Ejercicios: Experimentos aleatorios

Clasifica los siguientes experimentos como deterministas o aleatorios, justificando brevemente tu respuesta en cada caso:

1. a) Soltar un teléfono celular desde una altura de un metro y observar si cae hacia el suelo.
2. b) Abrir una lista de reproducción en modo aleatorio y anotar cuál es la primera canción que suena.
3. c) Calcular el tiempo que tarda un carro en recorrer $200$ km si circula a una velocidad constante de $100$ km/h.
4. d) Preguntar a la primera persona que veas por la calle en qué mes nació.
5. e) Extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas y observar su palo.

Un estudiante tiene en su cartuchera tres bolígrafos de colores distintos: Azul (A), Negro (N) y Rojo (R). Decide sacar dos bolígrafos de forma consecutiva y sin devolver el primero a la cartuchera.

1. a) Escribe el espacio muestral $E$ de este experimento.
2. b) Indica cuántos eventos elementales forman dicho espacio muestral.
3. c) Define el evento compuesto $S = \text{"sacar el bolígrafo azul en cualquier posición"}$.

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado tetraédrico (4 caras) con las caras numeradas del $1$ al $4$, y una moneda de $1$ dólar. Anotamos el número de la cara inferior del dado y si la moneda muestra cara $(C)$ o cruz $(X)$.

1. a) Utiliza un diagrama de árbol para representar todos los resultados posibles.
2. b) Escribe el espacio muestral $E$.
3. c) Determina los elementos del suceso $A = \text{"obtener un número par en el dado y cara en la moneda"}$.

En un grupo de 2º de Bachillerato, se analizan las suscripciones a plataformas de streaming. Llamamos $A$ al suceso "estar suscrito a Netflix" y $B$ al suceso "estar suscrito a Spotify". Expresa con palabras el significado de los siguientes sucesos relacionados con las operaciones de conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o suceso contrario de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Un videojuego de rol permite crear un personaje eligiendo entre dos facciones: Guerrero (G) o Mago (M). Además, el personaje puede ser de tres razas: Humano (H), Elfo (E) o Enano (D).

Se elige un personaje al azar del servidor de juego.

1. a) Escribe el espacio muestral $E$ utilizando la nomenclatura de las iniciales (por ejemplo, $GH$ para Guerrero Humano).
2. b) Describe el suceso $S = \text{"el personaje no es un Mago"}$.
3. c) Si llamamos $A$ al suceso $\text{"el personaje es un Elfo"}$, indica qué elementos componen el suceso contrario $\bar{A}$.

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Dados los eventos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ y $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtén los siguientes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Comprueba si se cumple la Primera Ley de Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa la distribución de alumnos que practican Baloncesto ($B$) y Fútbol ($F$) en un áreas deportivas municipal.

A partir del gráfico, define mediante operaciones de eventos las siguientes regiones:

1. a) Alumnos que practican ambos deportes.
2. b) Alumnos que practican baloncesto pero no fútbol.
3. c) Alumnos que practican al menos uno de los dos deportes.
4. d) Alumnos que no practican ninguno de los dos deportes mencionados.

Extraemos una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$. Indica si los siguientes eventos son posibles, seguros o imposibles:

1. a) $A = \text{"obtener un número mayor que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obtener el número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obtener un número par"}$.
4. d) $D = \text{"obtener un número menor o igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obtener un número negativo"}$.

Hugo, estudiante de 2.º de Bachillerato, analiza el control de calidad de componentes electrónicos en una planta de automoción en Navarra. Para cada componente seleccionado al azar, define los sucesos $A$: «el componente presenta defecto eléctrico» y $B$: «el componente presenta defecto mecánico». Al redactar el informe técnico, Hugo afirma: «El suceso consistente en que un componente no presente ninguno de los dos defectos se expresa formalmente como $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Encuentra el error conceptual cometido por Hugo y explica con precisión qué tipo de componentes están representados realmente por la unión $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Corrige su propuesta escribiendo de forma matemáticamente rigurosa el suceso «el componente no presenta ninguno de los dos defectos» de dos formas equivalentes: primero como una intersección de sucesos y después aplicando las Leyes de De Morgan a partir de una unión.

