Ejercicios: Aproximación y errores

En la pantalla de tu calculadora aparece el número irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala realizando las aproximaciones indicadas para ese número:

Tipo de aproximación	A las unidades	A las décimas	A las centésimas	A las milésimas
Por truncamiento
Por redondeo

Estás ayudando a organizar una carrera solidaria en tu escuela. Al calcular la distancia exacta de un tramo del recorrido con el GPS, obtienes 2,3458 km.

Para hacer los carteles informativos, necesitas simplificar esta cifra. Escribe cómo quedaría esta distancia si aproximamos por redondeo:

1. a) A las unidades (km).
2. b) A las décimas.
3. c) A las centésimas.

Ayúdate de la siguiente recta numérica para visualizar dónde cae el número:

Un famoso streamer ha subido un video que tiene exactamente 3.894.215 visualizaciones.

1. a) Escribe esta cantidad redondeada a los millones.
2. b) Escribe la cantidad redondeada a las centenas de millar.
3. c) ¿Cuántas cifras significativas has utilizado en el inciso b?

Al medir la longitud de tu mesa de estudio, el valor real de fábrica es de 120 cm. Tú utilizas una cinta métrica y obtienes una medida de 119 cm.

1. a) Calcula el error absoluto ($E_a$) cometido en tu medición. Recuerda que el error absoluto es la diferencia en valor positivo entre el valor real y el aproximado: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Si tu compañero mide el pasillo de la escuela, que mide realmente 5000 cm, y obtiene 4999 cm, su error absoluto es de 1 cm, igual que el tuyo. ¿Significa esto que ambas mediciones tienen la misma precisión? Razona tu respuesta (puedes apoyarte en el concepto de error relativo).

Vamos a calcular el error relativo ($E_r$) para comparar dos pesajes distintos. Recuerda que la fórmula es $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesas una manzana cuyo peso real es 200 g y tu balanza marca 205 g.

2. Caso B: Pesas a tu perro cuyo peso real es 20.000 g (20 kg) y la báscula marca 20.005 g.

Calcula el error relativo en ambos casos (puedes expresarlo en forma decimal o porcentaje) e indica qué medición ha sido más precisa (de mayor calidad).

Mira la siguiente imagen que representa el velocímetro digital de una bicicleta eléctrica:

El velocímetro solo muestra números enteros (sin decimales) y marca 24 km/h mediante redondeo a las unidades.

Esto significa que la velocidad real no es exactamente 24 km/h, sino que está comprendida en un intervalo. ¿Entre qué dos valores (cota inferior y cota superior) se encuentra la velocidad real de la bicicleta?

Has ido al supermercado a comprar ingredientes para una cena. Los precios reales de los productos son:

• Pasta: 1,85 dólares

• Salsa de tomate: 2,15 dólares

• Queso rallado: 3,48 dólares

• Refresco: 1,25 dólares

1. a) Haz una estimación rápida del costo total redondeando cada precio a las unidades antes de sumar.
2. b) Calcula la suma exacta de los precios.
3. c) Calcula la diferencia (error absoluto) entre tu estimación y el precio real. ¿Crees que fue una buena estimación para saber si llevabas 10 dólares en el bolsillo?

Queremos calcular el área de un círculo cuyo radio hemos medido con una regla.

La medida del radio es $r = 5$ cm.

Sabemos que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3$, ¿cuál es el área calculada?
2. b) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3,14$, ¿cuál es el área calculada?
3. c) Sabiendo que el valor "real" (usando la tecla $\pi$ de la calculadora) es aproximadamente 78,54 cm², calcula el error absoluto cometido en el apartado a y en el apartado b. ¿Qué aproximación de $\pi$ es más adecuada usar en matemáticas de 3º de ESO?

Marcos afirma en clase de Matemáticas que las cantidades $0,0350\text{ m}$ y $350\text{ m}$ tienen exactamente la misma cantidad de cifras significativas porque «los ceros no aportan valor y ambos números se reducen a 35». Además, asegura que en $0,0350\text{ m}$ el instrumento midió con precisión de unidades porque no cuenta decimales.

1. a) Explica razonadamente los dos errores conceptuales que comete Marcos sobre la función de los ceros.
2. b) Indica el número correcto de cifras significativas de cada una de las dos medidas justificando el papel de cada cero.
3. c) Si la medida $0,0350\text{ m}$ se obtuvo con un instrumento cuya última cifra indica la sensibilidad de la lectura, ¿cuál es la cota de error absoluto (la media unidad de la última cifra) cometida al medir?

