Ejercicios: Probabilidad condicionada

En una convención de aficionados al mundo del gaming, se sortea una consola de última generación entre los asistentes. Participan 120 personas de La Habana, 80 de Santiago de Cuba y 50 de Holguín. Además, se sabe que el 60 % de los participantes totales son menores de 18 años. Si se elige un ganador al azar, calcula:

1. a) El espacio muestral asociado al origen de los participantes.

1. b) La probabilidad de que el ganador sea de La Habana.

1. c) La probabilidad de que el ganador sea mayor de edad.

Un analista de redes sociales estudia el comportamiento de los adolescentes en dos plataformas: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Tras encuestar a un grupo de bachillerato, obtiene que la probabilidad de que un alumno use TikTok es $P(T) = 0,75$, la de que use Instagram es $P(I) = 0,60$ y la de que use ambas plataformas es $P(T \cap I) = 0,45$.

El diagrama de Venn recoge estos datos; las regiones marcadas con «?» son probabilidades que no se conocen todavía.

Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar:

1. a) Use TikTok o Instagram.
2. b) Use TikTok pero no Instagram ($T - I$).
3. c) No use ninguna de las dos plataformas.

En una academia de idiomas, el 40 % de los estudiantes están inscritos en el curso de Alemán ($A$). De los estudiantes inscritos en Alemán, el 30 % también asiste a clases de conversación ($C$). Si se selecciona un estudiante de la academia al azar, determina:

1. a) La probabilidad de que un alumno esté inscrito en Alemán y asista a clases de conversación.
2. b) Sabiendo que un alumno está en Alemán, ¿cuál es la probabilidad de que no asista a clases de conversación?

Sean $A$ y $B$ dos eventos independientes asociados a un experimento aleatorio, tales que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,5$. Halla las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Se realiza un estudio sobre la posesión de mascotas en un grupo de 100 personas. Los resultados se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

1. a) Completa la tabla de contingencia.
2. b) Si elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga perro y gato?
3. c) Sabiendo que la persona elegida tiene perro, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga gato?

Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen sucesivamente dos bolas con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la segunda). Representa la situación mediante un diagrama de árbol y calcula:

1. a) La probabilidad de que ambas bolas sean blancas.
2. b) La probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca.
3. c) La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.

En un centro de salud, se estima que la probabilidad de que un paciente tenga gripe es $P(G) = 0,15$. Se sabe que si un paciente tiene gripe, la probabilidad de que presente fiebre es de $0,90$, mientras que si no tiene gripe, la probabilidad de presentar fiebre se reduce al $0,10$.

Si se elige un paciente al azar y presenta fiebre, ¿qué nombre recibe la probabilidad condicionada $P(G|F)$ y qué teorema se utiliza habitualmente para calcularla? (No es necesario realizar el cálculo numérico final, solo identificar los conceptos).

Se lanzan simultáneamente dos dados equilibrados de seis caras. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

1. a) Obtener una suma de puntos igual a 7.
2. b) Sabiendo que en el primer dado ha salido un número par, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?
3. c) ¿Son los eventos "suma igual a 7" y "primer dado par" independientes? Justifica tu respuesta comparando $P(S=7|Par)$ con $P(S=7)$.

En un instituto de secundaria se han recogido datos de 200 estudiantes de 2.º de Bachillerato sobre dos sucesos: $A$ (aprobar el examen de Matemáticas) y $B$ (asistir habitualmente a la biblioteca del centro). El registro muestra que 120 asisten a la biblioteca, 90 aprueban el examen y 60 realizan ambas cosas.

Marcos quiere calcular la probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas sabiendo que asiste a la biblioteca, y escribe en su examen:

1. a) Identifica con precisión qué probabilidad ha calculado realmente Marcos y explica cuál es el error conceptual de su planteamiento respecto a la definición de probabilidad condicionada y el cambio de espacio muestral.
2. b) Corrige el cálculo determinando el valor correcto de $P(A|B)$.
3. c) Justifica formalmente si para este grupo de estudiantes asistir a la biblioteca y aprobar Matemáticas son sucesos estadísticamente independientes.

Según datos de la Comisión Nacional de Seguridad Vial sobre la obtención de la licencia de conducción categoría B en una provincia, el $40\%$ de los aspirantes aprueba el examen práctico en su primera convocatoria (suceso $A$). Por otro lado, el $30\%$ de los aspirantes realiza previamente un curso intensivo en simulador (suceso $S$), y se sabe que el $20\%$ del total de aspirantes realiza el curso en simulador y además aprueba a la primera.

