Ejercicios: Propiedades de la probabilidad

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los usuarios jóvenes están suscritos al Plan de Música ($M$) y el $40\ \%$ están suscritos al Plan de Video ($V$). Se sabe además que el $25\ \%$ de los usuarios disfrutan de ambos planes simultáneamente.

Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar esté suscrito a alguno de los dos planes (música o video).

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa los eventos $A$ (estudiantes que practican baloncesto) y $B$ (estudiantes que practican natación) en un centro deportivo:

Sabiendo que los números representan la probabilidad de cada región, utiliza las propiedades de la probabilidad para calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilidad de que no practique baloncesto).

Un estudio sobre hábitos digitales revela que la probabilidad de que un adolescente use una red social de microblogging es $P(S) = 0,72$.

Calcula la probabilidad del evento contrario, es decir, la probabilidad de que un adolescente elegido al azar no utilice dicha red social.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Determina si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante el cálculo de $P(A \cap B)$.

En una competición de e-sports, la probabilidad de que el equipo "Alfa" gane la primera partida es $P(A) = 0,6$. La probabilidad de que gane la segunda es $P(B) = 0,5$. Si la probabilidad de que gane ambas es $P(A \cap B) = 0,3$, calcula:

1. a) La probabilidad de que gane la primera partida pero no la segunda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Ilustra la situación mediante un esquema de áreas como el siguiente, en el que el cuadrado completo representa probabilidad 1 y cada región tiene un área igual a su probabilidad. Completa la probabilidad de las otras tres regiones.

Utilizando las Leyes de De Morgan, calcula la probabilidad de que no ocurra ni el evento $A$ ni el evento $B$ (es decir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabiendo que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,84$.

En una urna hay bolas numeradas. Sean los eventos $A$ = "sacar un número par" y $B$ = "sacar un número impar menor que 5". Si conocemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ y que los eventos son incompatibles, calcula la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se conocen los siguientes datos:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Halla el valor de la probabilidad de la unión, $P(A \cup B)$. Sugerencia: calcula primero $P(A)$.

En un examen de Matemáticas de 2.º de Bachillerato, se plantean dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral con probabilidades $P(A) = 0,7$ y $P(B) = 0,5$. Marcos escribe en su desarrollo: «Como $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,5 = 1,2$, y por los axiomas de Kolmogórov ninguna probabilidad puede superar $1$, el enunciado contiene un error y estos dos sucesos no pueden darse en un mismo experimento».\na) Identifica y explica razonadamente los dos errores conceptuales cometidos por Marcos (uno relativo a la fórmula empleada y otro relativo a la compatibilidad de los sucesos).\nb) Utilizando las propiedades deducidas de los axiomas, calcula la cota mínima que debe tomar $P(A \cap B)$ para que la situación sea matemáticamente coherente y determina en qué intervalo puede variar $P(A \cup B)$.

En la elección de representantes estudiantiles de un centro educativo, sea $A$ el evento «la persona elegida cursa la modalidad de Ciencias» con $P(A) = 0,65$, y sea $B$ el evento «la persona elegida participa en el club de debate» con $P(B) = 0,45$.\na) Estima, antes de realizar ningún cálculo algebraico, si es posible que ambas características sean incompatibles ($A \cap B = \emptyset$). Justifica tu intuición a partir de la suma de sus probabilidades respecto al espacio muestral total.\nb) Comprueba tu estimación calculando formalmente las cotas de Fréchet para la intersección; es decir, el intervalo $[p_{\min}, p_{\max}]$ en el que debe encontrarse necesariamente $P(A \cap B)$.\nc) Valora críticamente si una estimación previa que propusiera $P(A \cap B) = 0,50$ sería admisible o si contradice la propiedad de monotonía de la probabilidad ($A \cap B \subseteq B$).

En un estudio sobre el consumo de contenido digital en una clase de 2º de Bachillerato, se sabe que la probabilidad de que un alumno use habitualmente TikTok (suceso $A$) es $0,65$, la probabilidad de que use Instagram (suceso $B$) es $0,70$ y la probabilidad de que no use ninguna de las dos redes sociales es $0,15$.

