Ejercicios: Distancias en el espacio

En un entorno de desarrollo de un videojuego en 3D, dos objetos están situados en los puntos $A(2, -3, 1)$ y $B(6, 1, 1)$, donde las unidades están en metros. Calcula la distancia que separa a ambos objetos para programar una colisión si esta es menor de 5 metros.

Una antena emisora de telefonía se encuentra en el punto $P(1, 2, -3)$. Se sabe que la señal es interceptada de forma óptima por un panel reflector plano cuya ecuación es $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distancia mínima que debe recorrer la onda desde la antena hasta el panel.

En el diseño de una sala de exposiciones, el suelo y el techo se han modelado como dos planos paralelos de ecuaciones $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ y $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Halla la altura de la sala.

El gancho de una grúa de obra está suspendido en la posición $Q(4, -3, 12)$. Los técnicos necesitan conocer la distancia del gancho al eje de cotas (eje $OZ$). Calcula dicha distancia para verificar el espacio libre de giro de la grúa respecto al eje vertical de referencia.

Considera el punto $A(1, 5, -2)$ y la recta $r$ definida por sus ecuaciones paramétricas:

Halla la distancia del punto $A$ a la recta $r$ aplicando la fórmula del producto vectorial.

Un sensor de profundidad láser se encuentra en el punto $S(5, -7, 4)$. El láser apunta directamente hacia la pared lateral, representada por el plano coordenado $XZ$. ¿A qué distancia se encuentra el sensor de dicha pared?

Se ha instalado un raíl metálico para un robot industrial que sigue la trayectoria de la recta:

Si el suelo de la fábrica es el plano $\pi: x - 2z + 5 = 0$, comprueba primero que el raíl es paralelo al suelo y calcula después la distancia de seguridad a la que se encuentra el raíl del mismo.

Calcula las coordenadas de los puntos del eje de abscisas (eje $OX$) cuya distancia al punto $P(3, 2, 2)$ es exactamente de $\sqrt{8}$ unidades. Explica por qué obtienes una única solución geométricamente.

En un examen de 2.º de Bachillerato se pide calcular la distancia entre los dos planos paralelos $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ y $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$. Lucas escribe en su examen la siguiente resolución:

«Como los planos son paralelos, resto directamente los términos independientes y divido entre el módulo del vector normal de $\pi_1$:

1. Localiza el error conceptual que comete Lucas al aplicar la fórmula directamente con los coeficientes dados.

2. Explica geométricamente por qué la fórmula simplificada de la resta de términos independientes solo es válida cuando las ecuaciones tienen exactamente el mismo vector normal (o cómo se resolvería de forma segura eligiendo un punto de uno de los planos).

3. Corrige el cálculo y halla la distancia real y exacta entre $\pi_1$ y $\pi_2$.

Se considera el punto $P(4, 3, 7)$ y la recta vertical $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, que es paralela al eje $Z$.

1. Estima y razona: Antes de aplicar ninguna fórmula, analiza la posición de $P$ y de la recta $r$. Razona por qué la cota (coordenada $z$) de $P$ no debe influir en la distancia mínima a la recta vertical $r$, y haz una deducción del valor exacto que debería tener dicha distancia basándote únicamente en las coordenadas $x$ e $y$ proyectadas en el plano $z = 0$.

2. Comprueba: Escribe la recta $r$ en forma continua o paramétrica, elige un punto $A \in r$, su vector director $\vec{v}$, y calcula formalmente la distancia aplicando la fórmula tridimensional del producto vectorial: $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Comprueba si el resultado coincide con tu deducción previa y razona qué magnitud geométrica representa el vector $\vec{AP} \times \vec{v}$ en este contexto.

Un cohete de sondeo sigue una trayectoria lineal definida por la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. El cohete debe enviar una señal a la estación de seguimiento situada en el punto $P(5, -1, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cohete de la estación de seguimiento durante su vuelo.

Se están diseñando las estructuras de soporte de un pabellón. Dos de las vigas principales se modelizan mediante las rectas $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ y $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distancia mínima que separa a ambas vigas para comprobar si es necesario instalar un conector de seguridad entre ellas.

En una excavación arqueológica, se ha determinado que el suelo original de una estancia se encuentra sobre el plano $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$. Un equipo de sensores se desplaza sobre una guía metálica representada por la recta $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 4\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$.

1. a) Comprueba que la guía es paralela al suelo de la estancia.
2. b) Calcula la distancia constante a la que se encuentran los sensores del suelo.

Halla las coordenadas de los puntos de la recta $r \equiv x = y = z$ que se encuentran a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades del plano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Determina el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos $A(1, -2, 3)$ y $B(3, 0, 1)$. ¿Qué figura geométrica representa? Calcula la distancia desde el origen de coordenadas a dicho lugar geométrico.

Considera el cubo de arista 4 unidades con un vértice en el origen $(0,0,0)$ y sus aristas situadas sobre los ejes positivos de coordenadas. Calcula la distancia desde el vértice $V(4, 4, 4)$ a la diagonal del cubo que une los puntos $(4, 0, 0)$ y $(0, 4, 0)$.

Un haz de luz láser sale del punto $A(1, 1, 1)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, 0, 2)$. Queremos colocar un espejo plano paralelo al plano $XY$ de modo que la distancia del punto $A$ al espejo sea de 5 unidades.

1. a) Halla las dos posibles ecuaciones de los planos que contienen al espejo.
2. b) Calcula la distancia desde el origen a cada uno de esos planos.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la distancia entre los planos paralelos $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sea de 3 unidades. Explica por qué existen dos posibles valores para $k$.

