Ejercicios: Diagramas de árbol y tablas de contingencia

En un estudio sobre el uso de redes sociales en un instituto de Madrid, se ha observado que de un grupo de $100$ estudiantes de Bachillerato, $65$ utilizan TikTok habitualmente y $45$ utilizan Instagram. Además, se sabe que $25$ alumnos utilizan ambas plataformas.

Representa estos datos en una tabla de contingencia (con las filas «TikTok» y «No TikTok», las columnas «Instagram» y «No Instagram», y los totales de filas y columnas) y calcula la probabilidad de que, al elegir un estudiante al azar:

1. a) No utilice ninguna de las dos redes sociales.

1. b) Utilice TikTok, sabiendo que ya utiliza Instagram.

Una caja de suministros tecnológicos contiene $8$ ratones inalámbricos de color blanco y $4$ de color negro. Si se extraen sucesivamente dos ratones sin reemplazamiento:

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que describa todos los resultados posibles, indicando las probabilidades en cada rama.
2. b) Calcula la probabilidad de que los dos ratones extraídos sean del mismo color.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un estudiante de 2º de Bachillerato se presenta a un examen final de Física. Se sabe que el $70\%$ de los alumnos que estudiaron con la plataforma digital del centro aprobaron, mientras que solo el $40\%$ de los que no la usaron consiguieron el aprobado. Se estima que el $60\%$ de la clase utilizó dicha plataforma.

Utilizando un diagrama de árbol, determina:

1. a) La probabilidad de que un alumno elegido al azar haya aprobado el examen.
2. b) Si sabemos que un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya usado la plataforma digital?

En una academia de idiomas, los alumnos se dividen según el curso que realizan: el $50\%$ estudia Inglés, el $30\%$ Francés y el $20\%$ Alemán. Además, se sabe que el porcentaje de mujeres en cada curso es del $60\%$, $55\%$ y $45\%$ respectivamente.

Si se elige un estudiante al azar, construye una tabla de contingencia (considerando un total hipotético de 1000 estudiantes) y calcula:

1. a) La probabilidad de que el alumno sea hombre.
2. b) Sabiendo que el alumno es hombre, la probabilidad de que estudie Inglés.

Tenemos dos urnas preparadas para un sorteo. La Urna A contiene $3$ bolas verdes y $2$ rojas. La Urna B contiene $1$ bola verde y $4$ rojas. El experimento consiste en lanzar una moneda: si sale cara, extraemos una bola de la Urna A; si sale cruz, la extraemos de la Urna B.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol.
2. b) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

Un taller de reparación de celulares recibe dispositivos con dos tipos de averías principales: pantalla rota o batería defectuosa. El mes pasado, de los $200$ celulares reparados, $120$ tenían la pantalla rota, $70$ tenían problemas de batería y $30$ tenían ambos fallos.

Organiza la información en una tabla de contingencia y responde:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un celular elegido al azar tenga solo la pantalla rota?

1. b) Si el celular tiene la batería defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga la pantalla rota?

En una empresa de fabricación de componentes electrónicos, se utilizan dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, para producir chips. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los chips y el resto los produce $M_2$. El $2\%$ de los chips de $M_1$ son defectuosos, mientras que para $M_2$ el porcentaje de defectuosos es del $5\%$.

1. a) Construye el diagrama de árbol asociado a este proceso de producción.
2. b) Si se selecciona un chip al azar y resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina $M_1$?

Se ha realizado una encuesta a $80$ personas sobre sus hábitos de lectura en formato digital o papel. Los resultados muestran que $32$ personas leen exclusivamente en papel, $28$ personas leen en ambos formatos y el resto lee exclusivamente en digital.

1. a) Elabora una tabla de contingencia que resuma estos datos.
2. b) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar lea en formato digital.
3. c) Si sabemos que la persona lee en papel, ¿cuál es la probabilidad de que también lea en digital?

Pablo y Clara preparan una tómbola benéfica de fin de curso con una urna que contiene exactamente $10$ memorias USB aparentemente idénticas: $3$ son de $64\text{ GB}$ y $7$ son de $128\text{ GB}$. El juego consiste en extraer dos memorias consecutivamente sin reemplazo. Pablo quiere calcular la probabilidad de que ambas memorias sean de $64\text{ GB}$ y escribe en la pizarra:

$$P(\text{ambas de } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Cuando Clara le advierte de que el resultado está mal, Pablo se defiende diciendo: «La proporción de memorias de $64\text{ GB}$ en la caja es de $3$ de cada $10$; esa probabilidad es una propiedad fija de las memorias y no puede cambiar por el simple hecho de que yo saque una».

