Ejercicios: Ecuaciones de primer grado

En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado. Para las que lo sean, indica cuál es su primer miembro y cuál es su incógnita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indica razonadamente cuál de ellos es la solución de la ecuación:

$5x - (x + 4) = 8$

Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$ puntos, ahora tiene exactamente $250$ puntos.

Plantea una ecuación donde $x$ sea la puntuación del amigo y resuélvela para hallar cuántos puntos tiene cada uno.

Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.

Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación:

"Si al doble de un número le sumas su mitad, obtienes 25".

(Pista: llama $x$ al número desconocido).

Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de $14$ kg.

Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.

Lucas ha intentado resolver la ecuación $5 - 2(x - 3) = 1$ en su cuaderno y ha entregado el siguiente desarrollo:

Paso 1: $5 - 2x - 6 = 1$

Paso 2: $-1 - 2x = 1$

Paso 3: $-2x = 2$

Paso 4: $x = \frac{2}{-2} = -1$

Identifica en qué paso ha cometido el error, explica con tus palabras qué propiedad o regla algebraica ha aplicado incorrectamente y resuelve la ecuación de manera correcta en tu cuaderno, comprobando la solución final obtenida sustituyéndola en la igualdad inicial.

Queremos diseñar una ecuación de primer grado de la forma $3x - k = 2(x + 1)$ para una actividad de clase, de manera que su solución sea exactamente $x = 5$.

1. a) Averigua qué valor numérico debe tener la constante desconocida $k$ para que se cumpla dicha condición.
2. b) Ahora crea tú una ecuación de primer grado distinta que contenga al menos dos denominadores diferentes (por ejemplo, con $2$ y con $3$) y cuya única solución también sea $x = 5$. Demuestra que es correcta resolviéndola paso a paso.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $110$ dólares. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que los cascos cuestan $10$ dólares más que el teclado. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada artículo.

Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $1,20$ dólares/litro con jugo de mango que cuesta $1,80$ dólares/litro. Si quiere obtener $60$ litros de mezcla a un precio de $1,40$ dólares/litro, ¿cuántos litros de jugo de piña debe utilizar?

Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.

Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale desde el mismo punto persiguiéndola a una velocidad de $25$ km/h. ¿Cuánto tiempo tardará Marcos en alcanzar a Lucía desde que él sale? ¿A qué distancia del punto de partida se encontrarán?

Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$:

Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la ecuación sea $x = 6$. Una vez hallado $k$, comprueba que la igualdad se cumple sustituyendo ambos valores en la ecuación original.

Considera la siguiente ecuación de primer grado: $$3(x - 4) + 5(x - 4) = 24$$

Para resolverla existen dos caminos claros:

• Camino A: Aplicar la propiedad distributiva en el primer miembro eliminando los paréntesis, reducir los términos semejantes y despejar la incógnita $x$.

• Camino B: Extraer factor común el binomio $(x - 4)$ en el primer miembro, operar los coeficientes y despejar la incógnita.

Resuelve la ecuación siguiendo ambos procedimientos paso a paso. A continuación, compara los dos métodos y justifica cuál de ellos consideras más rápido y con menor riesgo de cometer fallos con los signos.

En una librería del barrio, Marcos compra una novela juvenil que cuesta $18,50$ dólares y varios cómics manga idénticos que cuestan $7,50$ dólares cada uno. En caja le aplican un cupón de descuento directo de $4$ dólares sobre el importe total de la compra. Marcos entrega un billete de $50$ dólares para pagar y el dependiente le devuelve exactamente $5,50$ dólares.

1. a) Antes de escribir ninguna ecuación, redondea las cantidades a números enteros para estimar mentalmente cuántos cómics ha comprado aproximadamente (¿serían más de $6$? ¿menos de $2$?). Explica tu razonamiento aproximado.
2. b) Plantea una ecuación de primer grado donde la incógnita $x$ sea el número de cómics adquiridos y resuélvela con exactitud.
3. c) Comprueba si el valor obtenido coincide con tu estimación previa y razona si una solución no entera habría tenido sentido en este contexto real.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de las fracciones:

Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en $2\text{ cm}$, el área del rectángulo resultante es $20\text{ cm}^2$ mayor que el área del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado original?

Ayuda: Aunque aparezcan términos en $x^2$, observa cómo se simplifican al operar.

Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a una falla en el sistema de drenaje, hay una fuga en el fondo que vaciaría la piscina llena en $30$ horas si las tuberías estuvieran cerradas. Si abrimos la tubería A y la tubería B simultáneamente, la piscina se llena en exactamente $5$ horas (contando con la fuga abierta). ¿Cuánto tiempo tardaría la tubería B en llenar la piscina ella sola si no hubiera fuga?

En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución al $10\%$ de ácido y otro con una solución muy concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros debe mezclar de cada bote para obtener la mezcla exacta que necesita su experimento?

Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido (Helios persiguiendo a Selene). Helios vuela a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y Selene a $60\text{ km/h}$. Si ambos despegan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardará Helios en alcanzar a Selene y a qué distancia de su base de origen ocurrirá el encuentro?

En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos los parámetros $a, b, c$ y $d$ son conocidos y diferentes de cero, con $a \neq d$:

Expresa el resultado final como una única fracción.

Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $\$325$. Sabe que la tablet tiene aplicado un descuento del $20\%$ sobre su precio original, mientras que el teclado, al ser un modelo antiguo, tiene un descuento del $50\%$. Si Álvaro se ha ahorrado en total $\$115$ respecto a los precios originales, ¿cuál era el precio de venta (sin descuento) de la tablet y del teclado?

Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos como resultado $121$. Plantea una ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar el número original.

En la factura mensual de electricidad de un hogar en España bajo una tarifa fija, el importe a pagar se desglosa en: una cuota fija por potencia contratada de $15,60$ dólares al mes y un costo variable por energía consumida de $0,16$ dólares por cada kilovatio-hora ($\text{kWh}$) gastado. Además, a este hogar se le aplica un descuento mensual de $4,40$ dólares en concepto de bono de eficiencia energética.

Si la factura final del mes de noviembre asciende exactamente a $49,60$ dólares:

1. a) Modela la situación planteando una ecuación de primer grado que relacione todos los datos y permita calcular el consumo $x$ (en $\text{kWh}$) del mes.
2. b) Resuelve la ecuación detallando cada paso de la transposición de términos y halla el consumo exacto.
3. c) Según datos estadísticos del sector energético en España, el consumo medio de un hogar de características similares es de $270\text{ kWh}$ al mes. Interpreta tu resultado indicando si el consumo de esta familia se sitúa por encima o por debajo de la media nacional y calcula cuántos $\text{kWh}$ de diferencia representa.

Analiza la siguiente ecuación de primer grado donde las letras $a$ y $b$ representan coeficientes constantes desconocidos y $x$ es la incógnita:

1. a) Desarrolla y reduce ambos miembros para escribir la ecuación en la forma canónica $A \cdot x = B$, expresando $A$ y $B$ en función de $a$ y $b$.
2. b) Determina qué valores concretos deben tomar $a$ y $b$ para que la ecuación tenga infinitas soluciones (sea una identidad). Justifica tu deducción apoyándote en la expresión $0x = 0$.
3. c) Determina qué condiciones deben cumplir $a$ y $b$ para que la ecuación no tenga solución (sea una ecuación incompatible, $0x = B$ con $B \neq 0$).
4. d) Si fijamos el valor $b = 5$, averigua qué valor exacto debe tener $a$ para que la solución única de la ecuación sea $x = 2$, y compruébalo sustituyendo en la ecuación original.