Ejercicios: Progresiones aritméticas

Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$

En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = -5$ y la diferencia es $d = \frac{3}{2}$. Calcula el valor del término que ocupa la posición $40$.

Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.

Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.

El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.

Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.

Calcula la suma de los primeros $50$ múltiplos positivos de $6$ (es decir, la suma de la sucesión $6, 12, 18, \dots$).

Los tres primeros términos de una progresión aritmética son $x$, $x+4$ y $2x-1$. Calcula el valor numérico de $x$ y escribe cuáles son esos tres primeros términos.

Marcos debe resolver el siguiente ejercicio: «Interpola $3$ medios aritméticos entre los números $8$ y $28$». En su examen escribe lo siguiente:

«Como hay que intercalar $3$ números, la diferencia entre términos consecutivos se calcula dividiendo la distancia total entre $3$:

Por tanto, los términos pedidos son: $8 + 6,67 = 14,67$; $14,67 + 6,67 = 21,34$; y $21,34 + 6,67 = 28,01$».

1. a) Localiza el error conceptual cometido por Marcos y explica, utilizando la idea de «intervalos» o «saltos» entre términos, por qué su denominador es incorrecto.
2. b) Corrige el desarrollo calculando el valor exacto de la diferencia $d$ y escribe los $3$ medios aritméticos correctos.

Alejandro prepara una carrera popular de $10\text{ km}$ en su municipio. Su entrenadora le ha pautado un plan de $20$ días seguidos de carrera: el primer día recorrerá $2\text{ km}$ y, cada día sucesivo, incrementará la distancia en exactamente $300\text{ m}$ ($0,3\text{ km}$) respecto al día anterior.

1. a) Antes de aplicar ninguna fórmula, realiza una estimación razonada del volumen total: si corriera todos los días al ritmo del primer día acumularía $40\text{ km}$, y si corriera todos los días la distancia del último día acumularía bastante más. Estima mentalmente entre qué dos valores redondos (múltiplos de $10$) estará la suma total y responde si consideras verosímil que supere los $100\text{ km}$.
2. b) Modela la distancia diaria mediante una progresión aritmética, determina la distancia que correrá el día $20$ y calcula con la fórmula de la suma el total exacto de kilómetros recorridos durante los $20$ días.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial ha sido acertada y reflexiona sobre si el incremento diario propuesto es adecuado para evitar lesiones.

Una empresa constructora establece un plan de bonificaciones mensuales para motivar a sus empleados. El primer mes un empleado recibe $50$ dólares, el segundo mes $65$ dólares, el tercer mes $80$ dólares, y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero en total habrá recibido el empleado en concepto de bonificaciones al cabo de $2$ años completos de trabajo?

Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1,5$ km respecto al día anterior. ¿En qué día de su entrenamiento recorrerá exactamente $42$ km? ¿Cuántos kilómetros totales habrá recorrido sumando todos los días hasta ese día inclusive?

En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el primer término $a_1$. Posteriormente, halla la suma de los $20$ primeros términos de dicha progresión.

Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.

Un teatro tiene sus butacas distribuidas en forma de abanico. La primera fila tiene $20$ butacas, la segunda $24$, la tercera $28$, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si el teatro tiene un total de $15$ filas, ¿cuántas butacas hay en la última fila? ¿Cuál es el aforo total (número total de butacas) del teatro?

Un objeto en caída libre en un planeta ficticio recorre $4,9$ m en el primer segundo. En cada segundo posterior, la distancia recorrida durante ese segundo aumenta en $9,8$ m respecto a la distancia recorrida en el segundo anterior. ¿Qué distancia recorre el objeto exclusivamente durante el décimo segundo de su caída?

En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y determina el número de términos $n$ que se han sumado.

Para repoblar un bosque tras un incendio, una brigada forestal planta árboles de manera progresiva. La primera semana logran plantar $120$ árboles, pero debido a la fatiga acumulada y a la menor disponibilidad de terreno accesible, cada semana plantan $5$ árboles menos que la semana anterior. ¿Cuántas semanas transcurrirán hasta que la brigada haya plantado un total exacto de $1470$ árboles? (Nota: Analiza matemáticamente las posibles soluciones y justifica cuál tiene sentido en el contexto del problema).

Tras los incendios forestales sufridos en la comarca de la Sierra de la Culebra (Zamora), un colectivo ambiental organiza jornadas dominicales de reforestación con especies autóctonas. Durante la primera semana consiguen plantar $140$ plantones. En las semanas sucesivas, gracias a la llegada continuada de nuevos voluntarios, logran plantar cada semana $25$ plantones más que en la anterior.

1. a) Escribe la expresión del término general $a_n$ que determina cuántos plantones se plantan en la semana $n$.
2. b) El objetivo de la campaña municipal es alcanzar un acumulado de al menos $3\,500$ plantones plantados en total. Plantea la ecuación de segundo grado que permite averiguar en qué semana se alcanzará dicha meta.
3. c) Resuelve la ecuación, indica cuántas semanas completas de trabajo serán necesarias e interpreta el significado algebraico de la solución negativa descartándola con un argumento contextual.

