Ejercicios: Producto vectorial

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcula su producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizando la regla del determinante con los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Calcula un vector que sea perpendicular simultáneamente a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ y $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Comprueba el resultado realizando el producto escalar del vector obtenido por $\vec{a}$.

Halla el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores $\vec{u} = (5, 0, 0)$ y $\vec{v} = (2, 3, 0)$. ¿Qué relación observas entre este resultado y el área de un rectángulo de base 5 y altura 3 situado en el plano $XY$?

Determina el área del triángulo cuyos vértices son los puntos del espacio $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ y $C(1, 2, 5)$.

Comprueba si los vectores $\vec{u} = (1, -2, 4)$ y $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ son paralelos calculando su producto vectorial. Explica qué condición debe cumplir el resultado de un producto vectorial para asegurar que dos vectores tienen la misma dirección.

Dados los vectores unitarios de los ejes de coordenadas $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcula los siguientes productos vectoriales:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Razona, a la vista de los resultados, si el producto vectorial cumple la propiedad conmutativa.

Halla un vector que sea perpendicular al plano que pasa por los puntos $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ y $R(2, 0, 1)$.

En física, el momento de una fuerza $\vec{F}$ aplicada en un punto respecto a un origen viene dado por el producto vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, donde $\vec{r}$ es el vector de posición del punto de aplicación. Calcula el momento de una fuerza $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newtons aplicada en el punto de coordenadas $\vec{r} = (3, 0, 0)$ metros. La figura muestra un esquema (no está a escala) de $\vec{r}$ y $\vec{F}$.

Lucía tiene que hallar las coordenadas de un vector perpendicular simultáneamente a $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (1, 4, -2)$. Para resolverlo, plantea el determinante con los vectores de la base canónica y escribe en su examen:

Tras operar, concluye que el vector pedido es $\vec{w} = (-10, -7, 9)$.

1. a) Sin volver a calcular el producto vectorial completo, utiliza el producto escalar para demostrar que el vector $\vec{w}$ obtenido por Lucía no es perpendicular a $\vec{u}$.
2. b) Localiza y explica con precisión el error conceptual o algebraico que ha cometido Lucía en el desarrollo del determinante.
3. c) Corrige el cálculo y escribe las coordenadas correctas del vector $\vec{u} \times \vec{v}$.

En el espacio tridimensional se consideran los vértices de un triángulo: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$ y $C(2, 5, 1)$ (con coordenadas medidas en metros).

1. a) Antes de calcular ningún determinante o producto vectorial, observa la posición geométrica de los puntos: el lado $AB$ descansa sobre el eje $X$ y el vértice $C$ se sitúa en $y = 5$ con una cota vertical pequeña ($z = 1$). A partir del área de la proyección del triángulo sobre el plano horizontal $XY$, realiza una estimación razonada del área del triángulo $ABC$ en el espacio e indica entre qué dos números enteros consecutivos debe encontrarse su valor.
2. b) Calcula el área exacta del triángulo mediante el módulo del producto vectorial $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
3. c) Compara el valor exacto obtenido con tu estimación previa y razona por qué el área real en el espacio es ligeramente superior a la del triángulo proyectado sobre el plano horizontal.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, -2, 3)$ y $\vec{v} = (0, 1, 4)$, calcula las coordenadas de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular simultáneamente a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, y que tenga un módulo igual a $\sqrt{130}$ unidades. ¿Cuántas soluciones posibles existen para este vector?

Un equipo de topógrafos está midiendo una parcela triangular en un terreno accidentado. Han determinado que los vértices del triángulo, referidos a un sistema de coordenadas cartesianas en metros, son $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ y $C(5, 1, -3)$. Calcula el área de dicha parcela utilizando el producto vectorial.

Determina el valor del parámetro real $k$ para que el área del paralelogramo definido por los vectores $\vec{a} = (k, 1, 2)$ y $\vec{b} = (1, k, 0)$ sea exactamente $\sqrt{21}$ unidades cuadradas.

En el diseño de una pieza industrial, se necesita conocer la dirección de la recta $r$ que resulta de la intersección de dos planos cuyas normales son $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ y $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabiendo que el vector director de la recta es perpendicular a ambas normales, utiliza el producto vectorial para hallarlo.