Utilizando las propiedades de la probabilidad, calcula:

1. a) La probabilidad de que un alumno, elegido al azar, utilice ambas redes sociales.
2. b) La probabilidad de que utilice solo una de las dos.
3. c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta.

Dos equipos de E-sports, "Titanes" y "Fénix", participan en un torneo. La probabilidad de que los Titanes ganen su partida es $P(T) = 0,8$ y la de que los Fénix ganen la suya es $P(F) = 0,7$. Suponiendo que los resultados de ambos equipos son independientes, calcula mediante el álgebra de eventos las siguientes probabilidades:

1. a) Que ambos equipos ganen sus respectivas partidas.
2. b) Que al menos uno de los dos gane.
3. c) Que solo gane el equipo de los Titanes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que conocemos $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y la probabilidad de la unión de sus contrarios es $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,8$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) Halla $P(A \cup B)$.
3. c) Determina si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.
4. d) Calcula $P(A / \bar{B})$.

En un centro deportivo, el $60\%$ de los inscritos practica entrenamiento de fuerza (evento $F$) y el $45\%$ practica yoga (evento $Y$). Se sabe además que el $20\%$ de los que practican fuerza también están inscritos en yoga.

Construye una tabla de contingencia o un diagrama de Venn para responder a las siguientes preguntas:

1. a) Probabilidad de que un socio elegido al azar no practique ni fuerza ni yoga.

1. b) Si sabemos que un socio practica yoga, ¿cuál es la probabilidad de que no practique fuerza?

1. c) ¿Son los eventos "practicar fuerza" y "practicar yoga" independientes?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que la probabilidad de que ocurra $B$ si ha ocurrido $A$ es $P(B/A) = 0,25$. Si sabemos que $P(A \cap B) = 0,15$ y que $P(B) = 0,45$:

1. a) Calcula $P(A)$.
2. b) Calcula $P(A \cup B)$.
3. c) Calcula la probabilidad de que no ocurra $A$ dado que no ha ocurrido $B$, es decir, $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Un sistema de seguridad inteligente tiene dos sensores independientes, $S_1$ y $S_2$. La probabilidad de que el sensor $S_1$ detecte una intrusión es $0,92$ y la probabilidad de que la detecte el sensor $S_2$ es $0,85$. En el caso de que ocurra una intrusión, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea detectada por ambos sensores simultáneamente.
2. b) La probabilidad de que la intrusión sea detectada (es decir, que al menos un sensor funcione).
3. c) La probabilidad de que el sensor $S_1$ falle pero el $S_2$ funcione correctamente.

Dados dos sucesos $A$ y $B$, se sabe que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ y $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razona la respuesta comparando $P(A \cap B)$ con el producto de sus probabilidades individuales.
3. c) Calcula $P(\bar{A} / B)$.

Una plataforma de streaming clasifica a sus usuarios en "Premium" ($P$) o "Estándar" ($S$). Se estima que el $40\%$ son Premium. Además, el $70\%$ de los usuarios Premium ven series de ciencia ficción ($C$), mientras que solo el $30\%$ de los usuarios Estándar las ven. Elegido un usuario al azar:

1. a) Calcula la probabilidad de que vea series de ciencia ficción.
2. b) Si el usuario elegido está viendo una serie de ciencia ficción, ¿cuál es la probabilidad de que sea un usuario Premium?
3. c) ¿Son los eventos "Ser usuario Premium" y "Ver series de ciencia ficción" independientes? Justifica matemáticamente mediante propiedades de probabilidad condicionada.

