Ejercicios: Lugares geométricos

Un joven entrena a su perro en un descampado. El perro está sujeto a una correa extensible de $5$ metros de longitud máxima, anclada a una estaca clavada en el suelo. Dibuja y describe el lugar geométrico que forman las posiciones por las que puede moverse el perro si mantiene la correa siempre tensa (es decir, estirada al máximo). Elige una escala adecuada, por ejemplo $1$ cm en el dibujo equivale a $1$ m en la realidad, y señala en tu dibujo la estaca y la posición del perro.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dos pueblos, Pueblo A y Pueblo B, están situados a una distancia de $8$ km entre sí. Las autoridades quieren construir una parada de guagua que esté exactamente a la misma distancia de ambos pueblos. ¿En qué línea o lugar geométrico deben situar la parada? Represéntalo gráficamente en tu libreta.

En un museo, dos paredes forman un ángulo de $70^\circ$. Se desea instalar una vitrina que esté situada siempre a la misma distancia de ambas paredes. Dibuja el ángulo y traza el lugar geométrico donde se podrían colocar los objetos de la vitrina. ¿Cómo se llama técnicamente esta línea?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Identifica el punto notable del triángulo que se describe en cada caso:

1. a) Es el punto que equidista de los tres vértices del triángulo.
2. b) Es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.
3. c) Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (la que toca sus tres lados).
4. d) Es el centro de gravedad del triángulo y el punto donde se cortan las medianas.

Dibuja en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan $6$ cm, $8$ cm y $10$ cm (en la figura tienes un esquema del triángulo). Traza sus tres mediatrices y marca el punto donde se cortan. Comprueba, usando el compás, que ese punto es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices. ¿Qué nombre recibe ese punto?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un parque tiene forma triangular, como muestra la figura. Se quiere instalar una fuente en el interior del parque de modo que la distancia de la fuente a cada uno de los tres caminos (lados del parque) sea la misma.

1. a) ¿Qué rectas notables del triángulo tendrías que dibujar para encontrar la ubicación?

1. b) ¿Cómo se llama el punto resultante?

Se ha diseñado un nuevo carril bici recto que pasa por el centro de una ciudad. Por seguridad, no se permite construir ninguna edificación a menos de $15$ metros de dicho carril. Describe el lugar geométrico que delimita la zona prohibida a ambos lados del carril bici y dibuja un esquema sencillo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

¿Es posible que en un triángulo coincidan el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro en un mismo punto? En caso afirmativo, indica qué tipo de triángulo debe ser y dibújalo marcando dicho punto.

En clase de 3.º de ESO, el profesor pide definir y trazar el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de dos postes, $A$ y $B$, separados por una distancia de $6\text{ m}$. Sergio escribe en su cuaderno:\n\n«El lugar geométrico es el segmento de $6\text{ m}$ de longitud que pasa justo por el punto medio entre $A$ y $B$ y es perpendicular a la línea que los une; si nos salimos de esos $6\text{ m}$, los puntos ya no pueden estar a la misma distancia de $A$ y de $B$ porque estarían demasiado lejos».\n\na) Identifica los dos errores conceptuales que comete Sergio en su razonamiento.\nb) Explica por qué la distancia a la que se encuentre un punto no le impide pertenecer a dicho lugar geométrico y redacta la definición correcta del lugar geométrico del que se trata.

En una pista polideportiva, dos balizas de entrenamiento están situadas en los puntos $A$ y $B$, separadas exactamente por $8\text{ m}$. Queremos colocar un balón en una posición que cumpla dos condiciones a la vez: estar a la misma distancia de $A$ que de $B$, y encontrarse exactamente a $5\text{ m}$ de la baliza $A$.\n\na) Estima: antes de hacer cálculos o trazos precisos, estima de forma justificada cuántas posiciones posibles existen en la pista para colocar el balón (¿ninguna, una, dos o infinitas?). Apoya tu predicción en la comparación intuitiva entre el radio de búsqueda y la distancia entre las balizas.\nb) Comprueba: identifica formalmente qué dos lugares geométricos corresponden a cada condición. A continuación, calcula la distancia exacta a la que quedará el balón de la línea recta que une $A$ y $B$ aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo correspondiente, y concluye si tu estimación inicial era acertada.

En el patio de una escuela, dos antenas de Wi-Fi están situadas en los puntos $A$ y $B$, separados por una distancia de $12$ metros. Un estudiante busca un lugar para sentarse donde reciba la misma intensidad de señal de ambas antenas.

1. a) Describe qué lugar geométrico forman todos los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$.
2. b) Si el estudiante además quiere estar exactamente a $10$ metros de la antena $A$, ¿en cuántos puntos posibles del patio podría situarse? Explica qué figuras geométricas tendrías que dibujar para encontrarlos.

