Ejercicios: Sucesiones exponenciales. El número e.

Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial:

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Determina el valor al que tiende la sucesión $b_n$ cuando $n \to \infty$:

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Halla el límite de la sucesión formada por el cociente de polinomios elevado a $n$:

$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$

Indica cuál es el límite de la siguiente sucesión geométrica:

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Calcula el límite de la sucesión con término general:

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Determina el límite de la siguiente sucesión, sabiendo que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$:

$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$

Halla el límite de la sucesión exponencial cuyo exponente es $n+5$:

$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$

Calcula el límite de la sucesión:

$h_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$

Carlos resuelve en la pizarra el siguiente límite de una sucesión: $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+5}{n+2}\right)^{3n}$. Para justificar su resultado, escribe en su cuaderno: «Como $\lim_{n\to\infty} \frac{n+5}{n+2} = 1$ y el número $1$ elevado a cualquier exponente siempre da $1$, el límite es simplemente $1^{3n} = 1$».\n\na) Identifica el error conceptual que comete Carlos al tratar la expresión como si no fuera una indeterminación. Explica por qué en el paso al límite la forma $1^\infty$ no equivale automáticamente al número $1$.\nb) Corrige el ejercicio paso a paso utilizando la fórmula $\lim a_n^{b_n} = e^{\lim b_n(a_n-1)}$, determinando el valor real del límite como potencia del número $e$.

Considera la sucesión $a_n = \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n$.

1. a) Estima: calcula de forma exacta los dos primeros términos, $a_1$ y $a_2$, y exprésalos en forma decimal. Calcula también, con calculadora, $a_{10}$ y $a_{100}$. Observa si estos valores son menores o mayores que $1$ y cómo evolucionan. A partir de lo que observes, razona intuitivamente: al elevar una base menor que $1$ a un exponente que crece hacia $+\infty$, la base también cambia y se acerca a $1$. ¿Qué crees que ocurre con el límite? Da una estimación de su valor y justifícala sin aplicar todavía fórmulas de límites.

1. b) Comprueba: calcula el límite $\lim_{n\to\infty} a_n$ aplicando la fórmula del número $e$, es decir, $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}=e$ cuando $k_n\to\infty$ (o la versión equivalente de la indeterminación $1^\infty$). Expresa el resultado de la forma más simplificada posible y compáralo con tu estimación del apartado a).

Calcula el límite de la siguiente sucesión, resolviendo la indeterminación correspondiente:

$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$

Se depositan $5000$ dólares en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final después de $n$ años con capitalización continua viene dada por la sucesión $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcula el capital acumulado después de $10$ años y compáralo con el capital obtenido si la capitalización fuera anual, cuya expresión es $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.

Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$:

$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$

La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, donde $n$ es el número de años transcurridos y $M_n$ se mide en gramos. ¿Cuántos gramos quedarán en la muestra tras $20$ años? ¿A qué valor tiende la masa a largo plazo (cuando $n \to \infty$)?

Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base:

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Un vehículo pierde un $15\%$ de su valor cada año debido a la depreciación. Si su precio inicial en la agencia es de $24000$ dólares, el valor después de $n$ años viene dado por la sucesión $V_n = 24000 \cdot (0,85)^n$. ¿Cuál será su valor después de $5$ años? ¿Qué ocurre con su valor a medida que el número de años tiende a infinito?

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción:

$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$

En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, siendo $n$ los minutos transcurridos desde el inicio del enfriamiento. Calcula la diferencia de temperatura a los $30$ minutos y determina el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$.

Para calcular el límite $L = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+4}{n-1}\right)^{2n+1}$, dos compañeras de clase proponen estrategias distintas:\n- Lucía prefiere el Método A (ajuste a la definición clásica): manipular algebraicamente la base sumando y restando términos para escribirla en la forma $\left(1 + \frac{1}{f(n)}\right)$, y luego compensar el exponente multiplicando y dividiendo por $f(n)$.\n- Marta prefiere el Método B (fórmula general de la indeterminación $1^\infty$): comprobar que $\lim a_n = 1$ y $\lim b_n = \infty$, y calcular directamente $e^{\lim b_n(a_n-1)}$.\n\na) Desarrolla por completo la resolución del límite utilizando ambos métodos y comprueba que ambos conducen al mismo resultado exacto.\nb) Compara ambos caminos: ¿cuál exige más manipulaciones algebraicas con fracciones? ¿En cuál consideras que hay mayor riesgo de cometer fallos con los signos o con los exponentes? Justifica cuál de los dos métodos elegirías tú en un examen y por qué.

Una persona en Cuba decide depositar $12.000\text{ \$}$ de sus ahorros en un depósito bancario a plazo fijo a $1$ año. La entidad bancaria ofrece un tipo de interés nominal anual del $4\%$ ($r = 0{,}04$) y permite elegir la frecuencia con la que se liquidan y reinvierten los intereses. Si los intereses se liquidan $n$ veces al año, el capital final acumulado viene dado por la sucesión $C_n = 12.000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{n}\right)^n$.\n\na) Modela el capital final si la entidad liquidara los intereses de manera instantánea y continua ($n \to \infty$). Expresa dicho valor exacto en función del número $e$ y calcula su importe redondeado al centavos de dólares (sabiendo que $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408108$).\nb) Calcula el beneficio neto en dólares que genera el depósito con una liquidación anual única ($n = 1$) y compáralo con el beneficio obtenido mediante capitalización continua.\nc) Un folleto comercial afirma: «Si dividimos el año en periodos cada vez más cortos (segundos, milisegundos...), tus intereses generarán nuevos intereses de forma continua, haciendo que tus beneficios crezcan sin techo». Utilizando el concepto de límite y las propiedades del número $e$, rebate formalmente este eslogan publicitario y determina cuál es la ganancia adicional máxima que la capitalización continua ofrece respecto a la anual.