1. a) Explica razonadamente el error conceptual de Pablo. ¿Qué regla de los diagramas de árbol ha vulnerado y qué significa en este contexto que las ramas de la segunda etapa lleven escritas probabilidades condicionadas a lo ya ocurrido?
2. b) Modela el experimento describiendo las ramas que saldrían de cada nodo en un diagrama de árbol correcto (con sus probabilidades precisas).
3. c) Calcula la probabilidad real de que ambas memorias sean de $64\text{ GB}$ y la probabilidad de que al menos una de las dos sea de $128\text{ GB}$.

En un instituto de Asturias hay matriculados $200$ estudiantes en 2.º de Bachillerato. De ellos, $120$ cursan la modalidad de Ciencias y Tecnología, mientras que los $80$ restantes cursan Humanidades y Ciencias Sociales. Entre los estudiantes de Ciencias, $30$ han elegido Francés como optativa. Por su parte, entre los de Humanidades y Ciencias Sociales, $40$ estudian Francés.

1. a) Se plantean dos formas de organizar la información: un diagrama de árbol secuencial o una tabla de contingencia de doble entrada ($2 \times 2$). Razona cuál de las dos representaciones es más directa, limpia y adecuada cuando los datos describen características simultáneas de una población fija en vez de etapas temporales sucesivas.
2. b) Construye una tabla de contingencia completando todas sus celdas interiores (intersecciones) y sus totales marginales por filas y columnas a partir de los datos facilitados.
3. c) Utilizando exclusivamente las sumas y celdas de la tabla, calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar curse la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales sabiendo que no estudia Francés.

Una plataforma de streaming ofrece dos tipos de suscripciones: Estándar y Premium. Se sabe que el $60 \%$ de los usuarios tiene la suscripción Estándar, mientras que el resto tiene la Premium. De los usuarios con suscripción Estándar, el $25 \%$ consume contenido en resolución 4K, mientras que entre los usuarios Premium, este porcentaje asciende al $80 \%$.

Representa la situación mediante un diagrama de árbol y calcula:

1. a) La probabilidad de que un usuario elegido al azar consuma contenido en 4K.

1. b) Si sabemos que un usuario está viendo una película en 4K, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una suscripción Estándar?

En un instituto de Madrid se ha realizado una encuesta sobre el uso de redes sociales en los cursos de Bachillerato. Los datos se han organizado en la siguiente tabla de contingencia, aunque algunos valores se han perdido:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Total
1º Bachillerato	$45$		$110$
2º Bachillerato		$60$
Total	$85$		$210$

1. a) Completa la tabla de contingencia en tu cuaderno.
2. b) Si elegimos un alumno al azar y resulta ser de 2º de Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que su red preferida sea Instagram?
3. c) ¿Son independientes los sucesos "ser de 1º de Bachillerato" y "preferir TikTok"? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Una empresa tecnológica fabrica componentes para drones en tres factorías distintas: $F_1$, $F_2$ y $F_3$. El $40 \%$ de la producción total proviene de $F_1$, el $35 \%$ de $F_2$ y el resto de $F_3$. El control de calidad indica que el porcentaje de componentes defectuosos es del $3 \%$ en $F_1$, del $2 \%$ en $F_2$ y del $5 \%$ en $F_3$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un componente elegido al azar de la producción global no sea defectuoso.
2. b) Si un cliente compra un componente y este resulta ser defectuoso, ¿en qué factoría es más probable que se haya fabricado? Justifica el resultado aplicando el Teorema de Bayes.

Un analista de datos estudia la relación entre el uso de transporte público y la puntualidad de los empleados de una gran oficina. Tras observar a $500$ trabajadores, obtiene que $350$ usan el transporte público y el resto viene en vehículo privado. De los que usan el transporte público, el $10 \%$ llega tarde, mientras que de los que vienen en vehículo privado, el $20 \%$ llega tarde.

1. a) Organiza esta información en una tabla de contingencia de frecuencias absolutas.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador elegido al azar llegue puntual?
3. c) Si un trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en transporte público?

