Ejercicios: Perpendicularidad y paralelismo

Imagina que tienes una caja de zapatos (forma de ortoedro) sobre tu mesa. Si nos fijamos en las aristas de la tapa:

1. a) Indica dos aristas que sean paralelas entre sí.
2. b) Indica dos aristas que sean perpendiculares y se corten en un vértice.

En el gimnasio de la escuela, una de las columnas verticales (recta $r$) se encuentra con el piso (plano $\pi$).

1. a) ¿Qué posición relativa tienen la columna y el piso?
2. b) Si trazamos cualquier línea en el piso que pase por la base de la columna, ¿qué ángulo formará con ella?

Dos aviones vuelan por el cielo. El avión A vuela hacia el Norte a $10.000$ metros de altura. El avión B vuela hacia el Este a $8.000$ metros de altura. Sabiendo que sus trayectorias no se cortan ni son paralelas:

1. a) ¿Cómo se llama a la posición relativa de estas dos trayectorias en el espacio?
2. b) ¿Son estas rectas coplanarias? Explica por qué.

Observa las paredes de tu habitación.

1. a) ¿Qué posición relativa tienen dos paredes opuestas?
2. b) ¿Cómo se llama la recta que se forma cuando dos paredes contiguas se cortan?

Al abrir un libro de matemáticas y dejarlo apoyado sobre la mesa, las dos páginas forman un ángulo diedro.

1. a) Si abrimos el libro totalmente hasta que quede plano sobre la mesa, ¿cuánto mide ese ángulo diedro?
2. b) Si el libro está entreabierto y las páginas forman un ángulo de $90^\circ$, ¿cómo son los planos de las dos páginas entre sí?

Observa el siguiente cubo e identifica:

1. a) Una arista que sea paralela al plano de la base inferior.
2. b) Una arista que sea perpendicular al plano de la base inferior.

Imagina una portería de fútbol. Vamos a analizar sus postes como rectas:

1. a) ¿Qué posición relativa tienen los dos postes verticales?
2. b) ¿Qué posición relativa tiene el larguero (poste horizontal) respecto a cada uno de los postes verticales?

En clase de Matemáticas, Lucía está analizando las aristas de una caja con forma de cubo cuyos vértices son $A, B, C, D$ en la base inferior y $A', B', C', D'$ en la base superior. Al fijarse en la arista vertical que contiene al segmento $AA'$ y en la arista horizontal que contiene a $BC$, Lucía afirma: «Como estas dos rectas jamás se cortan en el espacio por mucho que las prolonguemos, tienen que ser necesariamente paralelas, exactamente igual que ocurre con las rectas en el plano».\na) Explica razonadamente qué error conceptual comete Lucía al aplicar en el espacio tridimensional una propiedad que solo es válida en geometría plana.\nb) Determina la posición relativa correcta entre la recta que contiene a $AA'$ y la recta que contiene a $BC$, y justifica por qué no pueden ser paralelas.\nc) Pon un ejemplo con las aristas de ese mismo cubo de dos rectas que no se corten y que sí sean paralelas entre sí.

Considera un prisma recto de base triangular regular cuyas bases son los triángulos horizontales $ABC$ (inferior) y $A'B'C'$ (superior), con aristas laterales verticales $AA'$, $BB'$ y $CC'$.\na) Escribe el nombre de una recta determinada por dos vértices del prisma que sea secante a la recta que contiene a la arista $AB$, pero que no esté contenida en el plano de la base inferior.\nb) Encuentra y nombra una recta determinada por dos vértices del prisma que se cruce con la recta $AA'$ (es decir, que no sea secante ni paralela a ella).\nc) Si queremos trazar un plano imaginario $\pi$ que corte a las tres aristas laterales a una altura fija de $2$ cm respecto a la base inferior, ¿qué posición relativa debe tener obligatoriamente dicho plano $\pi$ respecto al plano de la base $ABC$? Justifica tu deducción.

Imagina que el suelo de tu habitación es el plano $\pi$ y una de las paredes laterales es el plano $\beta$. Si instalas un cable de fibra óptica que recorre la esquina donde se juntan el techo y la pared frontal (recta $r$):

1. a) ¿Cómo es la recta $r$ respecto al plano del suelo $\pi$?
2. b) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano de la pared lateral $\beta$?
3. c) Si trazamos una línea vertical en la pared lateral (recta $s$), ¿se cortarán las rectas $r$ y $s$? Justifica si son perpendiculares.

Una puerta giratoria de un centro comercial tiene tres hojas de cristal iguales que se cortan en un eje vertical central.

1. a) ¿Qué nombre recibe cada una de las tres regiones del espacio delimitadas por dos hojas consecutivas?
2. b) Si el ángulo diedro entre la primera y la segunda hoja es de $120^\circ$, y las tres hojas están distribuidas de forma simétrica, ¿cuánto miden los otros dos ángulos diedros?
3. c) Si una mosca se posa exactamente en el eje central, ¿a cuántas caras de los ángulos diedros pertenece?

Considera un prisma recto de base hexagonal regular. Analiza la relación entre sus elementos:

1. a) ¿Cuántas caras laterales son perpendiculares a la base inferior?
2. b) ¿Cuántos pares de caras laterales son paralelos entre sí?
3. c) Si trazamos la diagonal de una cara lateral y una arista básica que no tenga ningún vértice en común con esa diagonal, ¿en qué posición relativa se encuentran las rectas que las contienen?

