Ejercicios: Progresiones geométricas

Escribe los cinco primeros términos y halla la expresión del término general de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es $a_1 = 3$ y su razón es $r = 2$.

Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.

Determina si la siguiente sucesión es una progresión geométrica. En caso afirmativo, halla su razón y su término general: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$

Calcula la suma de los $8$ primeros términos de una progresión geométrica en la que el primer término es $a_1 = 4$ y la razón es $r = 3$.

Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 10$ y cuya razón es $r = \frac{1}{5}$.

En una progresión geométrica de términos positivos, se sabe que $a_2 = 6$ y $a_4 = 54$. Calcula el valor de la razón $r$ y del primer término $a_1$.

Calcula el producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica que tiene como primer término $a_1 = 2$ y como razón $r = 2$.

Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz.

Lucía intenta calcular el quinto término ($a_5$) de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 8$ y cuya razón es $r = 0,5$. En su cuaderno escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Sin hacer cálculos analíticos, explica un motivo conceptual por el cual el resultado $256$ es incoherente con los datos de partida ($a_1 = 8$ y $r = 0,5$).
2. b) Localiza el error en la aplicación de la jerarquía de operaciones o de la fórmula general $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ cometido por Lucía.
3. c) Corrige el procedimiento y determina el valor exacto de $a_5$ en forma fraccionaria y decimal.

Considera la progresión geométrica de primer término $a_1 = 18$ y razón $r = \frac{1}{3}$.

1. a) Escribe sus cuatro primeros términos. A partir de ellos, realiza una estimación razonada: ¿entre qué dos números enteros consecutivos crees que se encontrará la suma de sus infinitos términos ($S_\infty$)? Explica tu intuición antes de emplear cualquier fórmula.
2. b) Aplica la fórmula teórica de la suma infinita $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$ para calcular su valor exacto y comprueba si tu estimación inicial era acertada.
3. c) Calcula la suma finita de los cuatro primeros términos ($S_4$) y determina qué porcentaje de la suma infinita total ($S_\infty$) se ha alcanzado ya al sumar únicamente esos cuatro primeros términos.

Un equipo industrial cuesta $24\,000$ dólares y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribe el término general de la sucesión que modela su valor y calcula cuánto valdrá al cabo de $6$ años.

En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá transcurridas $24$ horas? Expresa el resultado utilizando potencias.

Halla el valor del número real $x$ para que los términos $x-1$, $2x$, y $5x+4$ formen, en ese orden, una progresión geométrica.

Se deja caer una pelota elástica desde una altura inicial de $5$ metros. En cada bote, la pelota rebota alcanzando el $80\%$ de la altura del bote anterior. Plantea la sucesión de las alturas alcanzadas y calcula la distancia total recorrida por la pelota (sumando las bajadas y las subidas) hasta que se detiene teóricamente.

Se depositan $5000$ dólares en un banco a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribe la expresión general del capital acumulado al final del año $n$. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de $8$ años si no se retira nada?

En una progresión geométrica se conoce que $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$. Calcula la razón de la progresión y la suma de los seis primeros términos.

La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es $18$ y su primer término es $6$. Determina la razón de la progresión y el valor del cuarto término.

Se tiene un cuadrado de lado $10$ cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo cuadrado se forma un tercer cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados formados mediante este proceso.

De acuerdo con los informes del INE sobre el reto demográfico en la España interior, un municipio de la provincia de Teruel tenía censados $3\,125$ habitantes a 1 de enero de 2020. Debido al envejecimiento de la población y a la falta de relevo generacional, el censo disminuye anualmente un $4\%$ de manera constante respecto al año inmediatamente anterior.

1. a) Modela la población municipal a fecha de 1 de enero de cada año sucesivo mediante una progresión geométrica. Justifica el valor del primer término $a_1$ (año 2020) y deduce la razón $r$.
2. b) Escribe el término general $a_n$ de la sucesión y calcula la población proyectada para el 1 de enero de 2026.
3. c) La legislación considera a una localidad en «riesgo extremo de despoblación» si su padrón desciende por debajo de los $2\,000$ habitantes. Plantea una inecuación y resuélvela aplicando logaritmos para determinar a partir de qué año entrará este municipio en dicho estado si se mantiene la tendencia.

Para calibrar un sensor físico se necesita reconstruir una progresión geométrica de términos reales estrictamente positivos. De ella solo se conocen dos registros globales: la suma de sus dos primeros términos es $a_1 + a_2 = 24$, y la suma de sus infinitos términos converge a $S_\infty = 32$.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones en función del primer término $a_1$ y de la razón $r$ utilizando las expresiones formales de $a_2$ y de $S_\infty$.
2. b) Resuelve el sistema y demuestra que surgen dos posibles valores algebraicos para la razón $r$. Justifica detalladamente por qué uno de ellos debe descartarse en virtud de las condiciones del enunciado.
3. c) A partir de la solución válida, formula el término general $a_n$ y calcula el valor exacto de la suma de los seis primeros términos ($S_6$).

