Ejercicios: Producto mixto

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcula el valor del producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizando la definición basada en el determinante de sus componentes.

Un estudiante de ingeniería está diseñando una pieza mediante un programa de CAD. La base de la pieza viene definida por los vectores $\vec{a} = (3, 0, 0)$ y $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mientras que el tercer vector que define la profundidad es $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcula el volumen del paralelepípedo que forman estos tres vectores.

Comprueba de forma razonada si los vectores $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ y $\vec{c} = (4, 2, 1)$ son coplanarios. Para ello, calcula su producto mixto y justifica tu respuesta basándote en el resultado obtenido.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (2, 1, -1)$, encuentra un tercer vector $\vec{w}$ de la forma $(0, 0, z)$ tal que el volumen del paralelepípedo definido por los tres sea exactamente de 5 unidades cúbicas.

Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por las siguientes ecuaciones:

$r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - z = 3 \end{cases}$

$s: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$

Se pide determinar la ecuación de la recta $t$ que es la perpendicular común a $r$ y $s$. Para ello, obtén primero los vectores directores de ambas rectas y justifica razonadamente que se cruzan en el espacio.

Estudia, en función del parámetro real $a$, la posición relativa de las rectas $r$ y $s$:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{2}$

$s: \begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + z = 1 \end{cases}$

En el caso particular de que las rectas sean secantes, calcula las coordenadas del punto de intersección $P$ y la ecuación del plano que las contiene.

Consideramos el punto $P(1, 0, -1)$ y las rectas:

$r: x = y = z$

$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Halla la ecuación general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P$ y es paralelo a ambas rectas. A continuación, determina la ecuación de una tercera recta $k$ que pase por el punto $P$, esté contenida en dicho plano $\pi$ y sea perpendicular a la recta $r$.

Halla la ecuación de la recta $t$ que pasa por el punto $A(1, 2, 1)$ y corta a las rectas $r$ y $s$:

$r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$

$s: \begin{cases} x + z = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Explica el método utilizado basándote en la intersección de planos (haz de planos).

Se sabe que la recta $r$ pasa por el punto $A(1, m, 0)$ y tiene como vector director $\vec{u} = (1, 1, a)$. Por otro lado, la recta $s$ es la intersección de los planos:

$\pi_1: x - y + z = 0$

$\pi_2: 2x + y = 1$

Estudia si existen valores de los parámetros $m$ y $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean la misma (rectas coincidentes) y, en caso afirmativo, determínalos.

Dos aeronaves siguen trayectorias rectilíneas dadas por:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-a}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}$

1. Calcula el valor de $a$ para que las trayectorias de las aeronaves se corten en un punto.

2. Para ese valor de $a$, halla la ecuación de la recta $n$ que sea perpendicular al plano formado por las trayectorias $r$ y $s$ y que pase por el punto de colisión.

En un examen de Geometría, Laura debe calcular el volumen del tetraedro de vértices $O(0, 0, 0)$, $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$ y $C(1, 2, -4)$. En su resolución escribe lo siguiente:

«Calculo el producto mixto de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ mediante el determinante:

Como el determinante da $-24$, el tetraedro no puede existir con esos vértices porque un volumen físico nunca puede ser negativo. Por tanto, el enunciado del problema contiene una incoherencia geométrica.»

1. a) Localiza y explica razonadamente los dos errores conceptuales que comete Laura: uno relativo a la interpretación del signo del producto mixto y su relación con la orientación de la base, y otro relativo a la relación métrica directa entre el producto mixto y el volumen del tetraedro.
2. b) Corrige el procedimiento y calcula el volumen real y correcto de dicho tetraedro.

Considera los vectores $\vec{u} = (4, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 5, 0)$ y $\vec{w} = (18, -25, 3)$, que definen las tres aristas concurrentes de un paralelepípedo.

