Ejercicios: Parámetros estadísticos

En un estudio sobre el uso de redes sociales, se ha preguntado a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos son:

$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$

Identifica la población del estudio y calcula la moda de las horas de uso.

Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes:

$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$

Calcula la media aritmética ($\bar{x}$) del número de mensajes pendientes de este grupo.

Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado los kilómetros que ha corrido cada día para preparar una carrera:

$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$

Halla la mediana ($Me$) de la distancia recorrida. ¿Qué significado tiene este valor en relación con el total de los días entrenados?

En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero.

Sabiendo que las temperaturas han sido $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ y $5^\circ C$, calcula el rango o recorrido de la temperatura en esos días.

Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado:

Faltas ($x_i$)	Nº alumnos ($f_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$

Calcula la media del número de faltas de la clase utilizando los datos de la tabla.

Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas.

• Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$

• Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$

Ambos equipos tienen la misma media, $\bar{x} = 90$. Sin realizar cálculos complejos de desviación típica, observa los datos y explica cuál de los dos equipos es más regular (tiene menos dispersión) y por qué.

Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 3º ESO y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:

$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$

1. a) ¿Cuál es el valor de la mediana?
2. b) ¿Qué porcentaje de alumnos mide $172 \text{ cm}$ o menos?

Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos:

A partir de la gráfica, escribe la lista de datos y calcula la moda ($Mo$) y el rango.

Marcos quiere calcular la mediana de las notas que ha obtenido en siete controles de Matemáticas a lo largo del curso: $4$, $8$, $3$, $9$, $5$, $7$ y $2$. En su examen escribe la siguiente justificación:

«Como son $7$ notas, la mediana es el dato que ocupa la posición central, es decir, el cuarto elemento de la lista. Cuento de izquierda a derecha y el cuarto número es el $9$, así que la mediana es $Me = 9$».

1. a) Identifica y explica razonadamente qué error conceptual ha cometido Marcos.
2. b) Sin necesidad de calcularla todavía, ¿por qué es imposible que la mediana de ese conjunto de notas sea $9$?
3. c) Corrige el procedimiento y calcula el valor real de la mediana y de la moda de sus notas.

En una competición escolar de atletismo, una atleta de lanzamiento de peso ha registrado en sus cinco intentos las siguientes distancias (en metros): $8,1$; $8,3$; $8,0$; $8,4$ y $12,2$.

1. a) Estima: sin hacer operaciones por escrito, estima entre qué dos números enteros se situará la media aritmética y razona si crees que la mediana será mayor, menor o igual que dicha media estimada. Justifica tu respuesta observando cómo se distribuyen los valores.
2. b) Comprueba: calcula con exactitud la media ($\bar{x}$) y la mediana ($Me$) de los lanzamientos.
3. c) Valora: compara los resultados con tu estimación inicial. Explica con tus palabras cómo ha influido el último lanzamiento ($12,2$ m) en la media y por qué apenas ha afectado a la mediana.

Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:

$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$

Organiza estos datos en una tabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$). ¿Cuál de ellas consideras que representa mejor al grupo?

Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos distintos, obteniendo los siguientes resultados:

• App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms

• App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms

Calcula el coeficiente de variación ($CV$) de ambas aplicaciones y explica de forma razonada cuál de las dos es más "fiable" o regular en su funcionamiento para un usuario.

Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus socios en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla de datos agrupados:

Tiempo (min)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
N.º jugadores	4	12	8	6

Calcula la media aritmética y la desviación típica de la distribución utilizando las marcas de clase.

Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6,5$, un $4$, un $8$ y un $7,5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué nota debe sacar para que su media final sea exactamente de $7$? Justifica tu respuesta planteando una ecuación.

Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los alumnos de 3º ESO a leer libros por placer. Los parámetros de posición obtenidos son:

$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$

Dibuja el diagrama de caja y bigotes (Box-plot) correspondiente. Si un alumno lee 6 horas a la semana, ¿en qué cuarto de la población se encuentra (entre el 0-25%, 25-50%, 50-75% o 75-100%)?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones, $\bar{x} = 85$ ppm. Sin embargo, la varianza del Grupo 1 es $S^2 = 16$ y la del Grupo 2 es $S^2 = 100$.