Demuestra, utilizando las propiedades del producto vectorial, que para cualquier pareja de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ del espacio, se cumple la siguiente igualdad:

A continuación, verifica el resultado para los vectores $\vec{u} = (1, 0, -1)$ y $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Un ingeniero ambiental está calculando la eficiencia de un panel solar plano. El panel está definido por los puntos $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ y $R(1, 2, 4)$. Para maximizar la captación de energía, necesita conocer el vector normal unitario a la superficie del panel. Halla dicho vector.

Dados los vectores $\vec{a} = (2, -1, 0)$ y $\vec{b} = (1, 2, -2)$, halla un tercer vector $\vec{c}$ de manera que el conjunto $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ forme una base ortogonal del espacio (es decir, que sean perpendiculares entre sí dos a dos).

En un experimento de física, una partícula cargada se mueve en un campo magnético. El momento de la fuerza $\vec{M}$ respecto al origen viene dado por el producto vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, donde $\vec{r}$ es el vector de posición del punto de aplicación y $\vec{F}$ es la fuerza aplicada. Si $\vec{r} = (2, -3, 1)$ metros y la fuerza es $\vec{F} = (4, 1, 2)$ Newtons (la figura es un esquema de la situación):

1. a) Calcula el vector momento $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

1. b) Calcula su módulo $|\vec{M}|$ e indica su unidad física (N·m).

En el patio de una escuela de La Habana se va a instalar un toldo vela triangular para crear una zona de sombra frente a las altas temperaturas. La lona se ancla en tres puntos de soporte fijados en los muros circundantes, cuyas coordenadas espaciales referidas al suelo horizontal (plano $XY$, en metros) son $A(0, 0, 3)$, $B(4, 0, 4)$ y $C(0, 6, 5)$.

1. a) Modela la superficie tensada como el triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$, y calcula su superficie exacta (área en $\text{m}^2$) utilizando el producto vectorial.
2. b) Para evitar que se acumule agua en episodios de lluvia intensa, se debe controlar la inclinación de la lona. Obtén un vector perpendicular a la superficie del toldo y calcula el ángulo que forma con la vertical $\vec{k} = (0, 0, 1)$, deduciendo a partir de este la pendiente del toldo respecto al plano horizontal del suelo.

Se conocen los vectores $\vec{u} = (1, 2, 2)$ y $\vec{w} = (-6, 6, -3)$, y se busca determinar un vector desconocido $\vec{v}$ tal que $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.

1. a) Explica por qué es una condición geométrica obligatoria que $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ para que exista alguna solución, y comprueba numéricamente si se cumple dicha condición en este caso.
2. b) Demuestra formalmente que la solución de esta ecuación vectorial nunca es única: si $\vec{v}_0$ es una solución particular, demuestra que cualquier vector de la forma $\vec{v} = \vec{v}_0 + \lambda\vec{u}$ (con $\lambda \in \mathbb{R}$) también satisface la igualdad $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.
3. c) Si imponemos la condición adicional de que $\vec{v}$ sea estrictamente perpendicular a $\vec{u}$, plantea las ecuaciones correspondientes y determina las coordenadas del único vector $\vec{v}$ que cumple simultáneamente $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ y $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, -1, 2)$ y $\vec{v} = (3, 1, -1)$, se pide encontrar un vector $\vec{w}$ que cumpla simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Es perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

2. Su norma o módulo es exactamente igual a $\sqrt{750}$.

3. Su componente en el eje $Z$ (cota) es un número negativo.

Considera un triángulo cuyos vértices son los puntos $A(k, 0, 1)$, $B(1, 2, 1)$ y $C(0, -1, k)$, donde $k$ es un parámetro real.

1. a) Determina la expresión del área del triángulo en función de $k$.
2. b) Halla los valores de $k$ para los que el área del triángulo es exactamente $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unidades cuadradas.

Se desea diseñar una pieza estructural metálica en forma de paralelogramo. Los lados están definidos por los vectores $\vec{a} = (2, m, 1)$ y $\vec{b} = (1, 2, 2)$.