En una progresión aritmética se sabe que el término en quinta posición vale $a_5 = 19$ y el término en decimoctava posición vale $a_{18} = 71$. Para determinar la diferencia $d$ y el primer término $a_1$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Paula plantea un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de la fórmula clásica:

• Sergio propone relacionar directamente ambos términos contando el número de saltos entre ellos:

1. a) Resuelve el problema siguiendo ambos métodos y comprueba que se obtienen idénticos valores para $d$ y $a_1$.
2. b) Justifica qué método resulta más eficiente en este caso (menor número de pasos operativos y menor riesgo de error algebraico).
3. c) Utilizando el método que consideres más ventajoso, razona formalmente si el número $250$ puede ser un término de esta sucesión o si es imposible que pertenezca a ella.

En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición $40$, ambas inclusive.

Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco ángulos interiores del hexágono. (Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $180^\circ \cdot (n-2)$).

Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Para cada valor de $k$ hallado, escribe los tres términos correspondientes.

La suma de los $n$ primeros términos de una sucesión viene dada por la expresión $S_n = 2n^2 + 5n$. Encuentra la expresión matemática del término general $a_n$ y demuestra rigurosamente que dicha sucesión es una progresión aritmética.

En un almacén industrial se apilan tubos de acero cilíndricos de forma que cada fila tiene exactamente un tubo menos que la fila inmediatamente inferior sobre la que se apoya. Si la fila más alta (la cúspide) tiene $1$ solo tubo y en total hay $210$ tubos apilados, ¿cuántas filas de tubos componen el apilamiento? ¿Cuántos tubos hay en la fila base apoyada en el suelo?

Encuentra tres números que estén en progresión aritmética sabiendo que su suma es $24$ y que la suma de sus cuadrados es $242$.

Demuestra algebraicamente que si los números $a^2$, $b^2$ y $c^2$ están en progresión aritmética, entonces los números $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ y $\frac{1}{a+b}$ también forman una progresión aritmética.

Una empresa adquiere una máquina industrial por $32000$ dólares y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se sabe que la primera cuota a pagar es de $500$ dólares y la última cuota será de $2700$ dólares, ¿en cuántos meses saldará la empresa su deuda? ¿Cuál es el incremento mensual exacto de la cuota respecto al mes anterior?

En lugar de darte los términos de una progresión aritmética para que calcules su suma, se conoce únicamente la función polinómica que proporciona la suma acumulada de sus $n$ primeros términos:

1. a) Deduce de forma razonada el valor del primer término $a_1$ evaluando adecuadamente $S_1$.
2. b) A partir del principio conceptual $a_n = S_n - S_{n-1}$ (para todo $n \ge 2$), obtén la expresión simplificada del término general $a_n$ en función de $n$.
3. c) Demuestra formalmente que la sucesión obtenida es una progresión aritmética calculando la diferencia $a_n - a_{n-1}$ y verificando que es constante.
4. d) Plantea ahora el problema inverso complementario: diseña la expresión algebraica de la suma $S_n$ correspondiente a una progresión aritmética cuyo primer término sea $a_1 = 10$ y cuya diferencia sea $d = -3$. Comprueba que tu expresión es correcta calculando con ella $S_4$ y contrastándola con la suma manual de los cuatro primeros términos.

Un auditorio municipal en La Habana proyecta renovar las butacas de su patio principal con una disposición en trapecio escalonado. La normativa técnica y el diseño del espacio imponen las siguientes condiciones:

1. La primera fila (la más próxima al escenario) contará con $a_1 = 15$ asientos.

2. Cada fila posterior tendrá exactamente $2$ asientos más que la anterior ($d = 2$).

3. Por seguridad y anchura de las vías de evacuación, el aforo total del recinto no puede rebasar bajo ningún concepto los $650$ espectadores, pero la dirección municipal exige maximizar el aforo sin sobrepasar dicho límite.

4. La profundidad física de la sala no permite construir más de $25$ filas.

1. a) Modela algebraicamente la capacidad acumulada $S_n$ en función del número de filas $n$.
2. b) Plantea la inecuación de aforo $S_n \le 650$, resuelve la ecuación cuadrática asociada y determina, justificando la elección en el conjunto de los números naturales, el número exacto de filas $n$ que deben instalarse para lograr el aforo máximo permitido.
3. c) Indica cuántas butacas habrá en la última fila instalada y a cuánto asciende el aforo total definitivo del auditorio.
4. d) Si por motivos de visibilidad técnica se decide finalmente suprimir las $5$ primeras filas completas (comenzando el público a sentarse a partir de lo que antes era la fila $6$) pero manteniendo la misma última fila calculada en el apartado anterior, ¿cuántas butacas útiles quedarán en el auditorio? Resuélvelo aplicando las propiedades de la suma de progresiones aritméticas sin calcular fila a fila.