Ejercicios: Dependencia e independencia. Bases

Dos drones de vigilancia se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por los vectores $\vec{u} = (2, -4, 6)$ y $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si los drones se mueven en direcciones paralelas analizando la dependencia lineal de sus vectores directores.

En un motor gráfico de un videojuego, la posición de un objeto se define mediante la combinación lineal de dos vectores básicos: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ y $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcula las coordenadas del vector resultante $\vec{w}$ si se aplica la siguiente operación:

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ y $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demuestra sin realizar cálculos complejos (observando la relación entre sus componentes) que el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente dependiente.

Un sistema de sensores láser requiere que dos haces de luz sean paralelos. El primer haz sigue la dirección del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ y el segundo la del vector $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Halla el valor del parámetro $k$ para que los vectores sean linealmente dependientes y, por tanto, los haces sean paralelos.

Comprueba si los vectores $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ y $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ pueden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Para ello, justifica si son linealmente independientes utilizando el determinante de la matriz que forman.

Se consideran los puntos del espacio $A(1, 2, -1)$, $B(2, 3, 1)$ y $C(3, 4, 3)$.

1. a) Halla los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
2. b) A partir de sus componentes, decide si los puntos $A, B$ y $C$ están alineados.

Si un vector $\vec{v}$ tiene de coordenadas $(3, -2, 5)$ respecto a la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, exprésalo como una combinación lineal de dichos vectores unitarios.

Razona la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: "En el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, cualquier conjunto formado por cuatro vectores no nulos es siempre linealmente dependiente". Pon un ejemplo sencillo para apoyar tu respuesta.

Para comprobar si los vectores $\vec{u} = (1, 2, 0)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ y $\vec{w} = (3, 3, 0)$ forman una base de $\mathbb{R}^3$, Marcos escribe el siguiente razonamiento en su examen:

«Compruebo si son proporcionales dos a dos:

• $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales porque $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ y $\vec{w}$ no son proporcionales porque $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ y $\vec{w}$ no son proporcionales porque $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Como ningún par de vectores tiene la misma dirección, los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, constituyen una base de $\mathbb{R}^3$».

1. a) Localiza y explica detalladamente el error conceptual que comete Marcos.
2. b) Explica, sin realizar cálculos algebraicos y fijándote únicamente en la tercera componente de los vectores, por qué era evidente desde el principio que no podían formar una base del espacio tridimensional.
3. c) Aplica el cálculo del determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mediante la regla de Sarrus para dar la justificación analítica formal que desmiente la conclusión de Marcos.

Diseña tres vectores del espacio tridimensional, $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$, que cumplan a la vez las tres condiciones siguientes:

1. Ninguno de los tres vectores tiene componentes nulas (ninguna componente puede ser $0$).

2. Ningún par de vectores es proporcional entre sí (es decir, no hay dos vectores con la misma dirección).

3. El conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente dependiente.

Para lograrlo:

1. a) Explica la estrategia que has seguido para construirlos a partir de la definición de combinación lineal.
2. b) Escribe las componentes numéricas de tus tres vectores.
3. c) Comprueba formalmente que son dependientes calculando el determinante formado por sus componentes y verificando que su valor es exactamente $0$.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, -1)$ y $\vec{v} = (0, 1, 2)$, determina el valor del parámetro real $k$ para que el vector $\vec{w} = (2, k, 0)$ sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. ¿Qué relación geométrica guardan los tres vectores para ese valor de $k$?

Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ según los valores del parámetro $m \in \mathbb{R}$, siendo $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ y $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Demuestra razonadamente que si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes, entonces los vectores $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ también son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por vectores. Si los vectores de dirección de tres drones son $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ y $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calcula los valores de $a$ para los cuales las trayectorias de los tres drones estarían contenidas en planos paralelos entre sí (es decir, los vectores son coplanarios).

Considera los puntos del espacio $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, m)$.

1. a) Halla el vector $\vec{AB}$ y el vector $\vec{AC}$.
2. b) Determina el valor de $m$ para que el vector $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sea linealmente dependiente de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
3. c) Para el valor de $m$ hallado, escribe $\vec{v}$ como combinación lineal de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Dados los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, se definen los vectores:

Justifica si el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$. Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(1, 2, 3)$ en la base canónica, ¿cuáles serán sus coordenadas en la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

Determina si los puntos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 1, 1)$, $R(0, 5, -2)$ y $S(k, 0, 4)$ son coplanarios en función del valor de $k$. Para realizar este análisis, utiliza la dependencia lineal de los vectores con origen en $P$ y extremos en los demás puntos.

