Ejercicios: Semejanza

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original es un rectángulo que mide $8\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Para la pantalla de carga, necesita crear una versión más grande que sea semejante a la original. Si el ancho de la versión ampliada debe ser de $20\text{ cm}$, ¿cuál será la altura del logotipo en esa pantalla?

En el plano de una vivienda, la escala utilizada es $1:50$. Si el salón tiene una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibujo, calcula cuántos metros mide la longitud real de dicha estancia.

Dos triángulos están colocados en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos y miden $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y que el segmento vertical del triángulo menor mide $9\text{ cm}$, calcula el valor del segmento vertical desconocido denotado por $x$ del triángulo mayor.

Un estudiante de 3º de ESO mide $1,60\text{ m}$ de altura. En un momento del día, proyecta una sombra sobre el suelo de $2\text{ m}$. Si justo al lado, una farola proyecta una sombra de $5\text{ m}$, ¿cuál es la altura de la farola?

Indica si los siguientes pares de triángulos son semejantes y justifica qué criterio utilizaste (AAA, SSS o SAS):

• Triángulo 1: Ángulos de $40^\circ$ y $70^\circ$.

• Triángulo 2: Ángulos de $70^\circ$ y $70^\circ$.

Una pizzería ofrece dos tamaños de pizza redonda que son semejantes. La pizza "Pequeña" tiene un radio de $10\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Si la pizza "Familiar" tiene un radio de $20\text{ cm}$, ¿cuál será su área? (Recuerda la relación entre la razón de semejanza $k$ y las áreas).

Marcos quiere hacer una copia ampliada de una lámina artística rectangular de $15\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. En la tienda de copias le ofrecen ampliarla proporcionalmente de modo que el nuevo ancho sea de $45\text{ cm}$. Marcos calcula mentalmente: «Como el ancho pasa de $15\text{ cm}$ a $45\text{ cm}$, la figura se triplica. La lámina original costaba $\$2$, así que la nueva lámina, al tener el triple de tamaño, me costará exactamente $\$6$».

1. a) Identifica el error en el razonamiento de Marcos sobre el costo del papel. ¿Qué magnitud geométrica determina el gasto de material: la longitud lineal o el área?
2. b) Halla la razón de semejanza lineal $k$ y calcula las dimensiones (ancho y largo) y el área de la lámina ampliada.
3. c) Si el precio del papel especial de impresión es proporcional a la superficie impresa, ¿cuál es el precio real y justo que debería pagar Marcos por la lámina grande?

En una plaza de Segovia, a las once de la mañana, una señal vertical de tráfico de $2\text{ m}$ de altura proyecta sobre el pavimento una sombra de $1,6\text{ m}$. En ese mismo instante, la torre de una iglesia cercana proyecta una sombra rectilínea de $28\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular con precisión, realiza una estimación razonada: observando la relación entre la altura de la señal y su sombra, ¿esperas que la altura de la torre sea mayor o menor que la longitud de su sombra? ¿Estará más cerca de $20\text{ m}$, de $35\text{ m}$ o de $50\text{ m}$?
2. b) Plantea la proporción matemática correspondiente (mediante triángulos semejantes formados por los rayos solares) y calcula con exactitud la altura de la torre.
3. c) Compara el valor numérico obtenido con tu estimación previa y valora si el resultado tiene sentido físico y arquitectónico para un campanario histórico.

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva marca de ropa. El diseño original es un cuadrilátero con lados que miden $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. El cliente le pide una versión más grande para un cartel publicitario, donde el lado que antes medía $9\text{ cm}$ ahora debe medir $45\text{ cm}$.

1. a) Calcula la razón de semejanza $k$ entre el logotipo del cartel y el original.
2. b) Determina la medida de los otros tres lados en el logotipo del cartel.
3. c) Si el perímetro del logotipo original es de $35\text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del logotipo del cartel sin sumar sus lados uno a uno?