Un número decimal positivo $x$ se ha aproximado a las décimas mediante redondeo, obteniéndose como resultado $4,8$.

1. a) Si sabemos que al redondear el valor original aumentó y que el error absoluto cometido fue exactamente de $0,03$, ¿cuál era el valor exacto de $x$?
2. b) Escribe, mediante un intervalo o desigualdades, todos los posibles números reales que al redondearse a las décimas dan como resultado $4,8$.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto máximo que se puede cometer al redondear cualquier número a las décimas?

En el ámbito científico y tecnológico es crucial saber con qué precisión estamos trabajando. Redondea los siguientes números a tres cifras significativas:

1. a) La cantidad de visitas de un video viral: $14\,592\,301$.
2. b) La masa de una partícula de polvo: $0,00040961$ gramos.
3. c) El número $\pi$: $3,141592...$
4. d) La capacidad de un disco duro en bytes: $1\,024\,576\,000$.

Después, expresa cada resultado utilizando la notación científica.

Vamos a analizar el error que cometemos al usar decimales en lugar de fracciones. Considera la fracción $\frac{7}{3}$.

1. a) Escribe su expresión decimal y redondéala a las centésimas.
2. b) Calcula el error absoluto ($E_a$) cometido con esta aproximación.
3. c) Calcula el error relativo ($E_r$) y exprésalo en forma de porcentaje.

Nota: Recuerda que para el cálculo del error, debes usar el valor exacto (la fracción) como referencia.

Dos estudiantes realizan mediciones distintas para un proyecto de ciencias.

• Lucía mide la longitud de un campo de fútbol y obtiene $105$ m, con un error absoluto de $0,5$ m.

• Marcos mide la longitud de la pantalla de un celular y obtiene $15$ cm, con un error absoluto de $0,1$ cm.

¿Cuál de las dos mediciones es más precisa (tiene mayor calidad)? Justifica tu respuesta calculando los errores relativos de ambas medidas.

En muchas gasolineras, el precio del combustible se muestra con tres decimales (milésimas de dólares), aunque nosotros pagamos con monedas que solo llegan a los centavos (centésimas).

El precio del diésel hoy es de $1,489$ dólares/litro.

Vas a echar exactamente $35$ litros.

1. a) Calcula el precio real exacto multiplicando los $35$ litros por el precio con tres decimales.
2. b) Calcula el precio si primero redondeamos el precio del litro a dos decimales ($1,49$ dólares/L).
3. c) ¿Cuál es la diferencia en dólares entre ambos métodos? ¿Quién sale ganando con el redondeo previo, el cliente o la gasolinera?

Queremos calcular el área de un rectángulo cuya base mide $\sqrt{5}$ cm y su altura mide $\sqrt{3}$ cm.

1. a) Calcula el área exacta utilizando radicales.
2. b) Aproxima $\sqrt{5}$ y $\sqrt{3}$ a las centésimas y calcula el área aproximada con esos valores.
3. c) Determina el error absoluto cometido al usar los valores aproximados respecto al valor exacto del apartado a.

Las básculas de baño digitales suelen tener una precisión de $100$ gramos ($0,1$ kg). Esto significa que si la báscula marca $54,2$ kg, el peso real podría estar un poco por encima o un poco por debajo, pero redondeado a ese decimal.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles para un peso medido de $54,2$ kg.
2. b) ¿Cuál es la cota de error absoluto de esta báscula?

Calcula el error relativo cometido en las siguientes aproximaciones e indica cuál de ellas es la peor aproximación (la que tiene mayor error relativo):

1. a) Aproximar la fracción $\frac{1}{3}$ como $0,33$.
2. b) Aproximar el número $\sqrt{2}$ como $1,41$.
3. c) Aproximar un presupuesto de $150.000$ dólares como $140.000$ dólares.

En las noticias han anunciado que a una manifestación han acudido "aproximadamente 25.000 personas".

1. a) Si sabemos que esa cifra se ha obtenido redondeando a los millares, ¿cuál es el número máximo y mínimo de personas que podrían haber asistido realmente?
2. b) Representa este intervalo en la recta numérica.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto máximo que se podría estar cometiendo con ese titular?

