Ejercicios: Poliedros

Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.

Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula:

$C + V = A + 2$

donde $C$ es el número de caras, $V$ el de vértices y $A$ el de aristas.

Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.

¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras:

• Tetraedro

• Cubo (Hexaedro)

• Octaedro

• Dodecaedro

• Icosaedro

Los polígonos disponibles son: Triángulo equilátero, Cuadrado y Pentágono regular.

Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de $20\text{ cm}$, indica cuántas de sus caras son iguales entre sí.

Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.

Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado con la letra $a$ (altura de una cara lateral).

Lucas está estudiando las propiedades de una pirámide recta cuya base es un heptágono regular (polígono de 7 lados). En su cuaderno afirma lo siguiente: «Como la base tiene 7 lados, la pirámide tiene exactamente 7 caras, 7 vértices y 14 aristas. Si aplico el Teorema de Euler, obtengo $7 + 7 = 14 + 2$, es decir, $14 = 16$, lo cual es imposible. Por tanto, el Teorema de Euler no se cumple en pirámides con bases de número impar de lados». Explica razonadamente los dos errores de conteo que comete Lucas al identificar los elementos de la pirámide, indica el número correcto de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$), y comprueba si se cumple la relación de Euler.

Quieres transportar un paraguas rígido que mide exactamente $55\text{ cm}$ de largo dentro de una maleta de cabina con forma de ortoedro cuyas dimensiones interiores son $40\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $20\text{ cm}$ de alto.

1. a) Antes de calcular el valor exacto, estima de forma razonada si el paraguas cabrá a lo largo de la diagonal interior de la maleta. Para ello, calcula mentalmente la diagonal de la base ($40\text{ cm} \times 30\text{ cm}$) y acota entre qué dos decenas enteras consecutivas debe situarse la diagonal espacial total sabiendo que $50^2 = 2500$ y $60^2 = 3600$.
2. b) Calcula la longitud exacta de la diagonal espacial del ortoedro (redondeando a dos cifras decimales) y comprueba si tu estimación era acertada y si el paraguas cabe finalmente en la maleta.

Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error en los planos, no se indica el número de vértices. Utiliza el Teorema de Euler para calcular cuántos vértices tiene la escultura y explica si es posible que se trate de un dodecaedro regular basándote en sus elementos.

En el taller de tecnología, un grupo de alumnos está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La arista de la base mide $10 \text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25 \text{ cm}$. Calcula el área total de cartón necesaria para fabricar la caja (incluida la tapa).

Dato: Recuerda calcular primero la apotema de la base usando el Teorema de Pitágoras.

Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10 \text{ cm}$. Calcula la altura de la pirámide para saber si cabe en una estantería de $9 \text{ cm}$ de alto.

Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo fluorescente que mide $128 \text{ cm}$ de largo. ¿Es posible guardarlo en línea recta uniendo dos vértices opuestos de la caja? Justifica tu respuesta calculando la diagonal principal del poliedro.

Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo dado uniendo los centros de las caras del octaedro original:

1. a) ¿Qué nombre recibe el poliedro resultante (su poliedro dual)?
2. b) ¿Cuántas caras y cuántos vértices tendrá este nuevo poliedro? Comprueba si cumple la fórmula de Euler.

Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la altura del tronco es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de metal necesario para fundir este trofeo.

Sugerencia: Puedes usar la fórmula del volumen del tronco o considerar el tronco como la diferencia de dos pirámides.

Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de las tres aristas que concurren en un vértice $V$. Así se elimina una pequeña pirámide triangular (proceso de truncamiento). En la figura, las líneas rojas discontinuas marcan la pirámide eliminada y las grises discontinuas son aristas ocultas.

1. a) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el nuevo poliedro resultante?

1. b) ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Euler tras el corte?

Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden $5 \text{ cm}$. La altura del prisma es de $20 \text{ cm}$.

Dato: Primero deberás hallar la altura del trapecio de la base para poder calcular su área.

Para calcular la longitud del cable tensado que une dos vértices opuestos más lejanos de una nave industrial con forma de ortoedro de dimensiones $12\text{ m}$ de largo, $9\text{ m}$ de ancho y $8\text{ m}$ de alto, dos técnicos proponen caminos distintos:

• Método A: Aplicar dos veces consecutivas el Teorema de Pitágoras en dos dimensiones (primero en el plano del suelo para hallar la diagonal de la base, y con ese resultado, en el triángulo rectángulo vertical que contiene a la altura).

• Método B: Aplicar directamente la fórmula de la diagonal del ortoedro $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Calcula la longitud del cable mediante ambos métodos mostrando el desarrollo numérico. A continuación, compara los dos procedimientos: ¿cuál de ellos permite comprender mejor el origen geométrico de la fórmula y cuál resulta más eficaz en la práctica? Justifica además si el Método B se podría aplicar a cualquier prisma recto o únicamente a los ortoedros.

Una tienda de artesanía de Trinidad necesita enviar por Correos una réplica decorativa de una espada que mide $42\text{ cm}$ de longitud y que no se puede doblar ni desmontar. Para el envío eligen una caja comercial tipo ortoedro con medidas interiores de $32\text{ cm}$ de largo, $24\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de alto.