Para calcular la altura de una torre de comunicación que proyecta una sombra muy larga, Marcos, que mide $1,70\text{ m}$, se coloca de pie de forma que el extremo de su propia sombra coincida con el extremo de la sombra de la torre. Si Marcos está a $25\text{ m}$ de la base de la torre y su sombra mide $2,5\text{ m}$, responde:

1. a) ¿Por qué podemos afirmar que los triángulos formados por Marcos y la torre con sus respectivas sombras son semejantes? Menciona el criterio de semejanza utilizado.
2. b) Calcula la altura de la torre.

En la siguiente figura, las rectas $r$, $s$ y $t$ son paralelas. Sabiendo que $y = x + 1$, utiliza el Teorema de Tales para calcular las longitudes desconocidas $x$ e $y$ expresadas en centímetros.

Un proyector de cine está situado a $6\text{ metros}$ de una pantalla. El haz de luz proyecta una imagen que en la pantalla tiene una altura de $2,4\text{ metros}$.

1. a) Si colocamos un obstáculo de $40\text{ cm}$ de altura paralelo a la pantalla para crear una sombra china, ¿a qué distancia del proyector debemos colocarlo para que su sombra ocupe exactamente toda la altura de la pantalla?
2. b) Si alejamos el proyector hasta los $9\text{ metros}$ de la pantalla, ¿cuál será la nueva altura de la imagen proyectada?

Dos rectángulos son semejantes. El primero tiene una base de $12\text{ cm}$ y un área de $96\text{ cm}^2$. El segundo rectángulo tiene un área de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula la razón de semejanza entre el segundo y el primer rectángulo. (Pista: utiliza la relación entre áreas).
2. b) Calcula las dimensiones (base y altura) del segundo rectángulo.
3. c) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

Observa el triángulo rectángulo de la figura. La altura $h$ sobre la hipotenusa divide al triángulo original en dos triángulos más pequeños.

1. a) Justifica por qué los tres triángulos (el original y los dos pequeños) son semejantes entre sí.
2. b) Si los segmentos en los que queda dividida la hipotenusa miden $m = 4\text{ cm}$ y $n = 9\text{ cm}$, calcula la altura $h$ utilizando la semejanza de los dos triángulos pequeños.
3. c) Calcula el área del triángulo original.

Una empresa de mobiliario fabrica mesas de centro hexagonales regulares. Tienen dos modelos: el modelo "Mini" tiene un lado de $30\text{ cm}$ y su tapa de cristal cuesta $\$45$. El modelo "Gran Salón" es semejante al anterior y tiene un lado de $60\text{ cm}$.

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el modelo grande y el pequeño?
2. b) Sabiendo que el precio del cristal es proporcional a su superficie, ¿cuánto costará la tapa de cristal del modelo "Gran Salón"?
3. c) Si para bordear la mesa pequeña con una cinta metálica se necesitan $180\text{ cm}$, ¿cuánta cinta se necesitará para la mesa grande?

En un mapa del Instituto Cubano de Geodesia y Cartografía (ICGC) a escala $1:50\,000$, una brigada de bomberos forestales del Cuerpo de Guardabosques analiza una parcela triangular de monte. En el papel, los tres lados del triángulo miden exactamente $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ y $5\text{ cm}$.

1. a) Comprueba numéricamente que el triángulo del mapa es rectángulo y calcula su perímetro (en $\text{cm}$) y su área (en $\text{cm}^2$).
2. b) Utilizando la escala como razón de semejanza lineal, calcula las longitudes reales de los tres lados del terreno forestal en kilómetros y obtén su perímetro real.
3. c) Calcula la superficie real de la parcela de dos formas independientes: primero, calculando el área a partir de las longitudes reales en kilómetros del apartado anterior; segundo, multiplicando el área del mapa por la razón de áreas $k^2$ adecuada. Comprueba que ambos métodos coinciden y expresa el resultado final en hectáreas ($1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}$).

Un taller de cerámica artesanal de Onda (Castellón) fabrica azulejos decorativos semejantes con forma de paralelogramo. El molde básico tiene una base de $12\text{ cm}$, una altura de $5\text{ cm}$ y lados laterales inclinados de $6,5\text{ cm}$. Para un mural en un edificio público, reciben el encargo de fabricar piezas semejantes cuya superficie individual sea exactamente de $1\,500\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula el área y el perímetro del azulejo básico.
2. b) Plantea la relación matemática entre las áreas de dos figuras semejantes para deducir la razón de semejanza lineal $k$ que transforma el azulejo básico en el azulejo grande del mural.
3. c) A partir de dicha razón $k$, calcula las dimensiones completas (base, altura y lados oblicuos) del azulejo grande, así como los metros de cinta protectora que se necesitarán para embalar el contorno perimetral de cada una de las piezas grandes.