1. a) Estima: Sin plantear determinantes ni realizar cuentas algebraicas previas, observa la base del paralelepípedo apoyada sobre el plano $xy$ (formada por $\vec{u}$ y $\vec{v}$) y la cota vertical que marca la tercera componente de $\vec{w}$. Deduce cuál debe ser el volumen del cuerpo razonando a partir del principio de Cavalieri y la fórmula básica $V = \text{área de la base} \cdot \text{altura}$. ¿Afectan las componentes $18$ y $-25$ a la altura del paralelepípedo sobre dicha base?
2. b) Comprueba: Calcula formalmente el volumen mediante el valor absoluto del producto mixto $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Compara el resultado con tu estimación y justifica por qué la inclinación de la arista $\vec{w}$ no altera la capacidad interior del cuerpo.

Se desea instalar un cable de fibra óptica que conecte el punto $A(1, 4, -2)$ con el punto $B(3, -1, 0)$. Halla la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos en su forma continua.

Dada la recta $r$ expresada mediante sus ecuaciones paramétricas:

Comprueba de forma razonada si los puntos $A(3, -3, 3)$ y $B(1, 0, 5)$ pertenecen a dicha recta.

Expresa en forma paramétrica la recta $s$ definida como la intersección de los siguientes planos (ecuaciones implícitas):

Obtén un punto y un vector director de la recta $r$ cuya ecuación continua es:

Un estudio de arquitectura diseña una claraboya con forma de tetraedro cuyos vértices son los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ y $D(0, 0, z)$. Calcula el valor de la cota $z$ sabiendo que el volumen de la claraboya es de $5$ unidades cúbicas y que el vértice $D$ se encuentra en el semieje negativo de las $Z$.

Comprueba si los puntos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ y $S(5, -2, 7)$ son coplanarios utilizando el producto mixto. En caso de que no lo sean, calcula el volumen del tetraedro que tiene a estos cuatro puntos como vértices.

Dados tres vectores linealmente independientes $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tales que su producto mixto es $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcula razonadamente, aplicando las propiedades de los determinantes, el valor del producto mixto de los vectores $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Se considera un hangar de almacenamiento con forma de paralelepípedo donde tres de sus aristas concurrentes en un vértice son los vectores $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ y $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcula el volumen total del hangar.
2. b) Si se divide el hangar mediante un plano inclinado que pase por los extremos de los tres vectores anteriores para crear un altillo triangular (tetraedro con el origen), ¿qué fracción del volumen total del hangar ocuparía dicho altillo?

Se quiere diseñar un contenedor con forma de tetraedro cuyos tres vértices en la base son fijos: $A(1, 1, 0)$, $B(3, 1, 0)$ y $C(1, 4, 0)$. El vértice superior $D(x, y, z)$ debe elegirse en el espacio cumpliendo dos condiciones técnicas:

1. El volumen del tetraedro debe ser exactamente de $4\text{ u}^3$.

2. El vértice $D$ debe pertenecer a la recta directriz $r$ dada por las ecuaciones paramétricas:

1. a) Expresa el producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ en función del parámetro $t$ y describe geométricamente qué lugar geométrico formarían todos los puntos $D$ del espacio que proporcionan dicho volumen si no tuvieran la restricción de pertenecer a la recta $r$.
2. b) Encuentra las coordenadas exactas de todos los posibles puntos $D$ sobre la recta $r$ que satisfacen el volumen solicitado.

En una estación de esquí de Sierra Nevada (Granada), los técnicos del servicio de meteorología instalan una cubierta tensada de lona para proteger el instrumental de las ventiscas. La estructura tiene forma de tetraedro irregular cuyos cuatro vértices se sitúan en el anclaje a tierra $O(0, 0, 0)$ y en los extremos de tres postes en $A(2, 1, 0)$, $B(0, 3, 1)$ y $C(1, 1, 3)$ (medidas en metros).

1. a) Modela la estructura mediante vectores y calcula la capacidad de aire útil (volumen interior) que queda protegida bajo la carpa utilizando el producto mixto.
2. b) Para evitar que la nieve acumulada bloquee los sensores, los técnicos deciden sustituir el poste $C$ por otro vertical $C'(1, 1, z_0)$ alineado sobre la misma vertical, con el objetivo de aumentar el volumen protegido exactamente en un $50\,\%$ respecto al diseño inicial. Determina la cota $z_0$ necesaria e interpreta físicamente si existe alguna solución válida que sitúe el anclaje $C'$ a menor altura que la original ($z_0 < 3$).

