Ejercicios: División de polinomios

Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes:

En toda división de polinomios se cumple la relación $P(x) = d(x) \cdot c(x) + r(x)$. Si al dividir un polinomio entre $d(x) = x + 3$ hemos obtenido un cociente $c(x) = x - 1$ y un resto $r(x) = 5$, ¿cuál es el polinomio dividendo $P(x)$?

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división:

Utiliza la regla de Ruffini para realizar la división del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomio $d(x) = x + 1$. Indica claramente cuál es el cociente $C(x)$ y el resto $R$.

Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del resto de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto:

Calcula el valor de la letra $k$ para que la división sea exacta (es decir, que el resto sea $0$):

El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el largo del estudio?

Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el resto obtenido. Justifica tu respuesta basándote en el resultado de la operación.

Elena quiere calcular el cociente y el resto de la división $(2x^3 - 7x + 5) : (x - 3)$ aplicando la regla de Ruffini. En su libreta ha preparado la tabla anotando en la fila superior los números $2$, $-7$, $5$ y a la izquierda, como valor asociado al divisor, el número $-3$.

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Elena antes de ponerse a operar: uno relativo al signo del divisor y otro a los coeficientes del dividendo.
2. b) Corrige ambos fallos rehaciendo la tabla de Ruffini de manera adecuada, y escribe explícitamente el polinomio cociente $C(x)$ y el resto $R$ obtenidos.

Dada la división de polinomios $(6x^4 - x^3 - 2x^2 + 8x - 1) : (2x^2 - x + 1)$:

1. a) Antes de realizar el algoritmo, estima y razona:

1. ¿Qué grado exacto tendrá el polinomio cociente?

2. ¿Cuál es el grado máximo que puede tener el resto? ¿Podría el resto ser un polinomio de segundo grado como $x^2 - 3$? Justifícalo según la definición de la división de polinomios.

3. ¿Cuál será el monomio principal (el término de mayor grado) del cociente?

1. b) Realiza la división tradicional por el algoritmo de la caja y comprueba si tus estimaciones sobre los grados y el monomio principal coinciden con el resultado obtenido.

Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los términos del dividendo antes de comenzar:

$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$.

Recuerda que, para aplicar la regla, el polinomio debe estar completo y ordenado (si falta algún término, se escribe su coeficiente $0$) y que el valor que se coloca a la izquierda es la raíz del divisor.

1. a) Escribe los coeficientes del dividendo y el valor de $a$ que usas en la regla de Ruffini.

1. b) Realiza la regla de Ruffini paso a paso.

1. c) Escribe el polinomio cociente $C(x)$ e indica claramente cuál es el valor del resto $R$.

Sin realizar la división, utiliza el Teorema del Resto para averiguar si el número $x = 2$ es raíz del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica tu respuesta indicando si la división de $P(x)$ entre $(x - 2)$ es exacta o no.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ entre el binomio $(x - 2)$ tenga un resto igual a $10$.

El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la expresión algebraica que representa el largo de la misma.

Reconstruye el polinomio dividendo $D(x)$ sabiendo que, al dividirlo entre $d(x) = x^2 - 1$, se obtiene como cociente $C(x) = x + 5$ y como resto $R(x) = 3x - 2$. Utiliza la propiedad fundamental de la división: $D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$.

Un equipo de jóvenes programadores está diseñando un nivel de un videojuego donde el volumen de una caja de suministros es $V(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Si la base de la caja tiene un área de $A(x) = x^2 - 4x + 4$, ¿cuál es la expresión de la altura de la caja? ¿Qué valor toma la altura si $x = 5$ unidades?

Comprueba si el binomio $(x + 1)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 - 1$. Para ello, puedes usar tanto la división larga, como Ruffini o el Teorema del Factor. Explica qué significa que un binomio sea "factor" de otro polinomio en relación con el resto de la división.