En un torneo de eSports, el comité organizador realiza pruebas de rendimiento a los jugadores. Se estima que un $5 \%$ de los participantes utiliza algún tipo de software prohibido (trampa). El test utilizado para detectar estas trampas tiene una fiabilidad del $98 \%$ (detecta el software si el jugador hace trampas), pero tiene un $2 \%$ de "falsos positivos" (indica que hay trampa cuando el jugador es legal).

1. a) Si se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el test de un resultado positivo (indicando trampa)?
2. b) Si el test de un jugador ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que esté haciendo trampas? Interpreta el resultado obtenido.

En un ciclo formativo hay $10$ estudiantes realizando las prácticas en empresa, de los cuales $6$ están en empresas tecnológicas y $4$ en empresas industriales. Se eligen dos estudiantes al azar de forma consecutiva y sin reemplazamiento.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol detallando las probabilidades en cada rama.
2. b) Calcula la probabilidad de que los dos estudiantes elegidos estén en el mismo tipo de empresa.
3. c) Calcula la probabilidad de que al menos uno esté en una empresa tecnológica.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se estudia el hábito de lectura de dos grupos de personas: Jóvenes (menores de 25 años) y Adultos. Se sabe que el $70 \%$ de los encuestados son Adultos. El $40 \%$ de los Jóvenes lee al menos un libro al mes, mientras que el $60 \%$ de los Adultos lo hace.

1. a) Construye la tabla de contingencia de probabilidades asociadas (frecuencias relativas).
2. b) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar lea al menos un libro al mes.
3. c) Si una persona afirma que no lee ningún libro al mes, ¿cuál es la probabilidad de que sea Joven?

Una aplicación de navegación GPS estima el tiempo de llegada a destino basándose en el tráfico. Si el tráfico es fluido (probabilidad $0,7$), la aplicación acierta en el tiempo estimado el $90 \%$ de las veces. Si el tráfico es denso, solo acierta el $40 \%$ de las veces.

1. a) Calcula la probabilidad de que la aplicación no acierte en su estimación de tiempo.
2. b) Si hoy la aplicación ha fallado en su predicción, ¿cuál es la probabilidad de que el tráfico fuera fluido?

En el corredor ferroviario La Habana-Santiago de Cuba compiten tres operadores de transporte de viajeros: Ferrocarriles de Cuba, que gestiona el $50\,\%$ de los trayectos diarios; Occidente Rail, que opera el $30\,\%$; y Oriente Express, que cubre el $20\,\%$ restante. Según datos de puntualidad, la probabilidad de que un tren sufra un retraso superior a $15$ minutos es del $3\,\%$ para Ferrocarriles de Cuba, del $5\,\%$ para Occidente Rail y del $10\,\%$ para Oriente Express.

1. a) Modela la elección y el trayecto de un viajero tomado al azar mediante un diagrama de árbol en el que figuren todos los sucesos simples, sus probabilidades marginales y las probabilidades condicionadas de demora.
2. b) Si un tren seleccionado al azar llega a su destino sin sufrir retraso (es decir, puntual o con menos de $15$ minutos de demora), ¿cuál es la probabilidad de que el servicio haya sido operado por Oriente Express?
3. c) Una asociación de consumidores argumenta en redes sociales: «Puesto que Oriente Express presenta la mayor tasa de retrasos con diferencia ($10\,\%$), ante un tren que llega con retraso a la estación de Santiago de Cuba lo más probable es que pertenezca a Oriente Express». Demuestra formalmente, calculando las probabilidades a posteriori de cada compañía ante un tren retrasado, si esta afirmación es verdadera o falsa, y razona qué peso ejerce la cuota de mercado en la conclusión.

Un sistema de seguridad informática de una infraestructura crítica en España consta de tres barreras de filtrado secuenciales para detectar intentos de intrusión (ataques de fuerza bruta).

1. La Barrera A detecta el $95 \%$ de los ataques, pero deja pasar el resto.

2. La Barrera B recibe lo que la Barrera A no ha detectado. Esta barrera tiene una probabilidad de acierto del $80 \%$.

3. La Barrera C es el último recurso y detecta el $60 \%$ de los ataques remanentes.

Sin embargo, el sistema no es perfecto y a veces genera falsas alarmas (detecta un tráfico legítimo como ataque). Se sabe que la probabilidad de que un paquete de datos sea un ataque real es de $0,001$. Las probabilidades de falsa alarma son del $1 \%$ para la Barrera A, $2 \%$ para la Barrera B y $5 \%$ para la Barrera C.

