Ejercicios: Sucesión creciente

Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión estrictamente creciente.

Dada la sucesión de término general $b_n = \frac{n}{2} + 4$, demuestra que es creciente verificando que $b_{n+1} \geq b_n$ para cualquier número natural $n$.

Un estudiante decide ahorrar dinero para un viaje. El primer mes guarda $10$ dólares, y cada mes sucesivo guarda $5$ dólares más que el mes anterior. Escribe el término general del dinero guardado en el mes $n$ y justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente creciente.

Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del resultado.

Comprueba que la sucesión definida por recurrencia como $a_1 = 3$ y $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.

Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente creciente.

Un árbol recién plantado mide $150$ cm. Cada año, su altura aumenta en un $5$ % respecto a la altura del año anterior. Expresa su altura $h_n$ al cabo de $n$ años y justifica mediante el criterio del cociente que la sucesión de sus alturas es creciente.

Identifica cuál de las siguientes sucesiones es estrictamente creciente calculando sus tres primeros términos y analizando su evolución: $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.

Lucía quiere demostrar que la sucesión $a_n = 6n - n^2$ es estrictamente creciente. Para ello, calcula los dos primeros términos: $a_1 = 6\cdot 1 - 1^2 = 5$ y $a_2 = 6\cdot 2 - 2^2 = 8$. Como $a_2 > a_1$, afirma con rotundidad que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Explica con precisión el error conceptual de razonamiento que comete Lucía al deducir el comportamiento global a partir de solo dos términos particulares.
2. b) Encuentra un contraejemplo calculando los términos $a_3$, $a_4$ y $a_5$ para demostrar que su afirmación general es falsa.
3. c) Escribe la definición algebraica formal que Lucía debería haber verificado para todo $n \geq 1$ y calcula la diferencia $a_{n+1} - a_n$ en función de $n$ para determinar a partir de qué valor de $n$ la sucesión deja de crecer.

Considera la sucesión racional $a_n = \dfrac{3n - 2}{n + 1}$ para $n \geq 1$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico complejo, estima de forma intuitiva si la sucesión será creciente o decreciente calculando mentalmente los valores aproximados de $a_1$, $a_2$ y un término lejano como $a_{100}$. ¿Hacia qué número parece acercarse la sucesión conforme $n$ se hace muy grande?
2. b) Demuestra formalmente que la sucesión es estrictamente creciente desarrollando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, reduciendo a común denominador y justificando el signo tanto del numerador como del denominador resultantes para cualquier $n \geq 1$.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial era acertada y razona si la distancia entre dos términos consecutivos, $a_{n+1} - a_n$, aumenta o disminuye a medida que $n$ crece.

Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación $a_{n+1} - a_n > 0$ y justifica el signo del numerador y del denominador resultantes.

En un experimento de cinemática, la velocidad de un móvil en el instante $n$ (en segundos) viene dada por la sucesión $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Demuestra analíticamente que el móvil está acelerando continuamente (la sucesión de velocidades es estrictamente creciente) y observa el gráfico para determinar si superará en algún momento los $10$ m/s.

Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es estrictamente creciente. Razona tu respuesta a partir de la diferencia $a_{n+1} - a_n$.

La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días transcurridos. Utiliza el criterio del cociente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ para demostrar rigurosamente que la población está en constante crecimiento.

Demuestra que la sucesión $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. ¿Existe algún valor de $n$ para el cual se cumpla que $b_n \geq 1$? Justifica tu respuesta.

Una empresa de tecnología prevé que sus beneficios mensuales (en miles de dólares) sigan la sucesión $B_n = 50 - \frac{100}{2^n}$. Demuestra matemáticamente que los beneficios aumentan de un mes al siguiente.

Considera la sucesión con radicales $c_n = \sqrt{n+5}$. Demuestra que es estrictamente creciente. Para evitar trabajar directamente con desigualdades de raíces, multiplica y divide la expresión $c_{n+1} - c_n$ por su conjugado.

Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente positivos.

Para demostrar que la sucesión $a_n = \dfrac{2^n}{n + 1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$, se plantean dos caminos algebraicos distintos:

• Método 1: Estudiar el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$.

• Método 2: Aplicar el criterio del cociente analizando si $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.

1. a) Explica por qué es indispensable comprobar que todos los términos de la sucesión son estrictamente positivos antes de poder aplicar de forma válida el Método 2.
2. b) Desarrolla por completo la demostración siguiendo ambos métodos, simplificando al máximo las expresiones algebraicas obtenidas en cada uno de ellos.
3. c) Compara ambos procedimientos y justifica cuál de los dos resulta más ágil y operativo cuando intervienen expresiones exponenciales como $2^n$.

La Unión Eléctrica (UNE) monitorea la incorporación de potencia solar fotovoltaica a la red del Sistema Eléctrico Nacional. Un modelo de previsión para la potencia acumulada instalada en una provincia durante los próximos semestres ($n \geq 1$) viene dado, en gigavatios ($\text{GW}$), por el término general $P_n = \dfrac{12n + 5}{2n + 9}$.