El gobierno municipal quiere instalar una farola en una pequeña plaza de forma triangular cuyos vértices están situados en los puntos $P$, $Q$ y $R$. Han decidido que la farola debe estar a la misma distancia de las tres esquinas (vértices) de la plaza para que la iluminación sea equilibrada.

1. a) ¿Cómo se llama el punto notable del triángulo donde deben instalar la farola?
2. b) ¿Qué rectas notables del triángulo es necesario trazar para localizar dicho punto? Dibújalo de forma esquemática.

Dos calles rectas de un barrio, la Calle Mayor y la Calle Menor, se cruzan formando un ángulo de $60^\circ$. Se quiere colocar un cesto de basura que cumpla dos condiciones: que esté a la misma distancia de ambas calles y que diste exactamente $5$ metros del punto de intersección de las calles.

1. a) Define el lugar geométrico que cumple la primera condición.
2. b) Utiliza el concepto de lugar geométrico para explicar cómo determinarías la posición exacta del cesto de basura. ¿Cuántas soluciones posibles existen en total?

En un entrenamiento de fútbol, se coloca un balón en un punto que dista lo mismo de las dos líneas de banda (paralelas entre sí). Si la anchura del campo es de $60$ metros:

1. a) Describe el lugar geométrico donde puede estar el balón.
2. b) Si el entrenador añade una restricción y dice que el balón debe estar a $20$ metros de un banderín de córner específico, dibuja el esquema de la situación e identifica los puntos que cumplen ambas condiciones.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un diseñador gráfico está creando un logotipo basado en un triángulo escaleno. Quiere inscribir una circunferencia en el interior del triángulo de modo que sea tangente a los tres lados.

1. a) ¿Qué punto notable del triángulo debe ser el centro de esta circunferencia?
2. b) Si la distancia desde ese centro a uno de los lados es de $3$ cm, ¿cuál será la distancia a los otros dos lados? Justifica tu respuesta basándote en la definición de dicho lugar geométrico.

Tres amigos, Alba, Bruno y Carla, están situados en un parque formando un triángulo. Alba y Bruno están a $10$ metros de distancia. Carla observa que ella se encuentra en un punto tal que el ángulo formado por las visuales hacia Alba y Bruno es siempre de $90^\circ$. La figura muestra una de las posiciones posibles de Carla.

1. a) ¿Cómo se llama el lugar geométrico donde se encuentra Carla?
2. b) Si Carla se mueve manteniendo siempre ese ángulo de $90^\circ$ respecto a sus amigos, ¿qué figura geométrica describiría su trayectoria? Indica dónde está su centro y cuánto mide su radio.

Se ha diseñado un juego de mesa donde una ficha debe colocarse en el "centro de gravedad" de una pieza triangular de cartón para que se mantenga en equilibrio sobre la punta de un lápiz. Los lados del triángulo miden $15$ cm, $20$ cm y $25$ cm. En la figura puedes ver la pieza $ABC$ (con el ángulo recto en $A$), sus tres medianas y el punto $P$ donde se coloca la ficha.

1. a) ¿Qué nombre recibe este punto de equilibrio en geometría?
2. b) Si trazamos una de las medianas de este triángulo, ¿en qué proporción divide el punto de equilibrio a dicha mediana? Expresa la relación entre la distancia del punto al vértice y la distancia del punto al lado opuesto.

Una empresa de logística quiere ubicar un almacén central que dé servicio a tres tiendas situadas en los puntos $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ y $C(10, 0)$ (unidades en km). Para minimizar los costos de transporte, el almacén debe estar a la misma distancia de las tres tiendas.

1. a) Determina las coordenadas del punto donde debe situarse el almacén mediante el estudio de las mediatrices.
2. b) ¿Cómo se llama el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia de $5$ km del punto $B$? ¿Estaría la tienda $C$ dentro de esa zona?

Los servicios de emergencias de Castilla y León estudian ubicar una base de ambulancias comarcal que atienda con idéntico tiempo de respuesta a los cascos urbanos de tres municipios: Arévalo ($A$), Medina del Campo ($M$) y Olmedo ($O$). Las distancias en línea recta entre sus centros son aproximadamente: $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ y $MO = 20\text{ km}$. Se decide situar la base en un punto que equidiste exactamente de los tres municipios.\n\na) Modela la situación: define qué lugar geométrico determina los puntos que equidistan de dos municipios cualesquiera y qué punto notable del triángulo formado por $A$, $M$ y $O$ representa la ubicación de la base.\nb) Aplica la relación entre los lados de un triángulo ($c^2$ frente a $a^2 + b^2$) para clasificar el triángulo $AMO$ en acutángulo, rectángulo u obtusángulo.\nc) A partir de la clasificación anterior, razona si la base quedará dentro del triángulo delimitado por los tres pueblos o fuera de él. Explica qué consecuencia práctica tiene esta propiedad de los lugares geométricos para la gestión del territorio.