La curva conocida como "Copo de nieve de Koch" se construye a partir de un triángulo equilátero de lado $L$. En cada paso, el tercio central de cada segmento se sustituye por dos segmentos de igual longitud que forman una punta hacia el exterior. Sea $P_n$ el perímetro de la figura en el paso $n$ (donde $P_0 = 3L$). Demuestra que $P_n$ es una progresión geométrica, halla su término general y calcula el límite del perímetro cuando $n \to \infty$.

En una progresión geométrica de términos positivos, la suma de los dos primeros términos es $15$ y la suma del tercer y cuarto término es $60$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente para determinar el primer término y la razón de la progresión.

Según la leyenda del inventor del ajedrez, el rey le ofreció un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente duplicando la cantidad en cada casilla hasta llegar a la número $64$. Expresa la cantidad total de granos de trigo en el tablero usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Si un gramo de trigo contiene unos $20$ granos y una tonelada son $10^6$ gramos, estima el orden de magnitud de las toneladas totales de trigo.

Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ m/s y la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $100$ metros, la tortuga ha avanzado $10$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $10$ metros, la tortuga avanza $1$ metro, y así sucesivamente. Plantea la distancia total que recorre Aquiles como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y demuestra que el resultado es finito.

Demuestra que el producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica de términos positivos viene dado por la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utiliza este resultado para calcular el producto de los primeros $10$ términos de una progresión geométrica en la que $a_3 = 4$ y $a_8 = 128$.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero están en progresión geométrica de razón $2$. Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos. ¿Sería posible construir un pentágono convexo cuyos ángulos interiores formen una progresión geométrica de razón $2$? Justifica tu respuesta.

En un cuadrado de lado $L = 20$ cm se inscribe un círculo. Dentro de este círculo se inscribe un nuevo cuadrado, en el cual se inscribe otro círculo, y el proceso se repite indefinidamente. Halla la expresión del área del enésimo círculo y calcula la suma de las áreas de los infinitos círculos formados.

Sea $a_n$ una progresión geométrica de términos estrictamente positivos con primer término $a_1$ y razón $r$. Demuestra que la sucesión definida por $b_n = \log(a_n)$ es una progresión aritmética. Si $a_1 = 10$ y $r = 100$, calcula la suma de los $20$ primeros términos de la progresión $b_n$.

Para hallar la fracción generatriz irreducible del número decimal periódico mixto $1{,}2\widehat{45} = 1{,}2454545\dots$, dos estudiantes de 1.º de Bachillerato defienden métodos distintos:

• Método 1 (Cancelación por potencias de 10): Multiplicar el número $x = 1{,}2\widehat{45}$ por $1000$ y por $10$, restar miembro a miembro ambas igualdades ($1000x - 10x$) para eliminar la cola infinita periódica y despejar $x$.

• Método 2 (Suma de una serie geométrica infinita): Descomponer el número en su parte no periódica más una suma infinita:

Identificar la progresión geométrica que arranca en el sumando $\frac{45}{10^3}$, hallar su suma $S_\infty$ mediante su fórmula y sumarla a la fracción decimal inicial.

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos hasta alcanzar en los dos casos la misma fracción irreducible.
2. b) Compara con espíritu crítico los dos procedimientos: ¿cuál de ellos resulta más ágil para el cálculo rutinario y por qué el Método 2 aporta el verdadero fundamento matemático riguroso (teoría de límites y series convergentes) que valida la resta de infinitos decimales que el Método 1 aplica sin justificar?

En un tratamiento hospitalario se suministra a un paciente una dosis fija de $120\text{ mg}$ de un fármaco cada $12$ horas. El organismo metaboliza la sustancia de forma que, al cumplirse las $12$ horas de una toma (justo antes de la siguiente), solo permanece en el torrente sanguíneo el $25\%$ de la cantidad de fármaco que había inmediatamente después de dicha toma.

1. a) Modela la cantidad de antibiótico presente en sangre inmediatamente después de la 1.ª, 2.ª y 3.ª toma. Deduce razonadamente la expresión de la cantidad acumulada $C_n$ justo después de la $n$-ésima dosis como la suma de los términos de una progresión geométrica.
2. b) El umbral de toxicidad del medicamento está fijado en $170\text{ mg}$. En tratamientos de larga estancia (más de tres meses), el personal sanitario teme que el fármaco se acumule de forma descontrolada hasta superar ese umbral. Demuestra matemáticamente, mediante el límite de la suma acumulada cuando $n \to \infty$, por qué ese riesgo no existe y calcula la concentración máxima teórica que jamás superará el paciente.
3. c) Si tras alcanzar prácticamente la estabilidad el paciente olvida accidentalmente una dosis y recibe la siguiente $24$ horas después de la anterior, calcula la cantidad de fármaco que quedará en su sangre justo antes de volver a medicarse y tras recibir la nueva toma.