Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado

Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes indicarlo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de segundo grado.

Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario que calcules las soluciones):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles soluciones.

Lucía tiene que resolver en clase la ecuación incompleta $3x^2 - 12x = 0$. Su desarrollo en la pizarra ha sido el siguiente:

1.º) Como la $x$ se repite en ambos términos, divide los dos miembros entre $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, de donde escribe $3x - 12 = 0$.

2.º) Despeja la incógnita: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

Lucía concluye que la ecuación tiene una única solución: $x = 4$. Localiza y explica detalladamente el error conceptual que ha cometido, argumenta por qué no es matemáticamente válido dividir entre una incógnita sin tomar precauciones y resuelve correctamente la ecuación hallando todas sus soluciones.

Construye, en cada caso, una ecuación de segundo grado que cumpla las condiciones requeridas (con todos los términos agrupados en el primer miembro e igualada a cero):

1. a) Una ecuación incompleta sin término lineal ($b = 0$) cuyo coeficiente cuadrático sea $a = 2$ y cuyas soluciones sean $x = 3$ y $x = -3$.
2. b) Una ecuación incompleta sin término independiente ($c = 0$) cuyo coeficiente cuadrático sea $a = 2$ y cuyas soluciones sean $x = 0$ y $x = -5$.

Comprueba en ambos casos la validez de tus ecuaciones resolviéndolas por el método específico adecuado para cada tipo de ecuación incompleta.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de los productos notables:

Recuerda que para aplicar la fórmula general, primero debes reducir la ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu respuesta en cada caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

¿Qué valor debería tomar el término independiente en la ecuación a) para que de repente no tuviera solución?

Un programador de videojuegos está diseñando una interfaz para una nueva aplicación. Necesita crear un botón rectangular cuya base sea $5\text{ cm}$ más larga que su altura. Si el área total que debe ocupar el botón en la pantalla es de $84\text{ cm}^2$, ¿cuáles deben ser las dimensiones (base y altura) del botón?

Plantea una ecuación de segundo grado y resuélvela.

El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando?

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente ecuación:

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez encontrado $k$, halla la otra solución de la ecuación.

Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total (foto más marco) debe ser de $300\text{ cm}^2$, ¿cuál debe ser el ancho $x$ del marco?

Observa la siguiente ecuación de segundo grado: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Describe dos estrategias algebraicas distintas para resolverla: la primera, desarrollando la identidad notable, reduciendo a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y aplicando la fórmula general; la segunda, aislando la potencia cuadrática $(2x - 1)^2$ y aplicando la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad.
2. b) Resuelve la ecuación empleando la estrategia que consideres más directa y con menor riesgo de error operativo, justificando tu elección con argumentos matemáticos.

El Gobierno Municipal de Santa Clara proyecta una parcela rectangular destinada a organopónicos comunitarios. Las especificaciones técnicas determinan que la longitud del terreno debe medir $6\text{ m}$ más que su anchura y que la superficie cultivable total tiene que ser de $160\text{ m}^2$.

1. a) Asigna la incógnita $x$ a la anchura de la parcela, escribe la expresión algebraica de su área y plantea la ecuación de segundo grado en su forma canónica $ax^2 + bx + c = 0$.
2. b) Resuelve la ecuación para determinar las dimensiones (largo y ancho) del organopónico. Explica detalladamente qué interpretación geométrica tiene cada una de las dos soluciones matemáticas obtenidas y por qué descartas o conservas cada una de ellas.

Resuelve la siguiente ecuación operando previamente para simplificar los miembros y utilizando los productos notables donde sea necesario:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Una empresa de diseño paisajístico quiere rodear una piscina rectangular de $8 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho con un borde de césped artificial de anchura uniforme $x$. Si el área total del recinto (piscina más borde de césped) debe ser exactamente de $80 \text{ m}^2$, calcula cuánto debe medir la anchura $x$ del borde.

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución doble).

Un dron de vigilancia despega y sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcula en qué instantes de tiempo el dron se encuentra exactamente a $53 \text{ metros}$ de altura.

Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $2$ horas en completar una maqueta compleja. Si trabajasen por separado, la impresora más antigua tardaría $3$ horas más que la impresora nueva. ¿Cuánto tiempo tardaría cada una en hacer la maqueta en solitario? (Ayuda: recuerda que el trabajo realizado en una hora es la inversa del tiempo total).

Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres números enteros consecutivos.

Resuelve la siguiente ecuación. Para ello, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar las incógnitas de los mismos y comprueba que las soluciones obtenidas no anulan ningún denominador:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Se dispone de un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que se corta en dos trozos para formar dos cuadrados diferentes. Si la suma de las áreas de los dos cuadrados es de $58 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide el lado de cada uno de estos cuadrados?

Durante las fiestas patronales de una localidad valenciana, se lanza verticalmente un cohete pirotécnico. La altura $h$ (en metros) sobre el suelo transcurridos $t$ segundos viene descrita por la fórmula $h = -5t^2 + 40t$. El detonador del artificio está programado para estallar en plena fase de subida al alcanzar exactamente $60\text{ m}$ de altura.

1. a) Antes de operar formalmente, estima si el cohete tardará más o menos de $3\text{ segundos}$ en alcanzar esa altura. Para apoyar tu estimación, evalúa mentalmente o mediante cálculos sencillos la altura del cohete a los $t = 1\text{ s}$ y a los $t = 2\text{ s}$.
2. b) Plantea la ecuación cuadrática $h = 60$, redúcela a su forma general y resuélvela mediante la fórmula general. Justifica el significado físico de los dos valores de $t$ obtenidos, comprueba si tu estimación previa fue acertada e indica en qué segundo exacto se produce la explosión programada.

Considera la familia de ecuaciones de segundo grado $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, donde $k$ es un número real constante.

1. a) Analiza qué ocurre si $k = 1$. Razona si la ecuación resultante sigue siendo de segundo grado y halla su solución en ese caso particular.
2. b) Suponiendo que $k \neq 1$, calcula la expresión del discriminante $\Delta$ en función de $k$. A partir de ella, deduce de manera razonada para qué valores de $k$ la ecuación tendrá dos soluciones reales distintas, para qué valor tendrá una única solución real doble y para cuáles no tendrá ninguna solución real.
3. c) Elige un valor concreto de $k$ que no tenga solución real según tu estudio previo, sustitúyelo en la ecuación original e intenta resolverla mediante la fórmula para comprobar qué obstáculo aritmético aparece.