En un plano cartesiano de diseño urbanístico, se desea que la frontera de reparto de servicio entre dos repetidores, $A$ y $B$ (es decir, la mediatriz del segmento $AB$), sea exactamente la recta bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, cuya ecuación es $y = x$.\n\na) Si el repetidor $A$ se instala en el punto de coordenadas $(0, 8)$, deduce de forma razonada las coordenadas en las que debe situarse obligatoriamente el repetidor $B$. Comprueba tu deducción verificando que el punto medio del segmento $AB$ pertenece a la recta $y = x$ y que el segmento $AB$ es perpendicular a ella.\nb) Generaliza: formula qué relación algebraica debe existir entre las coordenadas $(x_A, y_A)$ y $(x_B, y_B)$ de cualquier par de puntos para que su mediatriz siga siendo la recta $y = x$. Propón otras dos parejas de puntos distintas que compartan esa misma mediatriz.

Un equipo de rescate de montaña recibe señales de dos excursionistas perdidos, situados en los puntos $A$ y $B$. El centro de mando sabe que la zona de búsqueda está formada por los puntos que están exactamente a la misma distancia de $A$ y de $B$. El helicóptero de rescate debe seguir una trayectoria rectilínea representada por una carretera secundaria $r$. En un mapa de coordenadas, los puntos son $A(1, 6)$ y $B(5, 2)$, y la carretera sigue la dirección de la recta que pasa por $(0, 0)$ y $(4, 8)$.

Determina, mediante razonamientos de lugares geométricos, el punto exacto donde el helicóptero cruzará la línea donde podrían encontrarse los excursionistas.

Se desea instalar una antena de telefonía que dé servicio a tres pueblos situados en los vértices de un triángulo cuyos lados miden $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ y $15\text{ km}$. El ingeniero jefe decide que la antena debe estar en el circuncentro del triángulo para que la distancia a los tres pueblos sea la misma. Si el área del triángulo es de $84\text{ km}^2$, calcula el radio de cobertura que debe tener la antena (la distancia desde el circuncentro a cualquiera de los vértices) sabiendo que en cualquier triángulo el radio de la circunferencia circunscrita cumple la relación $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Área}}$.

En un parque de atracciones, una nueva atracción de "vuelo suspendido" se mueve de modo que se mantiene siempre a la misma distancia de dos torres de control fijas, $T_1$ y $T_2$, separadas entre sí por $30$ metros.

1. Identifica de qué lugar geométrico se trata y descríbelo.

2. Si situamos las torres en los puntos $T_1(-15, 0)$ y $T_2(15, 0)$ de un plano (unidades en metros), ¿qué recta describe la trayectoria de la atracción? Indica su ecuación.

3. La atracción pasa exactamente por encima de una caseta de mantenimiento situada en el punto $P(0, 20)$. Comprueba que la caseta equidista de las dos torres calculando ambas distancias.

Un arquitecto diseña una plaza triangular cuyos lados miden $30$, $40$ y $50$ metros. En el interior, quiere colocar una fuente que esté a la misma distancia de las tres calles (los tres lados del triángulo).

1. ¿Cómo se llama el lugar geométrico que determina la posición de la fuente?

2. Calcula la distancia de la fuente a cada una de las calles. (Ayuda: El área de un triángulo también se puede calcular como el producto del semiperímetro por el radio del círculo inscrito, $A = s \cdot r$).

Considera dos rectas secantes $r$ y $s$ que se cortan en un punto $V$ formando un ángulo de $60^\circ$. Se quiere dibujar una circunferencia de radio $10\text{ cm}$ que sea tangente a ambas rectas y esté situada dentro del ángulo de $60^\circ$ que muestra la figura.

1. a) Explica sobre qué línea debe encontrarse el centro $O$ de dicha circunferencia.

1. b) Calcula a qué distancia del punto de intersección $V$ de las dos rectas se debe situar el centro de la circunferencia. (Ayuda: al unir el centro con el punto de tangencia se forma un triángulo rectángulo; usa las propiedades de los triángulos con ángulos de $30^\circ$ y $60^\circ$).

Dos boyas de salvamento, $A$ y $B$, flotan en el mar separadas por una distancia de $8$ km. Los servicios de rescate quieren instalar una plataforma que cumpla dos condiciones a la vez: que equidiste de ambas boyas y que diste exactamente $5$ km de la boya $A$.

