto del coeficiente $k$.
2. b) Una vez fijado dicho valor de $k$, comprueba de forma razonada mediante el cálculo del valor numérico si $x = 3$ y $x = 1$ son también raíces del polinomio.
3. c) Un compañero de clase asegura: «Como $P(x)$ tiene grado $3$, es seguro que podemos encontrar cuatro números reales distintos que anulen el polinomio». Argumenta por qué esta afirmación es matemáticamente falsa apoyándote en la relación entre el grado de un polinomio y su número máximo de raíces.
4. d) Construye un polinomio $Q(x)$ de grado $2$ que tenga únicamente como raíces los valores $x = -2$ y $x = 3$, y cuyo coeficiente principal sea $-5$. Presenta el resultado ordenado y reducido.