1. a) Modela la caja como un ortoedro geométrico y calcula la longitud máxima teórica que puede tener un objeto rectilíneo delgado para entrar en su interior sin deformarse.
2. b) Determina si la espada de $42\text{ cm}$ cabe en la caja y calcula cuántos centímetros de margen sobran o faltan respecto a la diagonal espacial.
3. c) Si la espada midiera $45\text{ cm}$, ¿cuántos centímetros como mínimo habría que aumentar exclusivamente la altura de la caja (manteniendo fijos los $32\text{ cm}$ de largo y $24\text{ cm}$ de ancho) para que entrara justa?

Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide exactamente $2,25$ metros de largo. El almacén dispone de cajas cuyas dimensiones son $200$ cm de largo, $80$ cm de ancho y $60$ cm de alto. Determina razonadamente, mediante el cálculo de la diagonal del ortoedro, si la jabalina puede viajar dentro de la caja sin doblarse (suponiendo que su grosor es despreciable).

Un diseñador de trofeos para una competición de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de cristal de $12$ cm de arista. El proceso consiste en "truncar" el cubo cortando cada uno de sus $8$ vértices mediante planos que pasan por los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice.

1. a) Calcula el número de caras, vértices y aristas del poliedro resultante.
2. b) Comprueba si el nuevo poliedro sigue cumpliendo el Teorema de Euler.
3. c) ¿Qué tipo de polígonos forman las caras del nuevo trofeo?

Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ cm y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una altura de $12$ cm desde el vértice (es decir, por el punto medio de la altura).

1. a) Calcula la arista de la base del tronco de pirámide superior.
2. b) Calcula el volumen del tronco de pirámide inferior resultante tras retirar la parte superior.

Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ cm y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo prisma tiene un volumen que es exactamente $8$ veces el volumen del primero:

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre ambos cuerpos?
2. b) Calcula la altura y el área total del segundo prisma basándote en las relaciones de semejanza para áreas y volúmenes.

Un depósito de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ m y $10$ m, y los lados iguales miden $5$ m. Si la altura del depósito (la longitud del prisma) es de $15$ m:

1. a) Calcula el área de la base del depósito (necesitarás hallar primero la altura del trapecio).
2. b) Calcula el área total del depósito.
3. c) Si se llena hasta el $80\%$ de su capacidad, ¿cuántos litros de agua contendrá?

Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ m y la altura de la carpa en el centro es de $10$ m. Sabiendo que la apotema de un octógono regular de lado $L$ es aproximadamente $1,21 \cdot L$:

1. a) Calcula la apotema de la pirámide.
2. b) Calcula la cantidad de lona necesaria para cubrir las paredes laterales de la carpa.
3. c) Calcula el volumen de aire que contiene la carpa.

Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ cm. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide cuadrangular cuya base coincida con una de las caras de $40 \times 40$ cm y cuyo vértice llegue exactamente al centro de la cara opuesta.

1. a) Calcula el volumen de granito que queda tras extraer la pirámide.
2. b) Calcula el área de la superficie total del cuerpo resultante (incluyendo las paredes interiores del hueco piramidal).

Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ cm y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el volumen total de la pieza es de $288$ $cm^3$.

1. a) Calcula la altura de la pirámide.
2. b) Calcula la distancia máxima entre el vértice de la pirámide y cualquiera de los vértices de la base inferior del cubo.
3. c) ¿Cuántos planos de simetría tiene esta pieza compuesta?

Se desea identificar un poliedro convexo misterioso del que solo conocemos dos datos: tiene exactamente $30$ aristas ($A = 30$) y el número de sus vértices supera en $8$ unidades al de sus caras ($V = C + 8$).

1. a) Plantea una ecuación a partir del Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) y calcula con precisión cuántas caras y cuántos vértices tiene dicho poliedro.
2. b) Se sabe que todas sus caras son polígonos regulares idénticos entre sí, de $n$ lados cada una. Sabiendo que cada arista es compartida exactamente por dos caras (es decir, $n \cdot C = 2 \cdot A$), deduce algebraicamente qué tipo de polígono regular forma las caras de este poliedro.
3. c) A partir de los resultados anteriores, identifica de cuál de los cinco poliedros regulares existentes se trata y calcula cuántas aristas concurren en cada uno de sus vértices mediante la relación $k \cdot V = 2 \cdot A$, donde $k$ es el número de aristas por vértice.

La dirección de urbanismo de un municipio diseña una carpa para ferias con forma de pirámide recta de base octogonal regular. Cada lado del octógono mide $3\text{ m}$ y la apotema de la base mide $3{,}62\text{ m}$. Por pliego de condiciones técnicas:

1. La altura ($h$) del vértice superior debe estar comprendida obligatoriamente entre $3{,}5\text{ m}$ y $5{,}5\text{ m}$.

2. Para garantizar la caída del agua de lluvia, la apotema de la pirámide ($ap$) debe medir al menos $5\text{ m}$.

1. a) Si los proyectistas fijan inicialmente una altura de $h = 4\text{ m}$, modeliza la sección correspondiente mediante un triángulo rectángulo, calcula la apotema de la pirámide ($ap$) y justifica si se cumple el criterio de drenaje de lluvia.
2. b) Si se decide modificar el diseño para que la apotema de la pirámide sea de exactamente $ap = 5{,}2\text{ m}$, calcula la nueva altura $h$ de la carpa y comprueba si se mantiene dentro del rango permitido por el pliego municipal.
3. c) Determina el número total de caras, vértices y aristas de esta carpa y demuestra formalmente que cumple la característica de Euler para poliedros convexos.