En un estudio sobre la puntualidad del transporte público de la Comunidad de Madrid, se analiza la línea C-4 de Cercanías entre las estaciones de Cantoblanco Universidad y Nuevos Ministerios. Considera las siguientes tres situaciones asociadas a un trayecto:\n1. Medir la distancia exacta en kilómetros del trazado ferroviario entre ambas estaciones.\n2. Registrar si un tren programado a las $14{,}15\text{ h}$ llega a su destino con un retraso superior a $3$ minutos respecto al horario oficial.\n3. Calcular el tiempo exacto que tardará un convoy sabiendo de antemano que circulará a una velocidad constante fijada de forma automática por ordenador de $60\text{ km/h}$ sobre un tramo recto de $15\text{ km}$.\na) Clasifica razonadamente cada una de las tres situaciones como experimento determinista o aleatorio.\nb) Para la situación 2, describe formalmente su espacio muestral $E_1$. Si se observa el tren durante dos días laborables consecutivos anotando si sufre retraso superior a $3$ minutos ($R$) o si resulta puntual ($P$), escribe el espacio muestral compuesto $E_2$ y enumera los sucesos elementales que forman el suceso $S$: «el tren sufre retraso a lo sumo uno de los dos días».

En un experimento aleatorio, el espacio muestral está formado por un conjunto de números enteros positivos $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Se definen tres eventos $A$, $B$ y $C$ sobre los que se conoce la siguiente información:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ es un evento incompatible con $A$ ($A \cap C = \emptyset$), pero compatible con $B$, cumpliéndose que $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. El número de eventos elementales que forman $C$ es igual a $3$.\na) Reconstruye razonadamente los conjuntos que definen los eventos $A$, $B$, $C$ y el espacio muestral completo $E$, determinando el valor del cardinal $n$.\nb) Expresa mediante operaciones formales entre conjuntos (uniones, intersecciones o complementarios) y escribe explícitamente los elementos del evento: «ocurre exactamente uno de los tres eventos ($A$, $B$ o $C$)».

Un equipo de analistas de datos de una plataforma de comercio electrónico con sede en España clasifica cada reclamación según dos factores: el canal de entrada (Teléfono, Web, App móvil) y el departamento de resolución asignado (Logística, Facturación, Garantías, Atención al cliente). El experimento aleatorio consiste en registrar ambos factores para la próxima reclamación recibida.\na) Sin escribir la lista detallada de casos, realiza una estimación intuitiva de cuántos resultados elementales componen el espacio muestral $E$ y cuántos eventos distintos en total (subconjuntos de $E$) se pueden definir teóricamente en este experimento. Comprueba tus estimaciones calculando el cardinal de $E$ mediante el principio multiplicativo y el cardinal del conjunto potencia $\mathcal{P}(E)$. Comenta si la magnitud del número total de eventos se corresponde con tu intuición inicial.\nb) Se definen los eventos $A$: «la reclamación no entra por la App móvil» y $B$: «la reclamación es asignada a Logística o Facturación». Describe con precisión el significado verbal del evento $\overline{A \cup B}$, transfórmalo aplicando las Leyes de De Morgan y determina cuántos eventos elementales lo componen.\nc) Justifica analíticamente si los eventos $A$ y $\overline{B}$ son compatibles o incompatibles.

En un entorno de desarrollo de aplicaciones móviles, un programador está probando la seguridad de un sistema de acceso. Se define un experimento aleatorio consistente en generar una clave aleatoria de 4 dígitos usando únicamente los números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Se consideran los siguientes eventos:

• $A$: "La clave contiene al menos dos dígitos iguales consecutivos".

• $B$: "La suma de los dígitos de la clave es un número primo mayor que 15".

• $C$: "La clave es capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda)".