Se considera el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 15$ y se desea estudiar su división entre $(x - 3)$.

1. a) Si el único propósito de un ejercicio fuera averiguar si la división es exacta (es decir, si el resto vale cero), compara dos caminos posibles: la regla de Ruffini y el Teorema del Resto. Justifica cuál de los dos procedimientos es más rápido y eficiente para responder a esa pregunta.
2. b) Aplica el método que has seleccionado como más eficiente en el apartado anterior, calcula el resto y deduce de forma justificada si $(x - 3)$ es o no un factor de $P(x)$.
3. c) Si ahora te pidieran obligatoriamente hallar el polinomio cociente $C(x)$, razona si el método del Teorema del Resto te seguiría sirviendo y obtén dicho cociente utilizando el método adecuado.

Queremos determinar un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$. Se conocen los siguientes datos sobre sus divisiones:

1. Al dividirlo entre $(x - 2)$, la división es exacta.

2. Al dividirlo entre $(x + 1)$, el resto es $0$.

3. Su término independiente vale $-8$.

1. a) Utilizando las dos primeras condiciones, determina dos raíces de $P(x)$ y escribe su expresión de forma factorizada: $P(x) = (x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - a)$, donde $a$ es una raíz desconocida.
2. b) A partir del término independiente, plantea una ecuación sencilla para calcular el valor exacto de la raíz $a$ y desarrolla el polinomio para expresarlo en la forma habitual $P(x) = x^3 + Bx^2 + Cx + D$.
3. c) Utiliza el Teorema del Resto (sin hacer la división larga ni Ruffini) para comprobar si el binomio $(x + 4)$ es también un factor de $P(x)$.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - ax^3 + bx^2 + x - 6$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$. Pista: utiliza el Teorema del Resto para plantear un sistema de ecuaciones.

Una empresa de logística utiliza cajas de cartón cuyo volumen en centímetros cúbicos viene dado por el polinomio $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Si sabemos que el área de la base de la caja es $B(x) = 2x^2 + 5x - 3$, calcula el polinomio que representa la altura $H(x)$ de la caja.

Al dividir un polinomio $P(x)$ entre $Q(x) = x^2 - 4$, obtenemos como cociente $C(x) = x^2 + 2x - 3$ y como resto $R(x) = 5x + 1$. Reconstruye el polinomio original $P(x)$ y exprésalo en su forma estándar (ordenado de mayor a menor grado).

Determina el valor de $k$ para que el resto de la división $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sea igual al resto de la división $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.

Calcula el cociente y el resto de la siguiente división utilizando la regla de Ruffini. Presta atención, ya que el divisor no tiene coeficiente principal igual a 1:

Recuerda que para usar Ruffini el divisor debe ser del tipo $(x - a)$. ¿Cómo podrías transformar $2x - 1$ para que tenga esa forma?

El beneficio total de una tienda de videojuegos por la venta de un nuevo lanzamiento viene expresado por el polinomio $B(x) = x^3 + 15x^2 + 54x$. Si el beneficio por cada videojuego vendido se representa por el binomio $(x + 6)$, realiza la división para hallar el polinomio que representa el número total de videojuegos vendidos.

Se quiere diseñar una valla publicitaria rectangular cuya superficie total está definida por $S(x) = x^4 - 16$. Si sabemos que uno de sus lados mide $L(x) = x^2 + 4$, calcula el polinomio que representa el otro lado. A continuación, indica si el área es divisible por $(x - 2)$ y justifica tu respuesta sin realizar la división larga.

Considera el polinomio $P(x) = 3x^3 - kx^2 + 12x - 4$.

1. Calcula el valor de $k$ para que $x = 2$ sea una raíz del polinomio.

2. Una vez hallado $k$, utiliza la regla de Ruffini para dividir $P(x)$ entre $(x - 2)$ y comprueba que el resto es cero.

3. ¿Es el cociente obtenido un polinomio de segundo grado mónico? (Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1).