Utilizando un diagrama de árbol, calcula:

1. a) La probabilidad de que un paquete de datos sea bloqueado por el sistema (es decir, que sea detectado por cualquiera de las tres barreras).

1. b) Si el sistema acaba de bloquear un paquete de datos, ¿cuál es la probabilidad de que se trate realmente de un ataque informático y no de una falsa alarma?

En una prestigiosa academia de e-sports, los jugadores se clasifican según su rendimiento en dos categorías: Élite ($E$) y Promesa ($P$). Se ha realizado un estudio sobre el uso de teclados mecánicos ($M$) y teclados de membrana ($\bar{M}$).

Se sabe que el $30 \%$ de los jugadores son de categoría Élite. Además, entre los jugadores Promesa, la probabilidad de que usen teclado de membrana es el doble que la de que usen teclado mecánico. Por último, se sabe que la probabilidad de que un jugador elegido al azar sea Élite y use teclado mecánico es de $0,24$.

1. a) Construye la tabla de contingencia completa con las probabilidades de cada evento.

1. b) Calcula la probabilidad de que un jugador use teclado mecánico.

1. c) Si seleccionamos un jugador que utiliza teclado mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría Promesa?

1. d) ¿Son independientes los eventos "ser jugador Élite" y "usar teclado mecánico"? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un laboratorio farmacéutico está analizando la eficacia de un nuevo test de detección de una variante de virus respiratorio. Se sabe que en la población actual, la prevalencia de la enfermedad es del $5 \%$.

El test tiene una particularidad: si se aplica a una persona enferma, da positivo en el $98 \%$ de los casos. Si se aplica a una persona sana, da negativo en el $96 \%$ de los casos. Ante la sospecha de un error en una campaña de testeo masivo, se decide que todas las personas que den positivo en el primer test se sometan a un segundo test idéntico e independiente del primero.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol para una persona elegida al azar de la población que se somete al proceso completo si es necesario.

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de la población dé positivo en el segundo test (sabiendo que ya dio positivo en el primero)?

1. c) Si una persona ha dado positivo en los dos tests, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma? Comenta el resultado comparándolo con la probabilidad tras un único test positivo.

En un taller de tecnología, dos urnas contienen piezas fabricadas con distintos materiales para un proyecto.

• La Urna A contiene 6 piezas de bioplástico (PLA) y 4 piezas de resina.

• La Urna B contiene 3 piezas de PLA y 7 piezas de resina.

El experimento consiste en lo siguiente: se extrae una pieza al azar de la Urna A y se introduce en la Urna B sin ver su material. A continuación, se extraen dos piezas simultáneamente de la Urna B.

1. a) Calcula la probabilidad de que las dos piezas extraídas de la Urna B sean de resina.

1. b) Si sabemos que las dos piezas extraídas de la Urna B han sido de resina, ¿cuál es la probabilidad de que la pieza transferida desde la Urna A fuera de PLA?

Un algoritmo de recomendación de una plataforma de streaming de música utiliza tres modelos distintos ($M_1, M_2, M_3$) para sugerir canciones a los usuarios. El $40 \%$ de las veces usa $M_1$, el $35 \%$ usa $M_2$ y el resto de veces usa $M_3$.

La probabilidad de que un usuario le dé "like" a una canción sugerida por $M_1$ es de $0,3$. Si la canción es sugerida por $M_2$, la probabilidad es de $0,45$. Se sabe que la probabilidad total de que un usuario dé "like" a una canción elegida al azar es de $0,4325$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un usuario dé "like" a una canción sugerida por el tercer modelo, $M_3$.

1. b) Si un usuario ha dado "dislike" (evento contrario a "like") a una canción, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido sugerida por el modelo $M_1$?

1. c) Se seleccionan tres canciones sugeridas de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas reciba un "like"?

En una encuesta realizada a los alumnos de 2º de Bachillerato sobre sus preferencias de estudio tras el instituto, se han obtenido los siguientes datos representados parcialmente en esta tabla de contingencia. Las variables son el Género ($H$ para hombre, $M$ para mujer) y el Área de Interés ($I$ para Ingeniería, $S$ para Salud, $O$ para Otras).

Sabiendo que el suceso "ser mujer" y "tener interés en ingeniería" son sucesos independientes, y que hay el mismo número total de hombres que de mujeres en la muestra de 200 personas:

	Ingeniería ($I$)	Salud ($S$)	Otras ($O$)	Total
Hombre ($H$)	40
Mujer ($M$)		45
Total		75		200

1. a) Completa razonadamente la tabla de contingencia.