Describe detalladamente el espacio muestral $E$ indicando su cardinal y utiliza el álgebra de eventos para expresar simbólicamente los siguientes eventos:

1. a) La clave no es capicúa o bien la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

1. b) La clave es capicúa y tiene al menos dos dígitos iguales consecutivos, pero la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

1. c) Demuestra si los eventos $A$ y $C$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante un ejemplo de un elemento del espacio muestral.

Un satélite de comunicaciones envía ráfagas de datos compuestas por secuencias binarias de longitud $n=3$. Debido al ruido cósmico, cada bit tiene una probabilidad de ser alterado. Definimos el espacio muestral $E$ como el conjunto de todas las ternas binarias posibles. Sean los eventos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando las Leyes de De Morgan, simplifica al máximo la expresión del evento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Una vez simplificado, describe con palabras qué característica común tienen las secuencias que forman dicho evento $S$ respecto al número de "unos" presentes en la ráfaga.

En un laboratorio de genética se estudia la mutación de una cadena de ADN representada por cuatro bases nitrogenadas consecutivas $\{A, C, G, T\}$. El experimento consiste en observar una cadena de 3 posiciones. Se consideran los sucesos:

• $M$: "La cadena contiene al menos una base $G$".

• $N$: "La cadena comienza por $A$ o termina por $T$".

Determina el número de elementos de los siguientes sucesos utilizando técnicas de conteo:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Explica razonadamente si el conjunto de sucesos $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ forma una partición del espacio muestral $E$.

Consideremos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es el conjunto de los números enteros positivos, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Definimos los eventos:

$A_k = \{x \in E \mid x \text{ es múltiplo de } k\}$ para cada $k \in \{2, 3, 5\}$.

Expresa en función de $A_2$, $A_3$ y $A_5$ los siguientes eventos y determina sus cinco elementos más pequeños:

1. a) "El número es múltiplo de 2 y de 3, pero no de 5".

1. b) "El número es múltiplo de solo uno de los tres valores $\{2, 3, 5\}$".

1. c) "El número no es múltiplo de ninguno de los tres valores".

Un sistema robótico de clasificación de paquetería comete errores de forma aleatoria. Al analizar el historial de 1000 paquetes, se definen los eventos:

• $A$: "El paquete tiene un peso incorrecto".

• $B$: "El paquete tiene un código de barras ilegible".

• $C$: "El paquete ha sido enviado a una ruta equivocada".

Se sabe que ningún paquete presenta los tres errores simultáneamente ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Si denotamos por $n(X)$ al número de paquetes en el evento $X$, se cumple:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ y $n(B \cap C) = 5$.

Calcula el número de elementos de los siguientes eventos y exprésalos mediante operaciones de conjuntos:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Se realiza un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dardo a una diana circular de radio $R$. El resultado del experimento es la distancia $d$ desde el centro de la diana hasta el punto de impacto. Definimos los eventos:

• $S_1$: "El dardo impacta a una distancia $d < \frac{R}{3}$".

• $S_2$: "El dardo impacta a una distancia $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$".

Utilizando la notación de intervalos para el valor de $d$:

1. Define el espacio muestral $E$.

2. Determina los intervalos correspondientes a los eventos $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ y $S_1 - S_2$.

3. Encuentra el evento complementario de $S_1 \cup S_2$ y explica su significado físico en el contexto del juego.

Sean $A, B$ y $C$ tres sucesos cualesquiera de un experimento aleatorio. Demuestra formalmente, utilizando las propiedades del álgebra de sucesos (distributiva, complementariedad, etc.), la siguiente identidad:

Explica qué nombre recibe esta operación en la teoría de conjuntos y representa el suceso resultante mediante un diagrama de Venn sombreado.

En un torneo de e-sports, tres jugadores ($P_1, P_2, P_3$) se enfrentan en partidas eliminatorias "1 vs 1". El experimento consiste en registrar el ganador de cada partida hasta que un jugador gane dos partidas consecutivas o se hayan jugado un máximo de 4 partidas.

1. Dibuja el diagrama de árbol que representa este experimento aleatorio sabiendo que en la primera partida juegan $P_1$ contra $P_2$, y el que pierde es sustituido por el jugador que esperaba ($P_3$).