Una familia prepara un viaje en coche de Madrid a Córdoba por la autovía A-4. La distancia que marca el navegador es de $396,4\text{ km}$, el consumo medio del vehículo es de $6,8\text{ litros}$ cada $100\text{ km}$ y el precio de la gasolina en ese momento es de $1,59\text{ \$/litro}$.

1. a) Antes de operar con decimales, redondea cada uno de los tres datos numéricos a una sola cifra significativa y realiza una estimación mental del gasto total en combustible del viaje.
2. b) Utiliza la calculadora con los datos originales para calcular el coste real exacto del trayecto (expresa el resultado redondeado a los centavos de dólares).
3. c) Calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de tu estimación respecto al valor real. A partir del resultado, valora si la estimación previa fue razonable para planificar el presupuesto del viaje.

En un taller de carpintería metálica disponen de barras de aluminio de $300\text{ cm}$ de longitud y necesitan cortar piezas individuales de $14,6\text{ cm}$. Para averiguar cuántas piezas completas se obtienen de cada barra, dos operarios dividen $300 : 14,6 = 20,5479...$:

• Elena dice: «Debemos redondear a las unidades; como la cifra de las décimas es un 5, obtenemos 21 piezas».

• Sergio dice: «Debemos truncar a las unidades; por tanto, obtenemos 20 piezas».

1. a) ¿Cuál de los dos métodos es el adecuado para resolver este problema real? Explica qué consecuencia práctica tendría aplicar el método incorrecto.
2. b) Con el método correcto, calcula cuántos centímetros de aluminio sobran exactamente de una barra tras obtener todas las piezas posibles.
3. c) Plantea una situación cotidiana distinta a esta en la que el truncamiento sea más conveniente o realista que el redondeo matemático, y justifica por qué.

En un laboratorio de nanotecnología y en un observatorio astronómico se han realizado dos mediciones distintas con sus respectivos instrumentos de precisión:

1. La longitud de un chip microscópico: $0,00045 \text{ m}$ (con un error posible de $\pm 0,00001 \text{ m}$).

2. La distancia entre dos satélites: $45000 \text{ km}$ (con un error posible de $\pm 100 \text{ km}$).

Sin realizar cálculos complejos, se podría pensar que la medición del chip es "más fina" por ser el número más pequeño, pero ¿cuál de las dos mediciones tiene mayor calidad o precisión científica?

Justifica tu respuesta calculando el error relativo de ambas mediciones y expresándolo en porcentaje.

Queremos pintar una pista de aterrizaje para helicópteros (helipuerto) que tiene forma circular. Para calcular la cantidad de pintura necesaria, medimos el radio y obtenemos $r = 12,5 \text{ m}$. Sabemos que la fórmula del área es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcula el área "exacta" utilizando la tecla $\pi$ de tu calculadora.
2. b) Calcula el área aproximada utilizando el valor redondeado $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido al usar la aproximación de $\pi$ respecto al valor de la calculadora.
4. d) Si un bote de pintura cubre $5 \text{ m}^2$, ¿afecta el error cometido al número de botes que debemos comprar?

Una empresa de joyería compra oro basándose en el peso. Su balanza digital mide con una precisión de centésimas de gramo ($0,01 \text{ g}$). Sin embargo, la factura que emiten trunca el peso a un solo decimal (décimas de gramo) para realizar el cobro.

Esta semana han comprado 4 lotes de oro cuyos pesos reales en la balanza fueron:

• Lote A: $12,48 \text{ g}$

• Lote B: $25,19 \text{ g}$

• Lote C: $8,76 \text{ g}$

• Lote D: $15,95 \text{ g}$

1. a) Calcula el peso total real sumando las cantidades exactas de la balanza.
2. b) Calcula el peso total que aparece en las facturas sumando las cantidades truncadas a las décimas.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto total que se ha cometido con este método de facturación? ¿Quién sale perdiendo, el comprador o el vendedor?

Tenemos un depósito de agua con forma de paralelepípedo rectangular (caja rectangular). Hemos medido sus dimensiones con una cinta métrica que solo marca los decímetros, por lo que nuestras medidas tienen una cota de error absoluto de $0,5 \text{ dm}$ (es decir, el valor real podría ser 0,5 dm mayor o menor).

Las medidas obtenidas son:

• Largo: $20 \text{ dm}$

• Ancho: $10 \text{ dm}$

• Alto: $15 \text{ dm}$

Calcula el volumen del depósito ($V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto}$) y determina entre qué dos valores (intervalo) se encuentra el volumen real del depósito, considerando las cotas de error de cada medida.