1. b) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga interés en Salud o sea hombre.

1. c) Si elegimos a un alumno que no tiene interés en Ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Un robot de exploración autónoma en Marte tiene dos sensores para detectar la presencia de depósitos de hielo bajo la superficie. El Sensor Principal detecta hielo con una probabilidad de $0,9$ cuando este existe, pero también da un falso positivo (indica hielo cuando no lo hay) el $5 \%$ de las veces.

Se sabe que el robot explora una zona donde la probabilidad a priori de encontrar hielo es del $15 \%$.

El robot está programado para enviar una señal de confirmación solo si el Sensor Principal detecta hielo. Sin embargo, para ahorrar energía, si el Sensor Principal detecta hielo, se activa automáticamente un Sensor de Respaldo cuya probabilidad de acierto es del $95 \%$ (tanto para confirmar presencia como para confirmar ausencia).

1. a) Calcula la probabilidad de que el robot envíe una señal indicando que el Sensor Principal ha detectado hielo.

1. b) Si el Sensor Principal ha detectado hielo, ¿cuál es la probabilidad de que el Sensor de Respaldo no detecte hielo?

1. c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya realmente hielo si ambos sensores han dado positivo?

Dos amigos, Lucía y Carlos, juegan a un videojuego de estrategia por turnos. Lucía es más experimentada y gana el $60 \%$ de las partidas individuales (esta es la probabilidad de que gane la primera partida). Deciden jugar un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas gana el torneo).

Debido al cansancio y al aprendizaje durante el juego, las probabilidades no son constantes:

• Si Lucía gana una partida, la probabilidad de que gane la siguiente aumenta a $0,7$.

• Si Lucía pierde una partida, la probabilidad de que gane la siguiente baja a $0,5$.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que representa el desarrollo del torneo, indicando en cada rama su probabilidad y, al final de cada camino, quién gana el torneo.

1. b) Calcula la probabilidad de que Carlos gane el torneo.

1. c) Si el torneo ha durado exactamente tres partidas, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya ganado Lucía?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un juicio penal celebrado en un Tribunal Provincial se analiza una muestra biológica encontrada en el lugar del delito. El informe pericial determina que el perfil genético hallado coincide con el del acusado. El laboratorio forense certifica que la prueba tiene una sensibilidad del $100\,\%$ (si una persona es culpable, la prueba siempre coincide) y que la probabilidad de que una persona inocente presente este mismo perfil por puro azar genético es de $1$ entre $10.000$ ($P(\text{Coincidencia} \mid \text{Inocente}) = 0,0001$).

Durante su informe final, el fiscal expone: «Señores del tribunal, la probabilidad de que una persona inocente tenga este perfil genético es de apenas el $0,01\,\%$. En consecuencia, la probabilidad de que el acusado sea inocente es de solo el $0,01\,\%$, lo que demuestra su culpabilidad más allá de toda duda razonable con una probabilidad del $99,99\,\%$.»

Para contrastar esta afirmación, el tribunal delimita una población de referencia de $100.000$ personas entre las cuales se tiene la certeza de que se encuentra el único autor material del delito.

1. a) Identifica con precisión matemática el error de razonamiento cometido por el fiscal (conocido como «falacia del fiscal»). Escribe, empleando la notación formal de eventos y probabilidad condicionada, qué probabilidad es la que realmente aporta el informe forense y qué probabilidad es la que el fiscal asegura haber demostrado.
2. b) Modela la situación de los $100.000$ sospechosos mediante una tabla de contingencia de $2 \times 2$ (Culpable / Inocente frente a Coincidencia / No coincidencia de ADN), deduciendo el número esperado de individuos que ocupará cada una de las cuatro celdas interiores.
3. c) A partir de los valores de la tabla de contingencia, calcula la probabilidad real de que el acusado sea culpable sabiendo que su ADN coincide con la muestra, es decir, $P(\text{Culpable} \mid \text{Coincidencia})$.
4. d) Interpreta la diferencia radical entre el porcentaje esgrimido por el fiscal y el valor obtenido en el apartado anterior. Explica qué relación guarda este fenómeno con el tamaño del colectivo de sospechosos y por qué una coincidencia técnica muy fiable no equivale automáticamente a culpabilidad.