2. Escribe explícitamente todos los elementos del espacio muestral $E$.

3. Define el evento $X$: "El jugador $P_3$ juega al menos dos partidas" y el evento $Y$: "El torneo termina en la tercera partida". ¿Son $X$ e $Y$ eventos incompatibles? Justifícalo analizando su intersección.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un nuevo juego de mesa estratégico, un jugador debe lanzar un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y, simultáneamente, extraer una carta de un mazo reducido que contiene únicamente los cuatro ases y los cuatro reyes de la baraja española.

Considerando el experimento aleatorio de anotar el número del dado y el valor de la carta (As o Rey):

1. a) Describe el espacio muestral $E$ del experimento.
2. b) Sean los eventos:

$A$ = "Obtener un número par en el dado".

$B$ = "Obtener un As de cualquier palo".

$C$ = "Obtener un número menor que $3$ en el dado y que la carta sea un Rey".

Determina los elementos que componen los eventos $A \cup B$, $A \cap B$ y $B \cap C$.

Una empresa de ciberseguridad analiza los intentos de acceso a un servidor. Considera el espacio muestral $\Omega$ formado por todos los accesos posibles, que según su estado se clasifican en: $L$ (Legítimo), $S$ (Sospechoso) y $M$ (Malicioso). Se sabe que un sistema de filtrado automático clasifica los accesos en dos categorías: $F$ (Filtrado) y $P$ (Permitido).

Utilizando diagramas de Venn, representa la situación y define simbólicamente los siguientes eventos:

1. a) El acceso es malicioso o sospechoso, pero ha sido permitido.
2. b) El acceso no es malicioso y ha sido filtrado.
3. c) Se cumple la segunda ley de De Morgan para los eventos "Acceso Malicioso" ($M$) y "Acceso Filtrado" ($F$).

En un laboratorio de robótica, se están probando dos sensores independientes, $S_1$ y $S_2$. El experimento consiste en comprobar si cada sensor se activa ($1$) o no ($0$) ante un estímulo.

1. a) Escribe el espacio muestral $E$.
2. b) Describe el evento contrario de $A$, siendo $A$ = "Al menos uno de los sensores se activa".
3. c) Si definimos el evento $B$ = "Los dos sensores actúan de forma idéntica", determina $A \cap B$ y el evento diferencia $B - A$.

Un adolescente decide organizar su lista de reproducción para estudiar. Tiene $3$ canciones de género Lo-fi, $2$ de Jazz y $2$ de Indie. El experimento consiste en elegir dos canciones al azar, una tras otra, sin repetición (sin reemplazamiento).

1. a) Representa el experimento mediante un diagrama de árbol, indicando en cada rama los posibles géneros resultantes.

1. b) Halla el número total de resultados posibles del espacio muestral (considerando las canciones como elementos diferenciables).

1. c) Describe el evento compuesto "Las dos canciones elegidas son de distinto género".

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado octaédrico (caras del $1$ al $8$) y un dado cúbico convencional (caras del $1$ al $6$). Definimos los siguientes eventos:

$A$ = "La suma de los puntos es un número primo".

$B$ = "El producto de los puntos es múltiplo de $10$".

1. a) ¿Son $A$ y $B$ eventos compatibles o incompatibles? Justifica la respuesta indicando al menos un elemento de la intersección si existiera.
2. b) Calcula el número de elementos del evento contrario de $B$.

Se realiza un estudio sobre el uso de redes sociales en un preuniversitario. Se eligen dos alumnos al azar y se les pregunta si utilizan habitualmente la red $X$ y la red $Y$. Sea $x_i$ el evento "el alumno $i$ usa la red $X$" y $y_i$ el evento "el alumno $i$ usa la red $Y$".

Expresa simbólicamente, utilizando las operaciones de unión, intersección y complementación, los siguientes eventos:

1. a) Solo el primer alumno usa ambas redes sociales.
2. b) Al menos uno de los dos alumnos usa la red $X$ pero ninguno usa la red $Y$.
3. c) Los dos alumnos tienen exactamente los mismos hábitos de uso respecto a estas dos redes sociales.