A partir de datos adaptados del Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre equipamiento y uso de tecnologías en jóvenes españoles de 16 a 24 años, se sabe que la probabilidad de que un joven use a diario una plataforma de video bajo demanda (evento $V$) es $0,80$, y la de que escuche podcasts habitualmente (evento $P$) es $0,45$. Además, la probabilidad de que no realice ninguna de estas dos actividades es de solo $0,05$.\na) Modela la condición «no realiza ninguna de las dos actividades» mediante operaciones de conjuntos y, aplicando las leyes de De Morgan y la propiedad del evento contrario, calcula la probabilidad de la unión $P(V \cup P)$.\nb) Determina la probabilidad de que un joven elegido al azar realice ambas actividades, $P(V \cap P)$.\nc) Una agencia de publicidad afirma que al menos el $20\,\%$ de los jóvenes escucha podcasts habitualmente pero no consume video bajo demanda a diario ($P \cap \overline{V}$). Utilizando la descomposición de eventos en partes incompatibles ($P = (P \cap V) \cup (P \cap \overline{V})$), demuestra de forma razonada si dicha afirmación es verdadera o falsa.

Considera dos sucesos $A$ y $B$ de un espacio muestral cuyas probabilidades dependen de un parámetro real $k$, de modo que $P(A) = 2k$ y $P(B) = 3k - 0,1$. Se sabe que la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos es igual a $0,5$.\na) Expresa el suceso «ocurre exactamente uno de los dos sucesos» mediante operaciones de conjuntos y demuestra que su probabilidad equivale a $P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A \cap B)$.\nb) Suponiendo en primer lugar que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles, determina el valor de $k$ y comprueba rigurosamente que las probabilidades resultantes para $A$ y $B$ verifican los axiomas de Kolmogórov ($0 \leq P(S) \leq 1$ y $P(A \cup B) \leq 1$).\nc) Si ahora se admite que $A$ y $B$ pueden ser compatibles y se fija $k = 0,20$, determina el valor que debe tener necesariamente $P(A \cap B)$ para mantener la condición inicial y justifica si este valor respeta las cotas teóricas permitidas para la intersección.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres eventos de un mismo experimento aleatorio tales que forman un sistema completo de eventos. Se conocen las siguientes relaciones entre sus probabilidades:

• La probabilidad de $A$ es el doble de la de $B$.

• La probabilidad de la unión de $B$ y $C$ es el triple de la probabilidad de $B$.

Demuestra razonadamente, utilizando los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de la probabilidad, si es posible que $P(C) = 0,4$. En caso negativo, determina el valor exacto de las probabilidades de cada evento.

En un sistema de seguridad redundante para una infraestructura de servidores, se instalan tres nodos de control ($N_1, N_2, N_3$). Se sabe que el sistema falla si al menos dos de los nodos caen simultáneamente. Las probabilidades de fallo de cada nodo son $P(N_1) = 0,05$, $P(N_2) = 0,08$ y $P(N_3) = 0,10$.

Debido a que comparten la misma red eléctrica, los fallos no son independientes. Se sabe que:

• La probabilidad de que fallen el primer y el segundo nodo es $P(N_1 \cap N_2) = 0,02$.

• La probabilidad de que fallen el segundo y el tercero es $P(N_2 \cap N_3) = 0,03$.

• La probabilidad de que fallen el primero y el tercero es $P(N_1 \cap N_3) = 0,01$.

• La probabilidad de que fallen los tres a la vez es $P(N_1 \cap N_2 \cap N_3) = 0,005$.

1. a) Dibuja un diagrama de Venn con los tres eventos $N_1$, $N_2$ y $N_3$ dentro del espacio muestral y calcula la probabilidad de cada una de las ocho regiones (incluida la exterior a los tres círculos).

1. b) Calcula la probabilidad de que el sistema global no falle, es decir, de que falle como máximo un nodo. Apóyate en el diagrama del apartado anterior para razonar tu respuesta.

Demuestra formalmente la siguiente generalización de las Leyes de Morgan para tres eventos utilizando exclusivamente las propiedades de las operaciones con conjuntos y los axiomas de la probabilidad:

Posteriormente, utiliza este resultado para resolver el siguiente problema: En una empresa de desarrollo de software, el $60\%$ de los empleados domina Python, el $40\%$ Java y el $30\%$ C++. Se sabe que el $20\%$ domina Python y Java, el $15\%$ Java y C++, y el $10\%$ Python y C++. Si solo el $5\%$ domina los tres lenguajes, calcula la probabilidad de que un empleado elegido al azar no conozca ninguno de estos tres lenguajes de programación.