1. a) Modela la situación definiendo los sucesos con su notación de probabilidad correspondiente e indica el valor de $P(A)$, $P(S)$ y $P(A \cap S)$.
2. b) Si se elige al azar un aspirante que ha realizado el curso en simulador, calcula la probabilidad de que apruebe el examen práctico a la primera.
3. c) A la vista de los resultados, ¿realizar el curso en simulador modifica la probabilidad de aprobar a la primera o son sucesos independientes? Justifica tu respuesta comparando $P(A|S)$ con $P(A)$.

En una plataforma de streaming, el $60\%$ de los usuarios ve series de ciencia ficción (evento $S$) y el $45\%$ ve documentales (evento $D$). Se sabe que el $20\%$ de los usuarios disfruta de ambos géneros. Si seleccionamos un usuario al azar del que sabemos que ve series de ciencia ficción, calcula la probabilidad de que también vea documentales. ¿Son los eventos "ver series de ciencia ficción" y "ver documentales" independientes? Razona la respuesta.

Un centro de tecnificación deportiva analiza el rendimiento de sus 120 atletas. Se observa que 65 de ellos siguen una dieta específica, 70 realizan entrenamientos de alta intensidad y 40 cumplen ambas condiciones.

1. Organiza los datos en una tabla de contingencia.

2. Si elegimos un atleta al azar y resulta que no realiza entrenamientos de alta intensidad, ¿cuál es la probabilidad de que sí siga la dieta específica?

3. Si el atleta elegido no sigue la dieta, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco realice entrenamientos de alta intensidad?

Una aplicación de música tiene dos listas de reproducción. La lista $A$ contiene 8 canciones de pop y 4 de rock. La lista $B$ contiene 5 canciones de pop y 7 de rock. Lanzamos un dado equilibrado: si sale un número menor que 3, la aplicación reproduce una canción al azar de la lista $A$; en caso contrario, la reproduce de la lista $B$.

1. Calcula la probabilidad de que la canción reproducida sea de rock.

2. Si la canción reproducida resultó ser de pop, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la lista $A$?

En un control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que el suceso $F$ (el componente tiene un fallo de soldadura) tiene una probabilidad $P(F) = 0,08$, y el suceso $C$ (el componente tiene un fallo de carcasa) tiene una probabilidad $P(C) = 0,12$. Si ambos sucesos son independientes, calcula:

1. La probabilidad de que un componente tenga ambos fallos.

2. La probabilidad de que tenga algún fallo.

3. La probabilidad de que no tenga ningún fallo.

4. Sabiendo que el componente tiene un fallo de carcasa, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga fallo de soldadura?

Un test para detectar una vulnerabilidad de seguridad en servidores informáticos da positivo en el $98\%$ de los servidores que realmente están infectados. Sin embargo, da un "falso positivo" (positivo en servidores sanos) en el $2\%$ de los casos. Se estima que en una red empresarial el $1\%$ de los servidores están infectados.

1. Si un servidor da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté infectado?

2. Interpreta si el test es fiable para su uso masivo en esta red basándote en el resultado anterior.

Se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula las siguientes probabilidades:

1. Que la segunda carta sea un Rey, sabiendo que la primera fue un As.

2. Que la segunda carta sea un Rey, sabiendo que la primera también fue un Rey.

3. Que las dos cartas sean figuras (Sota, Caballo o Rey).

4. Sabiendo que la segunda carta ha sido un Oro, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo fuera?

Una empresa de logística reparte paquetes en tres distritos: Norte ($40\%$), Centro ($35\%$) y Sur ($25\%$). El porcentaje de entregas con retraso es del $5\%$ en el Norte, del $8\%$ en el Centro y del $12\%$ en el Sur.

1. Si seleccionamos un paquete al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido entregado a tiempo?

2. Si un paquete se entregó con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que fuera destinado al distrito Sur?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ y $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcula $P(A \cap B)$.

2. Calcula $P(B)$.

3. Calcula $P(A|B)$.

4. Determina si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles y si son independientes. Razona tus conclusiones.

En una zona ganadera se aplica una prueba diagnóstica para detectar una infección bacteriana cuya prevalencia es muy baja: solo el $2\%$ del ganado está infectado (evento $E$). El test veterinario tiene una sensibilidad del $95\%$ (probabilidad de dar positivo estando infectado, $P(+|E) = 0,95$) y una tasa de falsos positivos del $5\%$ (probabilidad de dar positivo en un animal sano, $P(+|\overline{E}) = 0,05$).