Un bombo de lotería contiene $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen tres bolas sucesivamente y sin reposición para formar un número de tres cifras (la primera bola corresponde a las centenas, la segunda a las decenas y la tercera a las unidades; se admiten resultados que empiezan por $0$, como $047$).

1. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral $E$?
2. b) Describe el evento $S$ = "El número formado es capicúa".
3. c) Describe el evento $M$ = "El número formado es múltiplo de $5$ y mayor que $700$".

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Consideramos los eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ y $C = \{1, 2, 3\}$.

Halla los conjuntos resultantes de las siguientes operaciones y comprueba si se verifica alguna relación de inclusión entre ellos:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ representa el evento complementario de $C$.

La Oficina Nacional de Estadística e Información (ONEI) diseña un estudio sobre hábitos de movilidad sostenible en el que clasifica a los ciudadanos según tres sucesos compatibles: $A$ («utiliza habitualmente la bicicleta»), $B$ («utiliza habitualmente el transporte público») y $C$ («se desplaza habitualmente a pie»). Para un informe técnico, un analista formula la siguiente condición de inclusión de usuarios:\n$$S = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$$\nPara simplificar $S$ y deducir a qué suceso equivale de forma irreductible, se plantean dos caminos:\n- Método 1 (Álgebra directa de sucesos): Aplicar propiedades distributivas, asociativas y de complementariedad ($X \cup \overline{X} = E$).\n- Método 2 (Complementación y De Morgan): Negar dos veces la expresión total ($\overline{\overline{S}}$) y transformar las uniones en intersecciones de complementarios.\na) Desarrolla completamente el Método 1, indicando de forma explícita qué propiedad algebraica justifica cada paso hasta obtener la mínima expresión de $S$.\nb) Plantea el inicio del Método 2, analiza razonadamente las dificultades algebraicas que surgen frente al Método 1 y justifica cuál de los dos procedimientos es más eficiente y menos susceptible a errores para simplificar este tipo de expresiones.\nc) Utilizando la expresión reducida obtenida en (a), simplifica el suceso $\overline{S \cup B}$ aplicando rigurosamente las Leyes de De Morgan e interpreta su significado sociológico en el contexto de la movilidad urbana.

La Unión Nacional Eléctrica de Cuba modeliza la seguridad del suministro eléctrico entre una central de generación renovable $G$ y un polígono industrial $P$. La red dispone de tres interruptores automáticos: $I_1$, $I_2$ e $I_3$. La corriente fluye de $G$ hacia $P$ si se mantiene al menos una vía cerrada: una vía directa que depende exclusivamente del interruptor $I_1$, y una vía alternativa formada por los interruptores $I_2$ e $I_3$ conectados en serie (deben funcionar ambos simultáneamente para que la vía alternativa conduzca energía).\nSe consideran los eventos de avería en cada interruptor ante una sobrecarga: $F_1$ («falla el interruptor $I_1$»), $F_2$ («falla el interruptor $I_2$») y $F_3$ («falla el interruptor $I_3$»).\na) Modela en términos de $F_1$, $F_2$ y $F_3$, mediante operaciones de eventos ($\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}$):\n- El evento $C$: «se interrumpe totalmente el suministro eléctrico entre $G$ y $P$».\n- El evento $O$: «el suministro eléctrico entre $G$ y $P$ permanece operativo».\nb) Demuestra formalmente, mediante las Leyes de De Morgan y las propiedades distributivas del álgebra de eventos, que tu expresión de $O$ es rigurosamente igual al complementario de $C$ (es decir, $O = \overline{C}$).\nc) Supón que los interruptores $I_1$ e $I_2$ cuentan con un sistema físico diferencial compartido que impide que ambos fallen de manera simultánea, de modo que $F_1$ y $F_2$ son eventos incompatibles ($F_1 \cap F_2 = \emptyset$). Razona si esta restricción técnica permite simplificar la expresión booleana del evento de corte total $C$ y determina si los eventos $F_1$ y $(F_2 \cup F_3)$ son o no compatibles bajo dicha condición.