Un ingeniero aeronáutico analiza la fiabilidad de un componente crítico. Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = \frac{1}{3}$ y $P(B) = p$.

1. Si $A$ y $B$ son independientes, expresa la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos eventos en función de $p$.

2. Si $A$ y $B$ son incompatibles, ¿cuál es el valor máximo que puede tomar $p$?

3. Determina el valor de $p$ para que la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$ sea igual a $\frac{1}{4}$, suponiendo que $A$ y $B$ son independientes.

En una red de sensores IoT, dos sensores $S_1$ y $S_2$ detectan anomalías térmicas de forma independiente. La probabilidad de que el sensor $S_1$ detecte una anomalía es $P(S_1) = x$ y la del sensor $S_2$ es $P(S_2) = y$.

Se define un nuevo evento $Z$ como el hecho de que la anomalía sea detectada por al menos uno de los dos sensores. Si sabemos que $P(Z) = 0,8$ y que la probabilidad de que ambos sensores fallen simultáneamente es el cuádruple de la probabilidad de que ambos acierten, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de $x$ e $y$ (suponiendo $x < y$).

Considera dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$.

Basándote en los axiomas de Kolmogorov, demuestra que:

1. El valor mínimo posible para $P(A \cap B)$ es $0,3$.

2. El valor máximo posible para $P(A \cap B)$ es $0,6$.

3. Si se añade un tercer suceso $C$ tal que $P(C) = 0,8$, ¿cuál es el valor mínimo de la probabilidad de que ocurran los tres sucesos a la vez, $P(A \cap B \cap C)$? Justifica tu respuesta utilizando la desigualdad de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

En un laboratorio de biotecnología se estudia la reacción de una proteína ante dos reactivos, $\alpha$ y $\beta$. La probabilidad de reacción ante $\alpha$ es $P(\alpha) = 0,4$. La probabilidad de que no reaccione ante ninguno es $P(\alpha^c \cap \beta^c) = 0,3$.

Si denotamos como $R$ al evento "la proteína reacciona ante exactamente uno de los dos reactivos", y sabemos que $P(R) = 0,5$, determina:

1. a) La probabilidad de reacción ante el reactivo $\beta$.
2. b) ¿Son los eventos de reaccionar ante $\alpha$ y ante $\beta$ independientes? Justifica tu respuesta con cálculos.
3. c) ¿Son compatibles?

Sea un espacio muestral $E$ y dos eventos $A, B \subset E$ con probabilidades no nulas. Se define la "diferencia simétrica" entre los eventos como $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Si sabemos que $P(A \Delta B) = 0,6$ y que $P(A \cup B) = 0,8$:

1. Calcula $P(A \cap B)$.

2. Si además se cumple que $P(A | B) = 0,4$, halla los valores individuales de $P(A)$ y $P(B)$.

3. Utilizando los valores obtenidos, verifica si se cumple la identidad $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$.

Demuestra, utilizando exclusivamente los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de las operaciones con eventos (como $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ siendo estos últimos incompatibles), la fórmula general para la probabilidad de la unión de tres eventos cualesquiera $A$, $B$ y $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades dependen de un parámetro $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ y $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sabiendo que los eventos $A$ y $B$ no son exhaustivos (es decir, $P(A \cup B) < 1$), determina el intervalo de valores posibles para el parámetro $x$. Para $x = 1,2$, calcula $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

En un satélite espacial existen tres sensores $S_1$, $S_2$ y $S_3$. A partir de pruebas de estrés, se conocen las siguientes probabilidades de fallo:

• La probabilidad de que falle exclusivamente $S_1$ es $0,10$.

• La probabilidad de que falle exclusivamente $S_2$ es $0,08$.