Vamos a aproximar el número irracional $\sqrt{10}$.

1. a) Escribe la aproximación de $\sqrt{10}$ por redondeo a las décimas, a las centésimas y a las milésimas.
2. b) Calcula el error absoluto cometido en cada uno de los tres casos anteriores (usando el valor de la calculadora como "valor real").
3. c) ¿Cuántas cifras decimales necesitamos tomar para que el error absoluto sea menor que $0,0001$? Justifica tu respuesta sin necesidad de escribir todas las cifras, usando la lógica de las cotas de error.

Un velocímetro digital de una bicicleta marca la velocidad con un solo decimal. En un momento dado, marca $24,5 \text{ km/h}$.

Sabemos que este aparato aproxima por redondeo a la décima más cercana.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles en el que se encuentra la velocidad exacta de la bicicleta. Es decir, ¿cuál es la velocidad mínima y máxima que podría llevar el ciclista para que el aparato marque 24,5?
2. b) Si el ciclista mantiene esa velocidad durante 2 horas exactas, ¿cuál es la diferencia máxima en kilómetros (cota de error absoluto) entre la distancia calculada con el valor 24,5 y la distancia real posible?

Se quiere parcelar un terreno rectangular para construir viviendas.

Las dimensiones del terreno son $\frac{200}{3}$ metros de largo y $\frac{100}{7}$ metros de ancho.

Si trabajamos con fracciones, el cálculo es exacto, pero los operarios necesitan números decimales.

1. a) Calcula el área exacta del terreno usando las fracciones.
2. b) Aproxima cada dimensión a dos cifras decimales (centésimas) y calcula el área con esos valores aproximados.
3. c) ¿Cuál es el error relativo cometido al calcular el área con los valores aproximados respecto al valor exacto de la fracción?

Calcula paso a paso la cota de error absoluto y la cota de error relativo en la siguiente operación combinada, teniendo en cuenta el orden de operaciones.

Dados los números $A = 2,86$ y $B = 4,13$, aproximaciones de unos valores reales desconocidos, pero sabiendo que ambos han sido redondeados a las centésimas.

1. a) Calcula el valor de $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Razona: ¿cuál es la cota de error absoluto del resultado $C$? (Pista: piensa en el valor máximo y mínimo que podrían tener $A$ y $B$ antes de ser redondeados).

1. c) Calcula la cota de error relativo de $C$, dividiendo la cota de error absoluto entre el valor de $C$.

En las notas de prensa sobre el padrón municipal del Instituto Nacional de Estadística (INE), la población empadronada en Teruel se publica como $36\,000$ habitantes (redondeada a los millares más cercanos), mientras que la de Madrid se publica como $3\,340\,000$ habitantes (redondeada a las decenas de millar más cercanas).

1. a) Determina la cota de error absoluto (error máximo posible) cometida en la cifra de cada una de las dos ciudades.
2. b) Calcula la cota de error relativo porcentual de cada medición tomando como referencia el valor publicado.
3. c) Un titular de prensa afirma: «La cifra oficial de Madrid es diez veces menos precisa y fiable que la de Teruel porque su margen de error absoluto es de $5\,000$ personas frente a las $500$ de Teruel». Utiliza los conceptos de error absoluto y error relativo para rebatir matemáticamente la afirmación del periodista y concluir qué dato es de mayor calidad.

Un laboratorio farmacéutico fabrica cápsulas en las que la masa teórica de principio activo debe ser de $0,250\text{ g}$. El protocolo de control de calidad exige de manera estricta que el error relativo de la masa real respecto al valor teórico no supere el $1,6\,\%$.

1. a) Plantea la condición matemática y determina el intervalo de masa real $[m_{\text{mín}}, m_{\text{máx}}]$ que hace aceptable a una cápsula.
2. b) Para realizar el control, el laboratorio dispone de dos balanzas analíticas:

• Balanza A: precisión de $\pm 0,005\text{ g}$.

• Balanza B: precisión de $\pm 0,001\text{ g}$.

Calcula el error relativo máximo porcentual que introduce únicamente la imprecisión de cada instrumento al pesar $0,250\text{ g}$. Justifica de forma razonada si la Balanza A es adecuada para certificar el cumplimiento del protocolo o si resulta imprescindible emplear la Balanza B.