1. a) Antes de calcular nada, estima de forma intuitiva: si se toma una res al azar y su test da positivo, ¿crees que la probabilidad de que realmente esté infectada estará por encima del $80\%$, cerca del $50\%$ o por debajo del $30\%$? Redacta tu estimación razonando en una o dos líneas tu primera impresión.
2. b) Modela el problema mediante la regla de la probabilidad total y calcula con rigor la probabilidad condicionada $P(E|+)$.
3. c) Compara el resultado matemático obtenido con tu estimación previa. Justifica por qué el resultado resulta antiintuitivo para muchas personas y explica cómo condiciona la prevalencia global de la infección sobre la fiabilidad final del resultado positivo.

En las pruebas de ingreso a la educación superior de una provincia se analizan las matrículas en dos asignaturas de la especialidad: Dibujo Técnico ($D$) y Física ($F$). A partir de las actas oficiales se constata que la probabilidad de que un estudiante elija Dibujo Técnico es $P(D) = 0,35$ y la probabilidad de que elija al menos una de las dos asignaturas es $P(D \cup F) = 0,74$.

1. a) Plantea una ecuación y determina qué valor exacto debería tener la probabilidad a priori de matricularse en Física, $P(F)$, para que la elección de ambas asignaturas fuese totalmente independiente.
2. b) La realidad de la provincia muestra que no son independientes y que la probabilidad condicionada de elegir Dibujo sabiendo que se ha elegido Física es $P(D|F) = 0,40$. Calcula la probabilidad real de matricularse en Física, $P(F)$, y la probabilidad condicionada inversa $P(F|D)$.
3. c) Con los datos del apartado b), construye la tabla de contingencia completa de probabilidades para los eventos $D$, $\overline{D}$, $F$ y $\overline{F}$.

En un laboratorio de biotecnología se investiga la resistencia de una bacteria a dos tipos de antibióticos, $A$ y $B$. Se sabe que la probabilidad de que la bacteria sea resistente al antibiótico $A$ es $P(A) = 0,65$ y la probabilidad de que sea resistente al antibiótico $B$ es $P(B) = 0,48$. Además, se ha determinado que la probabilidad de que no sea resistente a ninguno de los dos es del $12\%$.

Calcula razonadamente:

1. a) La probabilidad de que la bacteria sea resistente a $A$ sabiendo que es resistente a $B$.
2. b) La probabilidad de que sea resistente a solo uno de los dos antibióticos.
3. c) ¿Son los eventos "ser resistente a $A$" y "ser resistente a $B$" independientes? Justifica tu respuesta mediante cálculos.

Una empresa de mensajería utiliza tres rutas distintas ($R_1, R_2, R_3$) para repartir paquetes en una gran ciudad. El $30\%$ de los envíos se asignan a la ruta $R_1$, el $45\%$ a la ruta $R_2$ y el resto a la ruta $R_3$. Se sabe por experiencias pasadas que las probabilidades de que un paquete llegue con retraso en cada ruta son del $4\%$, $6\%$ y $2\%$ respectivamente.

Si seleccionamos un paquete al azar y observamos que ha llegado con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que NO haya seguido la ruta $R_2$?

Un sistema de seguridad para un servidor crítico está compuesto por dos componentes, $C_1$ y $C_2$, conectados en paralelo, lo que significa que el sistema funciona si al menos uno de los componentes funciona. La probabilidad de que el componente $C_1$ falle en un año es de $0,05$ y la de que falle $C_2$ es de $0,08$. Los fallos de los componentes son eventos independientes.

Calcula:

1. a) La probabilidad de que el sistema funcione correctamente durante un año.
2. b) Sabiendo que el sistema ha funcionado correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que el componente $C_1$ haya fallado?

En un torneo de e-sports, un jugador tiene que superar dos fases. La probabilidad de superar la primera fase es de $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es de $0,5$. Sin embargo, si no supera la primera, tiene una oportunidad de repesca donde la probabilidad de pasar directamente a la final (saltándose la segunda fase) es de solo $0,2$.

1. a) Calcula la probabilidad de que el jugador llegue a la final (ya sea superando las dos fases o por la repesca).
2. b) Si el jugador ha llegado a la final, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya conseguido a través de la repesca?

Disponemos de dos urnas con bolas de colores. La urna $U_1$ contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. La urna $U_2$ contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extrae una bola al azar de la urna $U_1$ y, sin mirar su color, se introduce en la urna $U_2$. A continuación, se extrae una bola de la urna $U_2$.