1. a) Demuestra analíticamente que la potencia acumulada será estrictamente creciente a lo largo de todos los semestres probando que $P_{n+1} - P_n > 0$ para cualquier $n \geq 1$.
2. b) Un informe técnico afirma que, como la potencia siempre crece de un semestre al siguiente, con el paso de los años se superarán con total seguridad los $7\text{ GW}$. Utiliza tus conocimientos sobre el comportamiento de esta sucesión para confirmar o desmentir razonadamente dicha afirmación.
3. c) Calcula el incremento de potencia entre el primer y el segundo semestre ($P_2 - P_1$) y compáralo con el incremento entre el décimo y el undécimo ($P_{11} - P_{10}$). Interpreta qué significa en la práctica que la sucesión crezca pero la diferencia entre términos consecutivos sea cada vez menor.

Demuestra que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (asumiendo que $r > 0$ y $rn+s > 0$ para todo $n \geq 1$) es estrictamente creciente si y solo si se cumple la condición $ps - qr > 0$.

Analiza el crecimiento de la sucesión $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, donde $k$ es un número real. Demuestra que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ si y solo si el parámetro $k$ cumple la condición $k < 2$.

En un proceso de calentamiento industrial, la temperatura de una aleación metálica en el minuto $n$ sigue la ley $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ en grados Celsius. Demuestra matemáticamente que la temperatura es estrictamente creciente. A partir de la gráfica, deduce si la sucesión está acotada superiormente.

Dada la sucesión definida como la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica por qué esta sucesión es estrictamente creciente y deduce si la diferencia entre términos consecutivos aumenta o disminuye a medida que $n$ se hace muy grande.

Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ es estrictamente creciente. Pista: Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar la diferencia $a_{n+1} - a_n$.

Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico comienza a decrecer de forma estricta.

Una red de servidores registra el tiempo medio de latencia (en milisegundos) mediante la sucesión recurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabiendo que todos los términos generados son positivos y estrictamente menores que $3$, demuestra analizando el signo de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ que la sucesión es estrictamente creciente.

Sea la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabiendo que esta sucesión modeliza el crecimiento del capital bajo un interés compuesto del 100 % anual con $n$ capitalizaciones (cuyo límite es la capitalización continua), calcula sus tres primeros términos para comprobar empíricamente que crece. A continuación, plantea el inicio de su demostración general desarrollando el binomio de Newton para $a_n$ y $a_{n+1}$.

Diseña una sucesión racional de la forma $a_n = \dfrac{a\cdot n + b}{n + 3}$ (donde $a$ y $b$ son números enteros fijos) que satisfaga simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. Su primer término es negativo: $a_1 = -1$.

2. Es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.

3. Ningún término de la sucesión alcanza ni supera el valor $4$ (es decir, $a_n < 4$ para todo $n \geq 1$).

Para resolverlo:

1. a) Traduce cada una de las tres condiciones a relaciones o inecuaciones algebraicas que involucren a los parámetros $a$ y $b$.
2. b) Deduce el conjunto de valores enteros admisibles para $a$ y elige una pareja concreta $(a, b)$ que cumpla todas las condiciones impuestas, escribiendo el término general definitivo de tu sucesión.
3. c) Demuestra con rigor formal, a partir del estudio algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión que has construido es efectivamente estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.

Carlos intenta demostrar que la sucesión con radicales $a_n = \sqrt{n^2 + 5n} - n$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. Para estudiar la diferencia $a_{n+1} - a_n$, plantea:

$a_{n+1} - a_n = \left(\sqrt{(n+1)^2 + 5(n+1)} - (n+1)\right) - \left(\sqrt{n^2 + 5n} - n\right) = \sqrt{n^2 + 7n + 6} - \sqrt{n^2 + 5n} - 1$.

Al no saber cómo justificar el signo de esta expresión, decide elevar cada sumando al cuadrado por separado y escribe:

$(\sqrt{n^2 + 7n + 6})^2 - (\sqrt{n^2 + 5n})^2 - 1^2 = (n^2 + 7n + 6) - (n^2 + 5n) - 1 = 2n + 5$.

Como $2n + 5 > 0$ para todo $n \geq 1$, concluye que la sucesión es estrictamente creciente.

1. a) Explica detalladamente la falacia algebraica cometida por Carlos y muestra mediante un ejemplo numérico elemental por qué la operación que ha realizado no conserva el signo ni el orden de una resta de términos.
2. b) Corrige el ejercicio demostrando rigurosamente que la sucesión es estrictamente creciente. Para ello, reescribe el término general $a_n$ multiplicando y dividiendo por su expresión conjugada, y deduce a partir de dicha fracción que $a_{n+1} > a_n$ para todo $n \geq 1$.
3. c) Razona analíticamente si existe una cota superior para esta sucesión y halla el menor número entero $M$ que cumpla $a_n < M$ para todo $n \geq 1$.