La trayectoria de un rayo láser en una sala de espectáculos viene dada por la intersección de los planos $\pi_1: x + y - z = 3$ y $\pi_2: 2x - y + z = 0$.

1. a) Expresa la ecuación de la trayectoria del láser en forma continua.
2. b) Un sensor de seguridad está situado en el punto $S(1, 2, 0)$. Determina si el rayo láser pasará exactamente por la posición del sensor.

En el diseño de una estructura arquitectónica, una viga metálica sigue la dirección de la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 0, -1)$ y es paralela a la recta $s: \begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$.

Obtén la ecuación de la recta $r$ en forma implícita (como intersección de dos planos) y calcula un punto de la misma cuya coordenada $z$ sea igual a $5$.

Dada la recta $r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}$, se pide:

1. a) Hallar la ecuación de una recta $s$ que pase por el origen de coordenadas y sea paralela a $r$.
2. b) Determinar la distancia que separa el punto $Q(1, 1, 1)$ de la recta $s$ mediante el uso de un punto genérico de la misma.

Se considera un triángulo en el espacio cuyos vértices son $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, 1)$.

1. a) Halla la ecuación de la recta que contiene a la mediana que parte del vértice $A$.
2. b) Obtén un punto $D$ sobre dicha recta tal que el vector $\vec{AD}$ tenga módulo $\sqrt{6}$.

Se considera el tetraedro de vértices $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ y $D(1, 1, k)$.

1. a) Determina los valores del parámetro real $k$ para los que el volumen del tetraedro es de $2$ unidades cúbicas.
2. b) Para $k = 2$, halla la altura del tetraedro que parte del vértice $D$ sobre la cara formada por los vértices $A$, $B$ y $C$.

Un equipo de ingenieros está diseñando una pieza de soporte para un satélite con forma de paralelepípedo. La base está definida por los vectores $\vec{u} = (2, -1, 0)$ y $\vec{v} = (1, 2, 1)$. El tercer vector que define la pieza es $\vec{w} = (k, 1, k+1)$.

1. a) Si se sabe que la proyección del vector $\vec{w}$ sobre el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ tiene una longitud de $3$ unidades, determina el valor de $k$.
2. b) Razona si existe algún valor de $k$ que haga que la pieza sea plana (volumen nulo).

Demuestra vectorialmente, utilizando las propiedades del producto mixto, que para tres vectores cualesquiera $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$, se cumple que:

Interpreta el resultado geométricamente comparando el volumen de un paralelepípedo original con el formado por las sumas de sus vectores directores.

Se tienen cuatro puntos en el espacio: $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, a)$, $R(k, 1, 2)$ y $S(0, 0, 3)$.

1. a) Determina la relación que deben cumplir $a$ y $k$ para que los cuatro puntos sean coplanarios.
2. b) Si fijamos $k = 2$, ¿cuánto debe valer $a$ para que el volumen del tetraedro $PQRS$ sea mínimo? Justifica tu respuesta basándote en la dependencia lineal de los vectores.

En una estructura arquitectónica moderna, una columna sigue la dirección de la perpendicular común a las rectas $r$ y $s$. La recta $r$ pasa por el origen y tiene dirección $\vec{d_r} = (1, 0, 1)$. La recta $s$ pasa por $P(0, 1, 0)$ y tiene dirección $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los vectores directores $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ y un tercer vector $\vec{v}$ que una un punto cualquiera de $r$ con un punto cualquiera de $s$. ¿Depende dicho volumen de los puntos elegidos en las rectas?

Sea $\vec{u}$ un vector unitario y $\vec{v}, \vec{w}$ dos vectores tales que el área del paralelogramo que forman es igual a $10$. Si se sabe que el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, calcula el ángulo que forma el vector $\vec{u}$ con el plano que contiene a los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Sean $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tres vectores linealmente independientes del espacio tales que su producto mixto es $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$. Se construyen tres nuevos vectores mediante combinaciones lineales: $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$ y $\vec{c} = 3\vec{v} - 2\vec{w}$. Para calcular el producto mixto $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$, dos estudiantes plantean caminos distintos:

• Estrategia 1 (Base ficticia): Asignar componentes numéricas cómodas a los vectores originales como si formasen un triedro ortogonal canónico modificado, por ejemplo $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ y $\vec{w} = (0, 0, 5)$, calcular las coordenadas resultantes de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ y evaluar su determinante $3 \times 3$.