Calcula:

1. a) La probabilidad de que la bola extraída de la segunda urna sea blanca.
2. b) Si la bola extraída de la segunda urna es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola trasvasada de la primera a la segunda fuera negra?

Se ha realizado un test diagnóstico para detectar una vulnerabilidad en un software de gestión. El $5\%$ de las aplicaciones analizadas contienen dicha vulnerabilidad. El test da positivo en el $98\%$ de los casos en que la vulnerabilidad está presente, pero también da un $2\%$ de falsos positivos (da positivo cuando la aplicación es segura).

1. a) Si el test da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la aplicación realmente tenga la vulnerabilidad?
2. b) Si el test da negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la aplicación sea realmente segura?
3. c) Interpreta los resultados: ¿es el test más fiable para confirmar la vulnerabilidad o para descartarla?

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que las probabilidades condicionadas verifican $P(A|B) = 0,25$ y $P(B|A) = 0,4$. Si sabemos que la probabilidad de la unión de ambos es $P(A \cup B) = 0,55$, calcula los valores de $P(A)$ y $P(B)$.

En un centro de alto rendimiento deportivo, el $40\%$ de los atletas entrena natación ($N$), el $30\%$ entrena ciclismo ($C$) y el resto entrena carrera a pie ($R$). La probabilidad de sufrir una lesión muscular a lo largo de la temporada es de $0,15$ para los nadadores, $0,20$ para los ciclistas y $0,35$ para los corredores.

1. a) Determina la probabilidad de que un atleta elegido al azar sufra una lesión muscular.
2. b) Si un atleta no ha sufrido ninguna lesión, ¿cuál es la probabilidad de que su especialidad sea la natación?
3. c) ¿Son los eventos "entrenar ciclismo" y "sufrir una lesión" independientes? Demuéstralo.

Un informe de ciberseguridad sobre pequeñas y medianas empresas españolas evalúa la eficacia de un cortafuegos ante intrusiones externas. Se conocen tres hechos:

• El $8\%$ de las empresas sufre un intento serio de intrusión mensual (evento $I$).

• Si una empresa sufre un intento de intrusión, el cortafuegos genera una alerta con probabilidad $P(A|I) = 0,90$.

• Si la empresa no sufre ninguna intrusión, existe un $3\%$ de probabilidad de falsa alarma por fallos del sistema, es decir, $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

El equipo directivo necesita conocer la probabilidad de que, habiendo sonado la alerta, se trate en realidad de una falsa alarma ($P(\overline{I}|A)$), así como la probabilidad de que el sistema permanezca en silencio y no haya intrusión ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Resuelve el problema aplicando dos métodos diferentes:

• Método 1: Diagrama en árbol y cálculo con fórmulas formales de probabilidad condicionada y teorema de la probabilidad total.

• Método 2: Tabla de contingencia con frecuencias absolutas proyectadas sobre una población hipotética de $10.000$ empresas.

1. b) Analiza y compara ambos métodos: ¿cuál de los dos reduce con mayor eficacia el riesgo de confundir $P(A|\overline{I})$ con $P(\overline{I}|A)$ al interpretar los resultados? Justifica tu respuesta argumentando cómo representa cada técnica el nuevo espacio muestral reducido.

A partir de los microdatos de la Encuesta de Población Activa (EPA) en una comunidad autónoma, se estudian dos sucesos laborales en la franja de jóvenes de 18 a 24 años: cursar estudios reglados ($E$) y tener un empleo remunerado ($T$). Las tasas estimadas son $P(E) = 0,55$ y $P(T) = 0,30$.

Un estudiante afirma: «Como estudiar a tiempo completo y trabajar son situaciones difícilmente compatibles, los sucesos son incompatibles, y por ello son también independientes porque uno no depende del otro».

1. a) Demuestra formalmente que dos sucesos $A$ y $B$ con probabilidades no nulas ($P(A) > 0$ y $P(B) > 0$) no pueden ser nunca incompatibles e independientes a la vez. Explica con palabras el error conceptual del estudiante.
2. b) Si los datos de la encuesta indican que el $40\%$ de los jóvenes ni estudia ni trabaja ($P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,40$), calcula la probabilidad de que un joven tenga empleo sabiendo que cursa estudios, $P(T|E)$, aplicando las leyes de De Morgan y las propiedades de la probabilidad condicionada.
3. c) A la vista del valor de $P(T|E)$ comparado con $P(T)$, determina razonadamente si la condición de cursar estudios favorece, perjudica o es independiente respecto a la probabilidad de estar empleado en dicha población.