Un arquitecto está diseñando la fachada de un auditorio moderno. Ha dibujado un triángulo rectángulo principal y, para mejorar la acústica, necesita trazar la altura sobre la hipotenusa. Esta altura divide al triángulo original en otros dos triángulos más pequeños. Sabiendo que los catetos del triángulo original miden $18\text{ m}$ y $24\text{ m}$, utiliza la semejanza de triángulos para calcular:

1. a) La longitud de la altura trazada sobre la hipotenusa.
2. b) Las longitudes de los dos segmentos en los que queda dividida la hipotenusa.

Una empresa de impresión 3D ha creado una maqueta a escala de una plaza circular. En la maqueta, el área de la plaza es de $450\text{ cm}^2$. El cliente solicita una segunda maqueta donde el perímetro sea un $20\%$ mayor que el de la primera maqueta.

1. a) ¿Cuál será el área de la plaza en esta segunda maqueta?
2. b) Si la plaza real tiene un radio de $30\text{ m}$, ¿cuál es la escala utilizada en la primera maqueta? (Expresa la escala en formato $1:n$).

Para medir la altura de una torre de refrigeración de una central eléctrica, un equipo de ingenieros utiliza un espejo colocado en el suelo. El ingeniero se sitúa de modo que, mirando el espejo, ve reflejada la parte superior de la torre. El espejo está a $45\text{ m}$ de la base de la torre. El ingeniero, cuyos ojos están a una altura de $1,75\text{ m}$, se encuentra a $1,5\text{ m}$ del espejo. Entre el espejo y la torre hay una valla de seguridad de $5\text{ m}$ de altura.

¿A qué distancia mínima del espejo debe estar la valla para que no oculte el reflejo de la parte superior de la torre en los ojos del ingeniero?

Dos ciudades, A y B, están separadas por un río de orillas paralelas. Para calcular la distancia entre un punto $P$ en la orilla de la ciudad A y un punto $Q$ en la orilla de la ciudad B (situado justo enfrente), un topógrafo recorre $60\text{ m}$ por la orilla de la ciudad A hasta un punto $R$. Desde $R$, camina otros $20\text{ m}$ en la misma dirección hasta un punto $S$. En $S$, gira $90^\circ$ y se aleja del río hasta que los puntos $Q$ y $R$ quedan alineados con su posición actual ($T$). Si la distancia $ST$ es de $15\text{ m}$:

1. a) Calcula la anchura del río ($PQ$).
2. b) Calcula la distancia en línea recta entre el topógrafo en el punto $T$ y el punto $Q$ al otro lado del río.

Un dron proyecta un haz de luz cónico sobre un terreno llano. A una altura de $10\text{ m}$, el haz ilumina un círculo de $4\text{ m}$ de radio. El dron desciende hasta una altura en la que el área iluminada se reduce exactamente a la cuarta parte de la original.

Dibuja el esquema en tu cuaderno.

1. a) ¿A qué altura se encuentra ahora el dron?
2. b) Si en el centro del área iluminada hay un objeto cilíndrico de $1,5\text{ m}$ de altura y $0,85\text{ m}$ de radio, ¿qué radio tendrá la sombra proyectada por dicho objeto cuando el dron estaba a $10\text{ m}$ de altura?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un mapa de una zona forestal, un incendio ha afectado a una superficie con forma de trapecio. Las bases del trapecio en el mapa miden $4\text{ cm}$ y $7\text{ cm}$, y su altura es de $3\text{ cm}$. Se sabe que la superficie real afectada es de $16,5\text{ hectáreas}$ ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

1. a) Calcula la escala del mapa.
2. b) Si se decide reforestar una zona adyacente que en el mapa es un triángulo semejante al que se formaría al prolongar los lados no paralelos del trapecio, y cuya base es la base menor del trapecio, ¿qué superficie real tendrá esa zona de reforestación?