• Estrategia 2 (Álgebra de determinantes): Expresar la matriz de paso $M$ tal que $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \cdot M$ y utilizar las propiedades operacionales del determinante de un producto de matrices: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \det(M) \cdot [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$.

1. a) Analiza con rigor la validez matemática de la Estrategia 1: ¿por qué funciona numéricamente en el cálculo del producto mixto a pesar de asumir injustificadamente que los vectores son perpendiculares? ¿Qué sucedería si se usara esa misma base ficticia para calcular el módulo de $\vec{a}$ o el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$?
2. b) Aplica la Estrategia 2 para determinar el valor exacto de $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ deduciendo detalladamente el determinante de la matriz de coeficientes.
3. c) Justifica razonadamente cuál de las dos estrategias demuestra competencia matemática formal en 2.º de Bachillerato.

En el proyecto de estabilización de un talud para el trazado de una vía ferroviaria en Asturias, se planifica un sistema de tres tirantes de anclaje de acero que parten de un mismo punto de cimentación $O(0, 0, 0)$ en la ladera y se fijan en los puntos $A(2, 0, 1)$, $B(1, 3, 2)$ y un tercer punto $C$ (coordenadas en metros).

Las especificaciones geotécnicas exigen el cumplimiento de tres condiciones:

1. El punto $C$ debe apoyarse sobre la viga de coronación del muro, cuya directriz es la recta $r: \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$.

2. Los tres tirantes no pueden ser coplanarios, ya que un volumen nulo implicaría la pérdida de estabilidad tridimensional frente a empujes laterales.

3. El tetraedro virtual delimitado por los tirantes $OABC$ debe tener un volumen de exactamente $3\text{ m}^3$ para dejar espacio suficiente a las canalizaciones de drenaje.

1. a) Modela la condición de coplanaridad mediante el producto mixto en función del parámetro de la recta $r$ y determina si existe algún punto crítico en dicha recta donde la estructura colapsaría por coplanaridad.
2. b) Halla las coordenadas de todos los posibles puntos de fijación $C$ situados en la recta $r$ que satisfacen el volumen de drenaje requerido de $3\text{ m}^3$.
3. c) Si la normativa técnica impone que la cota de anclaje de dicho tirante debe estar obligatoriamente a una altura $z \ge 3\text{ m}$ sobre el plano base para evitar inundaciones, razona cuál de las soluciones encontradas es la única viable.

Reto del tema. Optimización solar de tu tejado.

Imagina que vas a instalar un panel solar en tu edificio. Diseña una propuesta técnica siguiendo estas fases:

1. Obtención de datos: Entra en Google Earth o en la sede electrónica del Catastro y obtén las coordenadas $(x, y, z)$ en metros de tres vértices de tu tejado ($A$, $B$ y $C$). Define los vectores directores $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AC}$.

2. Vector normal y base: En GeoGebra 3D, calcula el vector normal $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ para determinar la orientación y el área de la superficie. Consulta en la web de AEMET la inclinación solar en tu localidad para definir un vector unitario de rayos solares $\vec{s}$, y justifica analíticamente si $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}\}$ forman una base de $\mathbb{R}^3$.

3. Análisis métrico: Calcula el ángulo de incidencia solar mediante el producto escalar entre $\vec{n}$ y $\vec{s}$. Emplea el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}]$ para calcular el volumen del prisma de radiación interceptado.

4. Informe final: Elabora un informe breve con las capturas del modelo en GeoGebra, los cálculos algebraicos desarrollados paso a paso y tu valoración sobre si la orientación actual aprovecha bien la luz.

Se valorará:

• Rigor en la obtención de datos reales y su modelización vectorial tridimensional.

• Aplicación correcta y justificada de independencia lineal, bases, producto escalar, vectorial y mixto.

• Interpretación geométrica coherente de los resultados en el contexto planteado.