Ejercicios: Área de un poliedro

Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.

Una caja de zapatos tiene forma de paralelepípedo rectangular (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).

Verifica si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal, como el de la figura (las aristas discontinuas son las que quedan ocultas). Indica claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$) que has contado.

Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.

Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de $40\text{ cm}$. Si el área de la base triangular es aproximadamente $27,7\text{ cm}^2$, calcula el área total del estuche.

A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.

Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15,6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de cristal tendrá la lámpara completa?

Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.

(Pista: Primero debes hallar el lado del rombo usando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).

Lucía quiere barnizar una pieza decorativa de madera maciza que tiene forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $4\text{ cm}$. Lucía ha realizado los siguientes cálculos en su cuaderno:

«El perímetro de la base es $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}$. El área lateral es $\frac{24 \cdot 4}{2} = 48\text{ cm}^2$. El área de la base es $6^2 = 36\text{ cm}^2$. Por tanto, el área total a barnizar es $48 + 36 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error geométrico que ha cometido Lucía en su planteamiento. ¿Qué dos segmentos distintos ha confundido?
2. b) Corrige el procedimiento calculando la medida correcta de la apotema de la pirámide mediante el teorema de Pitágoras y determina el área total real que debe barnizar.

Una empresa de paquetería diseña un nuevo modelo de caja de cartón reciclado con forma de prisma recto de base cuadrada. Por motivos de almacenamiento y estabilidad, la arista de la base cuadrada debe medir obligatoriamente $8\text{ cm}$. Para confeccionar el desarrollo plano completo de la caja (contando sus dos bases y las cuatro caras laterales, sin tener en cuenta las solapas de pegado) se emplean exactamente $448\text{ cm}^2$ de cartón.

1. a) Escribe una ecuación algebraica donde intervenga la altura desconocida $h$ del prisma y el área total indicada.
2. b) Resuelve dicha ecuación para calcular cuántos centímetros de altura tendrá la caja.

Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25\text{ cm}$. Si quieres forrar todas las caras exteriores (incluidas las dos bases) con una lámina protectora, ¿cuántos centímetros cuadrados de material necesitarás?

(Nota: Recuerda que para calcular el área de la base necesitarás hallar primero la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).

Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcula la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).

Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos equiláteros. ¿Podrías deducir cuántas caras tiene este poliedro y cuál es el número total de aristas? Demuestra tu respuesta utilizando la relación matemática de Euler.

Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?

Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\$0,05$ por cada centímetro cuadrado. ¿Cuál será el costo total de platear las $8$ caras del trofeo?

(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).

Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide con la misma base y la misma altura. Calcula el área total de la superficie de esta pieza (incluyendo el "hueco" interior dejado por la pirámide).

Calcula el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base mide $4\text{ cm}$.

(Pista: Utiliza primero la fórmula del volumen para encontrar la altura del prisma).

Se quiere fabricar una papelera metálica sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de $9,66\text{ cm}$. La altura de la papelera es de $40\text{ cm}$. Calcula la superficie total de metal necesaria para su fabricación.

Se va a confeccionar una tienda de campaña individual con forma de pirámide cuadrangular regular. La base es un cuadrado de $2\text{ m}$ de lado y el mástil vertical central tiene una altura de $1,5\text{ m}$. Solo se empleará una tela impermeable especial en las cuatro caras laterales (el suelo se fabricará con otro material aislante distinto).

1. a) Sin utilizar la calculadora ni hallar la apotema todavía, realiza una estimación razonada del área lateral: ¿será mayor, menor o igual que $6\text{ m}^2$? (Pista: piensa qué área tendrían las cuatro caras si fuesen triángulos verticales de base $2\text{ m}$ y altura $1,5\text{ m}$).
2. b) Emplea el teorema de Pitágoras para hallar la apotema lateral de la pirámide y calcula el valor exacto del área de tela necesaria (redondea el resultado a dos decimales).
3. c) Compara tu resultado con la estimación que hiciste y justifica geométricamente por qué la apotema de una pirámide siempre es estrictamente mayor que su altura.

Una brigada municipal de obras va a restaurar e impermeabilizar 10 jardineras de hormigón situadas en un paseo peatonal. Cada jardinera tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular abierta por su parte superior y apoyada sobre su base menor. Las dimensiones interiores son: arista del cuadrado superior (abierto) $1,2\text{ m}$, arista del cuadrado inferior (fondo) $0,8\text{ m}$, y apotema de las caras laterales (altura de los trapecios) $0,5\text{ m}$.