1. a) Calcula la desviación típica de cada grupo.
2. b) ¿En cuál de los dos grupos los alumnos tienen un estado de forma más similar entre ellos? Razona tu respuesta basándote en la dispersión.

Una tienda de ropa joven quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:

$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$

1. a) Calcula el rango y la media de edad.
2. b) La mediana es $15,5$ años. Si eliminamos al cliente de 35 años (que se considera un valor atípico), calcula la nueva media y la nueva mediana. ¿Qué parámetro ha cambiado más? ¿Por qué crees que ocurre esto?

Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de baloncesto en sus últimos 5 partidos:

• Jugador A: $18, 20, 22, 19, 21$

• Jugador B: $10, 30, 5, 25, 30$

En la figura tienes los mismos datos representados sobre una recta numérica (cada punto es un partido).

Sin realizar cálculos complejos de varianza, observa los datos y responde:

1. ¿Tienen la misma media aritmética?

2. ¿Cuál de los dos jugadores es más "constante" en sus puntuaciones?

3. Si tuvieras que elegir a uno para jugar el último minuto de una final, ¿a cuál elegirías y por qué? Usa los conceptos de media y dispersión en tu respuesta.

Un equipo de investigación sociológica recopila un conjunto de $5$ números enteros positivos que corresponden al número de libros leídos al año por un grupo reducido de estudiantes. Se han extraviado los datos originales, pero en el informe final se conservan intactos los siguientes parámetros:

• La moda es única y es igual a $4$.

• La mediana es $5$.

• El rango o recorrido es $8$.

• La media aritmética es $7$.

Deduce de forma ordenada y razonada cuáles son los $5$ números originales. Justifica cada paso explicando qué propiedad estadística te permite fijar o descartar cada uno de los valores.

Una empresa emergente de diseño tecnológico en La Habana cuenta con una plantilla de $8$ personas. Sus salarios mensuales netos en dólares son: $1\,200$, $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,400$, $1\,450$, $1\,500$ y $6\,600$ (este último corresponde a la socia fundadora).

1. a) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de los salarios.
2. b) En una oferta de empleo, la empresa afirma: «El sueldo medio de nuestro equipo es de $2\,000$ dólares al mes». Por su parte, los representantes de los trabajadores argumentan que el sueldo más representativo ronda los $1\,300$ dólares–$1\,400$ dólares. Compara ambos métodos de centralización (media frente a mediana): ¿cuál describe con mayor fidelidad la retribución habitual de la plantilla? Justifica tu respuesta analizando el impacto del salario atípico.
3. c) Para estudiar la dispersión de estos sueldos se proponen dos alternativas: calcular el rango total o calcular el rango intercuartílico ($IQR = Q_3 - Q_1$). Justifica cuál de las dos medidas es preferible en este caso.

En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ cm. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ cm, ¿cuál será la nueva media? Si después se marcha otra persona que medía $161$ cm, ¿cuál será la media final del grupo? Justifica paso a paso cómo afecta cada cambio a la suma total de las estaturas para realizar el cálculo.

Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo.

• Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$

• Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$

1. a) Calcula la media y la desviación típica de ambos jugadores.
2. b) Utiliza el coeficiente de variación ($CV$) para determinar cuál de los dos es un jugador más regular y fiable para el equipo. Explica qué significa en este contexto que un jugador tenga una desviación típica mucho más alta que el otro si sus medias fueran similares.

Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos:

Peso en kg $[L_i, L_s)$	N.º de paquetes ($f_i$)
$[0, 2)$	$12$
$[2, 4)$	$25$
$[4, 6)$	$38$
$[6, 8)$	$15$
$[8, 10)$	$10$

Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica de la distribución. Para ello, identifica primero las marcas de clase ($x_i$) de cada intervalo.

Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación de celular en una muestra de adolescentes:

Basándote en el gráfico, responde:

1. a) ¿Cuál es el valor de la mediana, el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$)?
2. b) Calcula el rango intercuartílico ($RIC$).
3. c) Razona si la distribución es simétrica o si presenta asimetría. ¿En qué mitad de los datos hay mayor dispersión?

Un profesor ha corregido los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6,4$ y la desviación típica de $1,2$. Tras revisar uno de los ejercicios, decide subir $0,5$ puntos a todos los alumnos de la clase.

1. a) ¿Cuál será la nueva media y la nueva desviación típica?
2. b) Si en lugar de sumar una cantidad fija, decidiera aumentar todas las notas un $10\%$, ¿cómo se verían afectados ambos parámetros? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de los parámetros estadísticos.

Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La moda es $4$.

2. La mediana es $5$.

3. El rango es $10$.

4. La media es mayor que la mediana.

Muestra los cálculos que verifiquen que tu serie cumple todos los requisitos.

En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\$1100, \$1200, \$1250, \$1300$ y $\$1400$. El gerente tiene un salario de $\$4500$.

1. a) Calcula la media y la mediana de los salarios incluyendo al gerente.
2. b) ¿Cuál de las dos medidas representa mejor el sueldo "típico" de la empresa? Explica el efecto que produce el salario del gerente (valor extremo) sobre la media y por qué la mediana es un parámetro más robusto en este caso.
3. c) Si se quiere dar una imagen de prosperidad en la publicidad de la empresa, ¿qué parámetro se utilizaría? ¿Sería engañoso?

A partir de series históricas de la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), se han registrado las precipitaciones anuales (en litros por metro cuadrado, $\text{l/m}^2$) de dos ciudades españolas durante cinco años representativos:

• Vigo: $1\,200$, $1\,300$, $1\,100$, $1\,400$, $1\,000$

• Almería: $200$, $150$, $300$, $100$, $250$

1. a) Calcula la media ($\bar{x}$), la varianza ($s^2$) y la desviación típica ($s$) de las precipitaciones de cada ciudad.
2. b) Una persona afirma: «El volumen de lluvia en Vigo es mucho más irregular que en Almería porque su desviación típica es prácticamente el doble». Utiliza el coeficiente de variación ($CV = s / \bar{x}$) expresado en porcentaje para refutar o defender con rigor matemático esta afirmación.
3. c) Justifica por qué en este estudio sí es metodológicamente correcto utilizar el coeficiente de variación con las precipitaciones en $\text{l/m}^2$, mientras que no tendría sentido matemático aplicarlo directamente a las temperaturas medias anuales medidas en grados Celsius ($^\circ\text{C}$).

Una cooperativa arrocera de la Granma (Cuba) envasa paquetes de arroz cuyo peso nominal está establecido en $1\,000$ g. Para verificar el calibrado de dos líneas de envasado, el control de calidad toma una muestra de $5$ paquetes de cada máquina:

• Máquina A: $995$, $1\,000$, $1\,005$, $998$, $1\,002$ (en gramos).

• Máquina B: se han registrado cuatro paquetes con pesos de $980$, $1\,020$, $990$, $1\,010$ (en gramos), pero el peso del quinto paquete no se anotó por un fallo informático.

1. a) Deduce cuál debe ser el peso del quinto paquete de la Máquina B para que ambas líneas tengan exactamente la misma media aritmética de $1\,000$ g.
2. b) Con el valor deducido, calcula la desviación típica ($s$) y el coeficiente de variación porcentual ($CV_{\%}$) de cada una de las dos máquinas.
3. c) El protocolo de calidad de la fábrica exige que el coeficiente de variación de una envasadora no supere el $1\%$. Dictamina razonadamente si ambas máquinas cumplen la norma y explica qué perjuicios económicos o comerciales sufriría la cooperativa si utilizase la máquina más dispersa, a pesar de que su media sea exactamente de $1\,000$ g.