Las célebres Torres KIO de Madrid tienen una inclinación de $15^\circ$ respecto a la vertical. Modela una de estas torres como un prisma oblicuo donde el suelo horizontal de la plaza es el plano $\pi$ y las cuatro aristas laterales del edificio representan las esquinas inclinadas de la fachada.\na) ¿Qué posición relativa tienen las aristas laterales del edificio respecto al plano del suelo $\pi$? Justifica si son secantes perpendiculares o secantes oblicuas, indicando la medida del ángulo diedro agudo que forma la fachada inclinada con el plano horizontal del suelo.\nb) En el mantenimiento de la torre, un montacargas exterior sube por una guía paralela a una de las aristas inclinadas de la fachada, mientras que un ascensor interior sube siguiendo una trayectoria rectilínea totalmente vertical (perpendicular al plano del suelo $\pi$). Si ambas trayectorias no coinciden en ningún punto ni están en una misma pared vertical, ¿en qué posición relativa se encuentran en el espacio? Razona si son paralelas, secantes o se cruzan.

Para dar sombra a un patio escolar en Santiago de Cuba, la dirección municipal va a instalar un toldo tensado rectangular $ABCD$. El lado superior $AB$ se fija horizontalmente a una pared vertical plana $\alpha$ a una altura de $3$ m sobre el suelo. El lado inferior $CD$ se ancla directamente sobre el suelo horizontal $\beta$, a una distancia horizontal de $4$ m de la pared. La lona forma un plano inclinado $\gamma$.\na) Antes de calcular nada, estima si el ángulo diedro que forma la lona $\gamma$ con el suelo $\beta$ será menor, igual o mayor que $45^\circ$. Justifica tu estimación comparando la altura del anclaje en la pared con la distancia horizontal de anclaje.\nb) Visualiza la sección perpendicular (un triángulo rectángulo con catetos de $3$ m y $4$ m) y calcula la longitud de la caída de la lona (segmento $BC$).\nc) Comprueba si tu estimación inicial era correcta calculando la razón trigonométrica tangente del ángulo diedro agudo formado con el suelo ($\tan\theta = 3/4 = 0,75$) y valorando si un ángulo con esa tangente es mayor o menor de $45^\circ$ (teniendo en cuenta que $\tan 45^\circ = 1$).

Un foco de luz puntual se sitúa en el centro de la base de un cono recto de radio $R = 5$ cm y altura $H = 12$ cm. El foco emite un rayo de luz que es perpendicular a una de las generatrices del cono.

1. a) ¿Es posible que dicho rayo atraviese la superficie lateral del cono?
2. b) Calcula la distancia desde el foco hasta el punto de la generatriz donde el rayo sería perpendicular. Para ello, visualiza el triángulo rectángulo que forma la sección axial del cono.

Se tiene una esfera de radio $13$ cm. Un plano $\pi_1$ corta a la esfera a una distancia de $5$ cm de su centro, generando un círculo $C_1$. Un segundo plano $\pi_2$, perpendicular al primero, corta también a la esfera pasando por su centro.

1. a) Describe la posición relativa de la recta intersección de ambos planos respecto a la esfera.
2. b) ¿Cuál es la distancia mínima entre el borde del círculo $C_1$ y el plano $\pi_2$? Ayúdate de un dibujo de la sección circular para razonar la respuesta.

En una pirámide regular de base cuadrada $ABCD$ y cúspide $V$, llamamos $r$ a la recta que contiene a la altura de la pirámide (que une $V$ con el centro $O$ de la base) y llamamos $s$ a la recta que contiene a la arista básica $AB$. Se desea demostrar con rigor la posición relativa entre $r$ y $s$.\nDos compañeros de clase proponen caminos distintos:\n- Método de Marcos: Intenta averiguar si existe algún plano que contenga simultáneamente a las rectas $r$ y $s$, analizando si los vértices $V, O, A$ y $B$ pueden estar en un mismo plano.\n- Método de Sara: Se apoya en la relación recta-plano: utiliza que la recta $r$ es perpendicular al plano de la base y lo interseca en el punto $O$, para luego comprobar si la recta $s$ (contenida en la base) pasa o no por $O$.\na) Aplica el procedimiento de Marcos y concluye la posición relativa entre $r$ y $s$.\nb) Aplica el procedimiento de Sara y obtén la misma conclusión.\nc) Compara ambos métodos y justifica cuál de los dos es más directo y generalizable para demostrar que una recta perpendicular a un plano se cruza con cualquier recta de dicho plano que no pase por el pie de la perpendicular.

Un equipo de arquitectura diseña la estructura de una nave industrial con cubierta a dos aguas. Los dos faldones del tejado forman dos planos secantes $\pi_1$ y $\pi_2$ cuya intersección es la arista cumbrera horizontal $r$. El suelo de la nave es un plano horizontal $\pi_0$ paralelo a la recta $r$.\na) Se necesita añadir una viga metálica de refuerzo que esté contenida en una recta $s$. Deduce qué condiciones geométricas debe cumplir $s$ respecto a los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ para ser paralela a ambos faldones a la vez sin estar contenida en ninguno de ellos. A partir de ahí, determina qué posición relativa obligatoria guardará $s$ respecto a la cumbrera $r$ y respecto al suelo $\pi_0$.\nb) En los extremos inferiores de cada faldón se colocan canalones de desagüe sobre sendas rectas $t_1$ (en $\pi_1$) y $t_2$ (en $\pi_2$), ambas paralelas a la cumbrera $r$. Demuestra si $t_1$ y $t_2$ son paralelas entre sí y justifica si determinan un plano que resulta paralelo al suelo $\pi_0$.\nc) Diseña y describe las condiciones geométricas de una recta $p$ que sea perpendicular a la cumbrera $r$, que sea paralela al plano del suelo $\pi_0$ y que se cruce con $r$ a una distancia vertical fija de $1,5$ m sin llegar a cortarla jamás.