• La probabilidad de que fallen $S_1$ y $S_2$ simultáneamente, pero no $S_3$, es $0,05$.

• La probabilidad de que falle $S_3$ es $0,30$.

• La probabilidad de que fallen los tres a la vez es $0,02$.

Sabiendo que los eventos "fallo de $S_1$" y "fallo de $S_3$" son incompatibles si $S_2$ no falla, calcula la probabilidad de que falle al menos uno de los tres sensores.

Dos jugadores, Ana y Blas, lanzan alternativamente una moneda equilibrada. Gana el primero que obtenga "Cara". Ana lanza primero. Define el espacio muestral infinito de este experimento y, utilizando la suma de una progresión geométrica, calcula la probabilidad que tiene Blas de ganar el juego (es decir, que la primera "Cara" salga en un lanzamiento par).

En el control de calidad de componentes aeronáuticos se analizan tres defectos potenciales: térmico ($T$), estructural ($E$) y de montaje ($M$). Se conocen los siguientes registros de probabilidad:\n$P(T) = 0,12$, $P(E) = 0,08$, $P(M) = 0,06$;\n$P(T \cap E) = 0,03$, $P(T \cap M) = 0,02$, $P(E \cap M) = 0,01$;\ny la probabilidad de que concurran los tres defectos simultáneamente es $P(T \cap E \cap M) = 0,004$.\nSe desea calcular la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar esté completamente libre de fallos, es decir, $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\na) Compara dos estrategias para resolver el problema:\n- Método 1: Calcular primero $P(T \cup E \cup M)$ mediante el principio de inclusión-exclusión para tres eventos y aplicar a continuación la propiedad del evento contrario combinada con las leyes de De Morgan.\n- Método 2: Particionar el espacio muestral en las ocho regiones disjuntas de un diagrama de Venn, calculando una a una las probabilidades de las siete regiones con defecto para luego restarlas de $1$.\nJustifica cuál de los dos métodos es más eficiente y menos vulnerable a errores algebraicos en una prueba de evaluación.\nb) Aplica la estrategia elegida justificando cada igualdad con su correspondiente propiedad axiomática para hallar el valor exacto de $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\nc) Razona cómo cambiaría la probabilidad de obtener una pieza libre de fallos si los tres defectos fueran incompatibles dos a dos y explica por qué en ese caso no se necesitaría conocer ninguna intersección.

El Instituto de Meteorología (INSMET) monitoriza tres fenómenos adversos en una zona de montaña durante el invierno: aviso por nevada ($N$), aviso por rachas de viento huracanado ($V$) y aviso por helada severa ($H$). Los registros meteorológicos establecen que:\n- $P(N) = 0,40$, $P(V) = 0,35$ y $P(H) = 0,50$.\n- La densa cobertura nubosa que acompaña a las nevadas impide por razones físicas que se produzca una helada por irradiación nocturna, por lo que los eventos $N$ y $H$ son mutuamente excluyentes ($N \cap H = \emptyset$).\n- La probabilidad de aviso conjunto por nevada y viento es $P(N \cap V) = 0,15$.\na) Formula la probabilidad de que se active al menos un aviso, $P(N \cup V \cup H)$, mediante la regla general de inclusión-exclusión para tres eventos, y simplifícala deduciendo razonadamente el valor de $P(N \cap V \cap H)$.\nb) Si se constata que $P(V \cap H) = 0,10$, calcula de forma justificada la probabilidad de que la zona pase un día invernal completamente libre de avisos meteorológicos e interpreta el significado del resultado obtenido.\nc) Supón ahora que se desconoce el valor concreto de $P(V \cap H)$. Demuestra, aplicando con rigor los axiomas de Kolmogórov ($P(E) = 1$ y aditividad para eventos disjuntos en subconjuntos de $V$), que el valor de $P(V \cap H)$ solo puede oscilar en el intervalo $[0,10;\ 0,20]$ para que el modelo sea matemáticamente coherente.