En el mapa de la figura, con unidades en km, las boyas están en $A(0, 0)$ y $B(8, 0)$.

1. a) ¿Qué lugar geométrico forman los puntos que equidistan de $A$ y de $B$? ¿Y los puntos que distan $5$ km de $A$?

1. b) ¿En cuántos puntos distintos se puede instalar la plataforma? Justifícalo razonando sobre la posición relativa de los dos lugares geométricos anteriores.

1. c) Calcula las coordenadas de todos los puntos donde puede instalarse la plataforma. (Ayuda: utiliza el teorema de Pitágoras).

Un faro emite una señal que solo se recibe a una distancia inferior a $10\text{ km}$. Una embarcación se mueve por una costa rectilínea $c$ que está a $8\text{ km}$ de distancia del faro en su punto más cercano.

1. Describe el lugar geométrico de los puntos de la costa que reciben la señal del faro.

2. Calcula la longitud del tramo de costa en el que la embarcación estará dentro del radio de alcance del faro.

En un triángulo isósceles $ABC$, con $AB = AC$, sabemos que el baricentro (punto donde se cortan las medianas), el ortocentro (punto donde se cortan las alturas) y el circuncentro (punto donde se cortan las mediatrices) están todos alineados sobre una misma recta.

1. Esa recta coincide con la mediana, la altura, la mediatriz y la bisectriz trazadas desde el vértice $A$. ¿Qué relación tiene con el eje de simetría del triángulo? Justifica tu respuesta.

2. Si la base $BC$ mide $12\text{ cm}$ y la altura correspondiente a esa base mide $9\text{ cm}$, determina a qué distancia de la base se encuentra el baricentro, sabiendo que el baricentro divide a cada mediana en dos segmentos de modo que el que llega al vértice es el doble de largo que el otro.

Una cooperativa agrícola compra una finca triangular con esquinas en los cruces de tres carreteras comarcales rectas. Las carreteras forman un triángulo rectángulo cuyos lados miden $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ y $100\text{ m}$. Se necesita construir un pozo comunitario dentro de la parcela y se debaten dos métodos geométricos basados en lugares geométricos:\n\n- Método 1: situar el pozo en el circuncentro de la finca (intersección de las mediatrices), con el argumento de que debe estar a la misma distancia de los tres vértices (cruces de carreteras).\n- Método 2: situar el pozo en el incentro de la finca (intersección de las bisectrices interiores), con el argumento de que debe estar a la misma distancia de las tres carreteras (lados de la finca).\n\nPara garantizar la seguridad de la maquinaria y evitar vertidos, la normativa agraria exige que el pozo esté ubicado estrictamente en el interior del terreno y a la mayor distancia posible del borde de cualquier carretera.\n\na) Analiza la viabilidad de ambos métodos calculando a qué distancia exacta se situaría el pozo de cada una de las tres carreteras en el Método 1 y en el Método 2 (puedes calcular el radio de la circunferencia inscrita igualando el área del triángulo, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, a la suma de las áreas de los tres triángulos que se forman desde el incentro, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Justifica de manera crítica cuál de los dos métodos debe elegirse y por qué el otro es completamente inadmisible según la normativa exigida.

Salvamento Marítimo detecta una señal de socorro en las inmediaciones del Estrecho de Gibraltar. Dos estaciones costeras situadas en Tarifa ($T$) y Algeciras ($A$), separadas por $20\text{ km}$ en línea recta, coordinan la búsqueda a partir de tres datos técnicos:\n\n1. La intensidad de la señal recibida es idéntica en ambas estaciones costeras.\n2. La autonomía del barco de rescate con base en Tarifa le permite cubrir un radio máximo de búsqueda de $15\text{ km}$ desde dicha estación.\n3. Para evitar los arrecifes y la densa canal de navegación costera, se descarta cualquier posición cuya distancia a la línea recta que une Tarifa y Algeciras sea inferior o igual a $6\text{ km}$.\n\na) Modela matemáticamente el problema traduciendo cada una de las tres condiciones al lenguaje de lugares geométricos (mediatriz, circunferencia/círculo o bandas paralelas de distancia a una recta).\nb) Deduce con rigor la forma geométrica de la zona donde puede encontrarse la embarcación: determina si se trata de una región bidimensional o de un conjunto de segmentos, y calcula la distancia mínima y máxima a la línea recta $TA$ de los puntos que forman dicha zona.\nc) Si una boya sonar confirma que la distancia exacta desde la embarcación hasta Tarifa es de $12,5\text{ km}$, calcula cuántas ubicaciones posibles quedan para la embarcación y a qué distancia exacta de la línea recta $TA$ se encuentra cada una de ellas.