1. a) Modela la jardinera identificando las figuras poligonales que componen la superficie interior y calcula el área total que debe cubrirse en una sola jardinera.
2. b) La resina impermeabilizante se comercializa en pomos de $750\text{ ml}$ a un precio de $14,50\text{ \$}$ cada uno, y el fabricante certifica que cada pomo rinde para cubrir exactamente $2\text{ m}^2$. Determina cuántos pomos completos necesita adquirir el municipio para tratar las 10 jardineras y calcula el costo total de la intervención.

Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que el largo de la habitación es el doble de su ancho, y que la altura es de exactamente $3\text{ m}$. Si la diagonal espacial (la distancia máxima entre dos esquinas opuestas) mide exactamente $7\text{ m}$, calcula el área total de las paredes y el techo (sin contar el piso) que debe cubrirse con pintura aislante.

Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la base menor mide $4\text{ cm}$. Si la altura del frasco es de $10\text{ cm}$, calcula la superficie total de vidrio necesaria para fabricar el frasco (incluyendo ambas bases). Para ello, deberás calcular primero la apotema del tronco de pirámide (la altura de una cara lateral) utilizando el teorema de Pitágoras. En la figura, $h$ es la altura del frasco y $a$ es la apotema.

Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del hexágono de la base mide $6\text{ cm}$, la altura del prisma es de $15\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie exterior de la pieza completa (ten en cuenta que la base donde se unen ambos cuerpos no cuenta como superficie exterior).

Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares regulares por su base, calcula el área total de la superficie que la hormiga puede recorrer. Para ello, recuerda que todas las caras de un octaedro regular son triángulos equiláteros. Expresa el resultado en función de $\sqrt{3}$.

Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de $3\text{ cm}$. Calcula el área total del prisma. Pista: Necesitarás calcular primero la longitud de los lados oblicuos del trapecio de la base usando el teorema de Pitágoras.

El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de aristas es de $6$, deduce cuántas caras tiene y propón el nombre de un poliedro regular que cumpla esta condición. Una vez identificado, calcula su área total si su arista mide $\sqrt{10}\text{ cm}$.

Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y $120\text{ cm}$. Si la altura del contenedor es de $2\text{ metros}$, calcula el área total de la superficie exterior del contenedor en metros cuadrados ($m^2$).

Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una pequeña pirámide triangular (llamada tetraedro trunco). Calcula el área total del sólido que queda después de retirar esa pequeña pirámide en esa esquina.

Para un centro cultural se proyecta una columna decorativa hueca de chapa metálica con forma de prisma recto de $3\text{ m}$ de altura. La base del prisma es un polígono en forma de 'L' con todos sus ángulos rectos, cuyas seis aristas consecutivas miden: $3\text{ m}$, $2\text{ m}$, $1\text{ m}$, $1\text{ m}$, $2\text{ m}$ y $1\text{ m}$. Se necesita calcular la superficie total de chapa metálica (caras laterales más las dos bases en forma de 'L'). Dos técnicos del equipo proponen estrategias distintas:

• Técnico A (Descomposición): Divide la base en 'L' en dos rectángulos independientes, calcula el área total de dos prismas rectangulares por separado y luego resta el área de las caras interiores ficticias por donde se unen.

• Técnico B (Fórmula general): Halla el perímetro completo del polígono en 'L' para calcular el área lateral directamente con $A_L = P_{base} \cdot h$, y añade el doble del área de la base en 'L'.

1. a) Desarrolla ambos métodos paso a paso y comprueba numéricamente si ambos conducen al mismo resultado.
2. b) Compara los dos caminos justificando cuál resulta más eficiente y menos propenso a errores al trabajar con cuerpos de bases poligonales complejas.

Un diseñador industrial crea un trofeo poliédrico macizo. El cuerpo consta de un cubo de arista $a$ sobre cuya cara superior se apoya una pirámide regular; la base de la pirámide encaja de forma exacta en la cara superior del cubo y sus cuatro caras laterales son triángulos equiláteros de lado $a$.

1. a) Describe el desarrollo plano del cuerpo indicando el número y tipo de polígonos que forman su superficie exterior total, especificando qué caras quedan ocultas en el interior y no deben contabilizarse.
2. b) Sabiendo que el área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ y que la superficie exterior total del trofeo es exactamente $(500 + 100\sqrt{3})\text{ cm}^2$, deduce de manera razonada la medida exacta de la arista $a$.
3. c) Si un cliente encarga una réplica a escala triplicando la medida de la arista ($a' = 3a$), ¿se triplicará también la cantidad de material para la superficie? Justifica tu respuesta algebraicamente sin calcular el nuevo valor numérico.