Halla el valor del parámetro real $a$ para que se cumpla la siguiente igualdad con el número $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$

Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

Un paciente recibe una dosis de $50$ mg de un medicamento cada $24$ horas. Sabiendo que el cuerpo elimina el $40\%$ del medicamento presente en ese intervalo de tiempo, la cantidad acumulada en el cuerpo justo después de la dosis $n$-ésima sigue la sucesión geométrica $C_n = 50 + 50 \cdot 0,6 + 50 \cdot 0,6^2 + \dots + 50 \cdot 0,6^{n-1}$. Calcula la cantidad acumulada a largo plazo (el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$).

Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente sucesión tenga como límite $e^{-4}$, sabiendo que $a$ es un número real positivo:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$

Halla el límite de la sucesión que combina raíces cuadradas en su base y un exponente lineal:

$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$

La concentración de un contaminante en un lago se reduce de forma natural mediante un proceso que sigue la sucesión $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, donde $n$ representa la cantidad de etapas de filtrado aplicadas. Si se aplican infinitas etapas de filtrado, demuestra matemáticamente a qué fracción exacta de la concentración inicial $C_0$ se reducirá el contaminante.

Calcula el límite de la sucesión resolviendo la indeterminación generada por el cociente algebraico en el exponente:

$d_n = \left( \frac{n^2+5n-2}{n^2+3n+1} \right)^{\frac{n^3}{n^2+1}}$

Se invierten $10000$ dólares a una tasa de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcula el límite de esta sucesión cuando $n \to \infty$ para hallar el capital final bajo capitalización continua. Compara este resultado con el capital obtenido si se capitaliza trimestralmente ($n=4$).

Un profesor propone diseñar un ejercicio de examen y busca construir una sucesión de la forma:\n$$a_n = \left(\frac{A n^2 + B n - 1}{3n^2 + 5}\right)^{C n}$$\ndonde $A$, $B$ y $C$ son números enteros constantes ($A > 0$, $B \neq 0$, $C \neq 0$).\n\na) Determina razonadamente qué valor numérico debe tener de forma obligatoria el coeficiente $A$ para que la sucesión dé lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Explica qué ocurriría con el límite si $A$ fuera mayor o menor que ese valor.\nb) Con el valor de $A$ fijado en el apartado anterior, deduce analíticamente qué relación matemática deben cumplir los parámetros $B$ y $C$ para que el límite de la sucesión sea exactamente igual a $\frac{1}{e^2}$.\nc) A partir de la relación hallada, proporciona dos ternas distintas de números enteros $(A, B, C)$ que sirvan para este ejercicio. Selecciona una de ellas y demuestra paso a paso que su límite es efectivamente $e^{-2}$.

Se considera la siguiente familia de sucesiones exponenciales dependientes de un parámetro natural $k \in \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$:\n$$s_n = \left(\frac{n^k + 4n}{n^k + 1}\right)^{n^3}$$\n\na) Estima y analiza los órdenes de crecimiento: si $k = 1$, ¿aparece la indeterminación $1^\infty$? Si $k \ge 2$, la base tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$. Analiza los grados del numerador y denominador al hacer la resta $(a_n - 1)$, y deduce para qué valor crítico de $k$ se equilibrará exactamente la velocidad a la que la base se acerca a $1$ con la velocidad a la que el exponente $n^3$ crece hacia $+\infty$, de modo que el límite sea una potencia finita de $e$ distinta de $1$ y de $+\infty$.\nb) Comprueba formalmente tu deducción calculando el límite $\lim_{n\to\infty} s_n$ en los siguientes tres casos: para $k = 2$, para el valor crítico de $k$ que predijiste, y para $k = 5$.\nc) A la vista de los resultados, enuncia una conclusión general razonada sobre el valor de $\lim_{n\to\infty} s_n$ en función de si $k$ es menor, igual o mayor que dicho valor crítico.

Reto del tema. ¿Cómo evoluciona un capital a interés compuesto y cómo podemos representarlo dinámicamente? Diseña un modelo financiero y geométrico con datos reales.

1. Datos reales: Entra al sitio web del Banco Central de Cuba y consulta el dato actual de una tasa de interés de referencia ($r$, p. ej., $3,2\,\% \rightarrow r = 0,032$). Fija un capital inicial de $1000$ dólares.

2. Modelización y el número $e$: Formula el término general del capital acumulado según los periodos de capitalización: $C_n = 1000\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n$. Comprueba en una hoja de cálculo si es una sucesión creciente o decreciente, justifica si está acotada y calcula su límite cuando $n \to \infty$ utilizando el número $e$. Contrasta este modelo exponencial con una progresión aritmética de ahorro mensual constante.

3. Dinámica en el plano complejo: Modela la reinversión trimestral en GeoGebra asignando a cada etapa un número complejo en forma polar: $z_k = (C_k)_{k \cdot \frac{\pi}{4}}$. Multiplica sucesivamente por $w = \left(1 + \frac{r}{4}\right)_{\pi/4}$ para generar una progresión geométrica de complejos. Justifica mediante operaciones en forma polar si la espiral resultante es creciente o decreciente.

4. Informe final: Redacta una propuesta razonada comparando ambos modelos con su tabla y gráfica.

Se valorará:

• Rigor en la obtención de datos reales y formulación del término general.

• Justificación analítica de la monotonía, acotación y cálculo del límite con el número $e$.

• Corrección en las operaciones con números complejos en forma polar y su representación en GeoGebra.