Se proyecta una diapositiva sobre una pantalla situada a $6\text{ m}$ de distancia. El tamaño de la imagen proyectada es de $1,8\text{ m}$ de alto por $2,4\text{ m}$ de ancho.

1. a) Si la diapositiva original tiene unas dimensiones de $24\text{ mm}$ por $32\text{ mm}$, ¿a qué distancia de la diapositiva se encuentra el foco de luz del proyector?
2. b) Si movemos la pantalla para que esté a $9\text{ m}$ del proyector, ¿cuántas veces aumentará el área de la imagen respecto a la proyección anterior?

Considera un triángulo isósceles $ABC$ donde el lado desigual $BC$ mide $12\text{ cm}$ y los lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. Inscrito en él, se coloca un cuadrado cuya base descansa sobre el lado $BC$ del triángulo y sus otros dos vértices tocan los lados $AB$ y $AC$.

Utiliza la semejanza entre el triángulo original y el triángulo pequeño que queda por encima del cuadrado para calcular el lado del cuadrado.

Para garantizar la accesibilidad en una estación de ferrocarril, se instala una rampa recta continua que salva un desnivel vertical de $1,2\text{ m}$ sobre una distancia horizontal en el suelo de $9\text{ m}$. Por motivos estructurales, se debe colocar un pilar vertical de apoyo a $3\text{ m}$ de distancia horizontal desde el inicio de la rampa. Se necesita calcular la altura $h$ de dicho pilar y la longitud $d$ del tramo inclinado de rampa que va desde el suelo hasta el extremo superior del pilar.

Para resolverlo, dos técnicos discuten qué camino es más conveniente:

• Estrategia 1 (Semejanza geométrica directa): Considerar el triángulo grande completo y el triángulo pequeño bajo el pilar como semejantes en posición de Tales; calcular la hipotenusa grande por Pitágoras y luego reducirla con la razón de semejanza horizontal.

• Estrategia 2 (Pendiente y Pitágoras local): Calcular la pendiente constante de la rampa como cociente vertical/horizontal ($1,2 / 9$), aplicar dicha pendiente al tramo de $3\text{ m}$ para obtener directamente $h$, y luego aplicar el Teorema de Pitágoras únicamente sobre el triángulo menor.

1. a) Resuelve el problema aplicando detalladamente los pasos de la Estrategia 1.
2. b) Resuelve el problema aplicando detalladamente los pasos de la Estrategia 2.
3. c) Compara ambos procedimientos: analiza cuál de los dos evita arrastrar decimales periódicos o aproximaciones intermedias y justifica razonadamente cuál recomendarías para minimizar errores en los planos de una obra.

Para evaluar las pérdidas por sequía en una finca agrícola de Lleida, un perito utiliza una cámara fotográfica con un sensor rectangular de $36\text{ mm} \times 24\text{ mm}$ y un objetivo con una distancia focal fija de $50\text{ mm}$. La cámara se monta en un dron que apunta perpendicularmente hacia el suelo, de modo que el objetivo actúa como vértice común de dos pirámides de visión invertidas y semejantes (la que va del objetivo al sensor interno y la que va del objetivo al terreno exterior).

1. a) Si el dron vuela a una altura fija de $150\text{ m}$ sobre el suelo de la finca, demuestra por qué el terreno abarcado por la foto es semejante al sensor de la cámara y determina la razón de semejanza lineal $k$ entre el terreno real y la imagen capturada en el sensor (atención a la coherencia de unidades).
2. b) Calcula las dimensiones reales en metros (largo y ancho) del rectángulo de cultivo que aparece en una fotografía y calcula el área de terreno abarcada en cada disparo (en metros cuadrados y en hectáreas).
3. c) Problema inverso: Supón que, para una inspección de mayor detalle, la normativa exige que cada fotografía abarque un área de terreno de exactamente $2\,160\text{ m}^2$. Utilizando la relación matemática entre la razón de áreas y la razón de longitudes, deduce a qué altura exacta sobre el suelo debe volar el dron para cumplir dicho requisito.