1. a) Calcula el valor del parámetro $m$ sabiendo que el área de dicha pieza es de $\sqrt{26}$ unidades cuadradas.
2. b) Para los valores de $m$ hallados, ¿son los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ perpendiculares? Justifica tu respuesta sin realizar el producto escalar.

En un estudio de robótica, el brazo de un robot ejerce una fuerza $\vec{F} = (2, -3, 1)$ Newtons sobre un perno situado en el punto $P(1, 1, 4)$. El momento de una fuerza respecto a un punto $O$ se define como el producto vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, donde $\vec{r}$ es el vector posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al centro de giro.

Si el centro de giro se encuentra en el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcula:

1. a) El vector momento $\vec{M}$.
2. b) El área del triángulo que tiene por lados los vectores $\vec{r}$ y $\vec{F}$.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, 1, -1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 3)$, encuentra todos los vectores $\vec{x}$ que satisfagan simultáneamente las siguientes ecuaciones:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Pista: Utiliza las propiedades distributivas del producto vectorial y la condición de linealidad).

Sea $V$ el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$.

Si $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ y $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Halla los valores de $m$ para que el volumen sea de 4 unidades cúbicas.
2. b) Para cada uno de esos valores de $m$, calcula el área de la cara del paralelepípedo definida por los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$, y utiliza este dato para hallar la altura del paralelepípedo respecto a esa base.

Demuestra de forma analítica la Identidad de Lagrange para los vectores $\vec{u} = (x, 1, 0)$ y $\vec{v} = (0, y, 1)$, verificando que:

A continuación, utiliza esta identidad para hallar el área del paralelogramo formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$ si sabemos que $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ y su producto escalar es $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}$.

Un panel solar cuadrangular tiene sus vértices en los puntos $P(1, 0, 0)$, $Q(3, 2, 1)$, $R(2, 5, 3)$ y $S(0, 3, 2)$.

1. a) Comprueba si los cuatro puntos son coplanarios (están en el mismo plano).
2. b) Si son coplanarios, calcula el área total del panel solar descomponiéndolo en dos triángulos y utilizando el producto vectorial.

Se desea calcular la distancia desde el punto $P(3, 1, -2)$ hasta la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 0, 1)$ y tiene vector director $\vec{d} = (1, 2, -1)$. Dos estudiantes proponen estrategias distintas:

• Método de Alba (vectorial): Interpreta que el vector $\vec{AP}$ y el vector director $\vec{d}$ determinan un paralelogramo en el espacio cuya base es $|\vec{d}|$ y cuya altura es la distancia buscada, por lo que aplica la fórmula $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$.

• Método de Bruno (analítico): Halla la ecuación general del plano $\pi$ perpendicular a la recta $r$ que pasa por $P$, calcula el punto $M$ de corte entre la recta $r$ y el plano $\pi$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $r$), y obtiene la distancia calculando el módulo $|\vec{PM}|$.

1. a) Justifica detalladamente, con argumentos geométricos, por qué la fórmula empleada en el método de Alba proporciona con rigor la distancia mínima de $P$ a la recta $r$.
2. b) Desarrolla ambos métodos paso a paso y comprueba que conducen exactamente al mismo resultado numérico.
3. c) Compara críticamente ambos caminos: ¿cuál resulta más directo y con menor riesgo de error algebraico si únicamente te piden el valor numérico de la distancia? ¿En qué problema geométrico posterior resultaría imprescindible haber obtenido el punto $M$ mediante el método de Bruno en lugar de limitarse al cálculo de Alba?

Tres vectores no nulos $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ satisfacen simultáneamente las siguientes dos igualdades vectoriales:

1. a) Demuestra rigurosamente, recurriendo a la definición y propiedades geométricas del producto vectorial, que los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son perpendiculares dos a dos.
2. b) A partir de la fórmula del módulo $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta$, demuestra que el módulo del vector $\vec{v}$ está unívocamente determinado por estas dos condiciones y calcula su valor exacto.
3. c) Deduce la relación matemática existente entre los módulos $|\vec{u}|$ y $|\vec{w}|$.
4. d) Construye un ejemplo numérico concreto proponiendo unas coordenadas sencillas para $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que cumplan las condiciones del enunciado, calcula el vector $\vec{w}$ resultante y comprueba que se verifican de manera exacta ambas igualdades vectoriales.