Se consideran los vectores $\vec{u} = (1, -1, 2)$, $\vec{v} = (2, 0, 3)$ y $\vec{w} = (0, 2, -1)$. Se desea averiguar si $\vec{w}$ es coplanario con $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Dos compañeros de clase plantean resolverlo por vías diferentes:

• Método de Mateo: Calcular directamente el determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mediante la regla de Sarrus.

• Método de Elena: Plantear la igualdad vectorial $\vec{w} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v}$ como un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ($a$ y $b$), resolverlo con dos de ellas y comprobar si se satisface la tercera.

1. a) Aplica el método de Mateo para determinar si $\vec{w}$ es coplanario con $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
2. b) Aplica el método de Elena para hallar, si existen, los escalares $a$ y $b$ que expresan a $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
3. c) Compara ambos procedimientos: si en una prueba solo te preguntan «¿son coplanarios estos tres vectores?», ¿cuál elegirías y por qué? ¿En qué cambiaría tu elección si te pidiesen además «expresa el vector $\vec{w}$ en función de $\vec{u}$ y $\vec{v}$»?

Una unidad de drones de reconocimiento del dispositivo BRIF (Brigadas de Refuerzo en Incendios Forestales) en la Sierra de Gredos utiliza tres vectores de desplazamiento elemental calibrados en sus motores (medidos en kilómetros sobre los ejes Este, Norte y Altitud):

$\vec{d}_1 = (2, 1, 0,5)$, $\vec{d}_2 = (1, 3, 1)$ y $\vec{d}_3 = (4, -1, k)$, donde $k$ es un parámetro de respuesta vertical ajustable por software.

1. a) Para que el dron pueda maniobrar hacia cualquier punto del espacio tridimensional, sus tres movimientos elementales deben formar una base de $\mathbb{R}^3$. Determina el valor crítico de $k$ para el cual los movimientos quedarían confinados en un único plano (es decir, serían linealmente dependientes), impidiendo el control total del dron.
2. b) Si los técnicos configuran $k = 1\text{ km}$, justifica razonadamente por qué los tres vectores forman una base $B = \{\vec{d}_1, \vec{d}_2, \vec{d}_3\}$.
3. c) Para alcanzar un foco de incendio situado en la posición relativa $\vec{p} = (7, 3, 2,5)\text{ km}$, calcula cuántas unidades de cada movimiento elemental $(a, b, c)$ debe programar el piloto; es decir, calcula las coordenadas de $\vec{p}$ en la base $B$.

Un equipo de ingenieros está diseñando el sistema de navegación de un satélite. Para que el satélite pueda orientarse en cualquier dirección del espacio tridimensional, necesita tres propulsores cuyas direcciones de empuje sean linealmente independientes. Se han instalado tres propulsores definidos por los vectores $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina razonadamente para qué valores del parámetro real $m$ el sistema de propulsión no sería capaz de maniobrar en todo el espacio (es decir, cuándo los vectores son linealmente dependientes). En el caso de que $m=1$, explica geométricamente qué sucede con las direcciones de empuje y si forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Dados los vectores del espacio $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ y $\vec{c} = (k, 1, -3)$, se pide:

1. a) Hallar el valor de $k$ para que el vector $\vec{v} = (3, 4, -7)$ se pueda expresar como combinación lineal de $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$ de forma que los tres vectores sean linealmente dependientes.

1. b) Si $k = 2$, ¿forman una base de $\mathbb{R}^3$? En caso afirmativo, calcula las coordenadas del vector $\vec{w} = (1, 1, 1)$ respecto a dicha base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

En el desarrollo de un videojuego de mundo abierto, la posición de un personaje se define mediante una base no estándar $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. Sabemos que estos vectores se relacionan con la base canónica $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ de la siguiente forma:

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Demuestra que $B'$ es una base de $\mathbb{R}^3$.

1. b) Si un objeto del juego tiene coordenadas $(2, -4, 6)$ en la base canónica, determina sus coordenadas en la base $B'$.

Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores según los valores de los parámetros $a$ y $b$:

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Determina para qué relación entre $a$ y $b$ los vectores son coplanarios. ¿Existe algún valor de $a$ para el cual los vectores sean linealmente dependientes independientemente del valor de $b$? Justifica tu respuesta.

Sea $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ una base de $\mathbb{R}^3$. Se consideran los vectores:

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) ¿Para qué valores de $\lambda$ el conjunto $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ no constituye una base de $\mathbb{R}^3$?

1. b) Para $\lambda = 0$, expresa el vector $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{x}$, $\vec{y}$ y $\vec{u}$.

Un arquitecto diseña una estructura tensada mediante tres cables que convergen en un punto de anclaje $P$. Las direcciones de los cables vienen dadas por los vectores $\vec{v_1} = (1, 1, a)$, $\vec{v_2} = (a, 0, 1)$ y $\vec{v_3} = (2, 1, 1)$.

1. a) Si el anclaje debe ser estable, los cables no pueden estar todos en el mismo plano. Halla los valores de $a$ que harían que la estructura colapsara por ser los vectores linealmente dependientes.

1. b) Para $a = 2$, se aplica una fuerza total de $\vec{F} = (5, 2, 4)$ en el punto $P$. Determina si esta fuerza se puede descomponer de forma única como suma de tensiones en las direcciones de los cables y, en caso afirmativo, halla dicha descomposición.

Considera los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 1, 0)$.

1. a) Halla un punto $D$ de modo que el vector $\vec{AD}$ sea linealmente dependiente del vector $\vec{BC}$ y tenga módulo 6. ¿Es la solución única?

1. b) Determina si el punto $E(5, -1, 4)$ pertenece al plano definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Justifica tu respuesta utilizando el concepto de dependencia lineal y base.

Demuestra que si tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ son linealmente independientes, entonces los vectores $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ y $\vec{w} - \vec{u}$ son siempre linealmente dependientes.

Da una interpretación geométrica de este resultado considerando los vectores como los lados de una figura cerrada en el espacio.

Considera la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ de $\mathbb{R}^3$ formada por los vectores $\vec{u} = (10, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 10, 0)$ y $\vec{w} = (1, 1, 10)$, y el vector objetivo $\vec{x} = (12, 21, 30)$. Se buscan las coordenadas $(a, b, c)_B$ tales que $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$.

1. a) Estima: Antes de resolver ningún sistema numérico, analiza la estructura de los vectores de la base (observa la posición de los ceros y los valores dominantes $10$):

• ¿Qué vector de la base es el único capaz de aportar cota a la tercera componente ($z$)? Estima el valor exacto que debe tener $c$.

• Sabiendo que ese valor de $c$ ya aporta una cantidad fija a la segunda componente ($y$), ¿en torno a qué valor debe situarse la coordenada $b$? ¿Será mayor o menor que $2,1$?

• Razonando de forma análoga con la primera componente ($x$), estima si la coordenada $a$ resultará mayor o menor que $1$.

1. b) Calcula: Plantea el sistema lineal correspondiente a $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$ y calcula con exactitud los valores de $a$, $b$ y $c$.
2. c) Valora: Compara tus estimaciones cualitativas con los resultados exactos y explica por qué la disposición triangular de esta base provoca un «efecto cascada» que corrige sucesivamente cada coordenada de abajo hacia arriba.

Se considera el conjunto de vectores de $\mathbb{R}^3$ formado por $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$ y $\vec{w} = (0, 1, 1)$.

1. a) Demuestra que $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$ calculando el volumen del paralelepípedo que determinan a partir de su producto mixto o determinante.
2. b) Un estudiante afirma con rotundidad: «Dado que $B$ no es la base canónica, es imposible que un vector no nulo tenga exactamente las mismas componentes en la base canónica que coordenadas en la base $B$». Para comprobar si tiene razón, plantea la ecuación vectorial que traduce dicha condición:

Transforma esta igualdad en un sistema lineal homogéneo, resuélvelo razonadamente y concluye si la afirmación del estudiante es verdadera o falsa.

1. c) Interpreta geométricamente el conjunto de vectores que cumplen la condición anterior, indicando qué figura forman en el espacio y qué relación guardan con los vectores de la base $B$.