Una empresa de mensajería y logística con sede en Santiago de Cuba diseña cajas modulares para optimizar el transporte en camionetas. El volumen total de carga (en decímetros cúbicos, equivalente a litros) correspondiente a un envío viene modelado por el polinomio:

donde $x$ es una cota de diseño en decímetros con $x > 1$. La superficie de la base de la camioneta donde se apilan las cajas, medida en decímetros cuadrados, viene dada por el polinomio:

1. a) Modela la altura $H(x)$ que alcanza el apilamiento dividiendo el volumen $V(x)$ entre la superficie de la base $S(x)$. Realiza la división e interpreta el significado del resto obtenido: ¿encajan las cajas ocupando toda la base sin dejar huecos o volúmenes sobrantes que impidan cerrar el portón?
2. b) Si para un determinado reparto se fija $x = 3\text{ dm}$, calcula el valor numérico de la superficie de la base, de la altura y del volumen total, y comprueba que se cumple la prueba de la división: $V(3) = S(3) \cdot H(3) + R$.

Considera un polinomio $P(x)$ del que no conocemos su expresión completa, pero sabemos dos resultados de sus divisiones: al dividir $P(x)$ entre $(x - 2)$ el resto obtenido es $7$, y al dividir $P(x)$ entre $(x + 1)$ el resto obtenido es $-2$.

1. a) Si dividimos $P(x)$ entre el polinomio de segundo grado $d(x) = (x - 2) \cdot (x + 1) = x^2 - x - 2$, razona detalladamente a partir de la relación de grados por qué el resto $R(x)$ debe tener a lo sumo grado $1$ y puede escribirse siempre como $R(x) = mx + n$.
2. b) Plantea la igualdad fundamental de la división: $P(x) = (x^2 - x - 2) \cdot C(x) + (mx + n)$. Sin conocer el cociente $C(x)$, sustituye los valores adecuados de $x$ en dicha igualdad para formular un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas $m$ y $n$.
3. c) Resuelve el sistema y escribe la expresión algebraica definitiva del resto $R(x)$.

Reto del tema. ¿Cómo optimizar el embalaje de envíos? Vas a rediseñar una caja de cartón para envíos sostenibles partiendo de un objeto cotidiano.

1. Toma de datos y expresiones: Mide en centímetros el largo, ancho y alto de una caja real que tengas en casa. Plantea que aumentas el largo en $x\text{ cm}$, el ancho en $(x - 1)\text{ cm}$ y la altura queda fija en su valor medido $h$. Escribe las expresiones algebraicas de las nuevas aristas.

2. Producto y suma: Determina el polinomio del volumen total $V(x)$ multiplicando las tres dimensiones y el polinomio del área total $A(x)$ sumando las áreas de sus seis caras para estimar el cartón necesario.

3. División: Si la caja transportará piezas modulares cuyo volumen unitario es $(x + 2)\text{ cm}^3$, divide $V(x)$ entre $(x + 2)$ aplicando la división de polinomios para obtener el cociente $C(x)$ y el resto $R$, de modo que $V(x)=(x+2)C(x)+R$. Para $x = 2,5$, comprueba que el número máximo de unidades completas que caben por volumen es la parte entera de $V/(x+2)$ y explica por qué no coincide, en general, con el valor del cociente, ni el resto con el volumen desaprovechado.

4. Informe final: Utiliza una hoja de cálculo o GeoGebra para evaluar el volumen útil y el cartón gastado si se amplía $x = 2,5\text{ cm}$, redactando una propuesta razonada sobre la viabilidad del embalaje.

Se valorará:

• Precisión en el planteamiento de las expresiones algebraicas y el cálculo del producto y la suma.

• Dominio del algoritmo de la división polinómica e interpretación crítica de cociente y resto.

• Uso adecuado de la herramienta digital y justificación de conclusiones a partir de los datos medidos.