Se desea proyectar una galería subterránea de ventilación cuyo eje central sigue la recta:

Para protegerla, se van a construir dos pantallas planas paralelas a la familia de planos con vector normal $\vec{n} = (2, 1, -2)$.

1. Explica razonadamente por qué, si la recta $r$ no fuese paralela a los planos de dicha familia, carecería de sentido plantear la búsqueda de planos de la familia que se encuentren a una distancia constante no nula de la recta. Comprueba analíticamente que en este caso $r$ sí es paralela a estos planos.

2. Escribe la ecuación general de la familia de planos paralelos $\pi_D \equiv 2x + y - 2z + D = 0$ y determina los dos valores posibles del parámetro $D$ para que la distancia de la recta $r$ al plano correspondiente sea exactamente de $5\text{ metros}$.

3. A partir de los valores de $D$ hallados, deduce directamente (sin volver a aplicar la fórmula de distancia) cuál es la distancia que separa a ambas pantallas planas entre sí, justificando tu respuesta.

La Empresa Cubana de Navegación Aérea (ECASA) monitoriza en su centro de control la trayectoria de dos aeronaves en ruta comercial dentro del espacio aéreo nacional. Tomando como referencia un sistema cartesiano con distancias en kilómetros, las trayectorias rectilíneas de ambos vuelos vienen descritas por:

1. Demuestra analíticamente que las trayectorias no son paralelas ni se cortan en ningún punto (es decir, que se cruzan en el espacio).

2. El protocolo de seguridad aérea exige activar un aviso preventivo si la distancia mínima teórica entre las trayectorias lineales es inferior a $8\text{ km}$. Calcula la distancia mínima entre ambas rectas utilizando la fórmula del producto mixto y el producto vectorial, y determina si el centro de control debe emitir dicho aviso.

3. Desde el punto de vista del movimiento real de los aviones, razona por qué una distancia entre trayectorias de menos de $8\text{ km}$ no implica obligatoriamente un riesgo inminente de colisión física, indicando qué magnitud cinemática adicional debería considerarse para saber si ambos aviones coinciden cerca del punto de máxima aproximación.

Dos satélites de comunicaciones siguen trayectorias lineales en el espacio (medidas en cientos de kilómetros) representadas por las rectas $r$ y $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Se pide:

1. Determinar los valores del parámetro $k$ para que la distancia mínima entre las dos trayectorias sea exactamente de $\sqrt{6}$ unidades (600 km).

2. Para cada valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, calcula los puntos de cada trayectoria donde se alcanza dicha distancia mínima (puntos de la perpendicular común).

Una empresa de logística utiliza drones para el transporte de paquetes. Un dron se desplaza desde el punto $A(1, 0, 2)$ en línea recta hacia el punto $B(5, 4, 10)$. En el centro de la zona de operaciones existe una antena emisora situada en el punto $P(3, 5, 1)$.

Calcula:

1. El punto exacto de la trayectoria del dron que se encuentra a la distancia mínima de la antena.

2. Si la señal de la antena tiene un alcance de $5$ unidades, determina durante qué intervalo de su trayecto (valores del parámetro $\lambda$) el dron tiene cobertura.

Se considera un plano $\pi$ que pasa por el punto $M(1, 0, 3)$ y es perpendicular a la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Halla la ecuación de la esfera que es tangente al plano $\pi$ y tiene su centro en el punto $C(4, 5, 2)$.

2. Calcula la distancia desde el origen de coordenadas al punto de tangencia entre la esfera y el plano.

Un arquitecto diseña una estructura vanguardista compuesta por dos cables tensados. En un sistema de referencia cartesiano, el primer cable coincide con la recta $r$ que pasa por $A(1, 1, 1)$ y $B(2, 3, 0)$. El segundo cable sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y pasa por el punto $C(0, 2, 2)$.

Calcula:

1. La distancia mínima entre los dos cables.

2. La ecuación de la recta que representa un refuerzo metálico que une ambos cables por el camino más corto posible (perpendicular común).

Halla las coordenadas de los puntos de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$ que equidistan de los planos:

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

Analiza si existe algún punto en la recta cuya distancia a ambos planos sea nula y explica su significado geométrico.

Sea el punto $P(1, 2, -1)$ y la recta $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$. Llamémosle $P'$.

2. Determina la distancia de $P'$ al plano $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. ¿Cuál es el volumen del tetraedro formado por el punto $P$, su proyección sobre la recta $r$, y los puntos de intersección del plano $\pi$ con los ejes $OX$ y $OY$?

Un rayo láser parte del punto $A(5, 2, 6)$ y se refleja en un espejo plano representado por el plano coordenado $XY$ ($z=0$). El rayo reflejado debe pasar por el punto $B(1, 4, 2)$.

Se pide:

1. Hallar las coordenadas del punto de impacto $C$ del láser sobre el espejo.

2. Calcular la distancia total recorrida por el rayo desde el punto $A$ hasta el punto $B$. (Nota: La distancia mínima se obtiene mediante el punto simétrico).

Dada la familia de planos $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, donde $a \in \mathbb{R}$:

1. Demuestra que todos los planos de la familia contienen a una misma recta común $r$. Halla las ecuaciones de dicha recta.

2. Calcula la distancia del punto $Q(2, -1, 0)$ a la recta $r$.

3. Determina el valor de $a$ para el cual el plano $\pi_a$ se encuentra a una distancia de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unidades del punto $P(0, 0, 0)$.

Se tienen el punto $P(2, -1, 3)$ y la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Un ejercicio propone resolver dos cuestiones sucesivas:

(a) Calcular la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

(b) Hallar las coordenadas del punto $P'$, simétrico de $P$ respecto de $r$.

Dos estudiantes debaten sobre la estrategia de resolución:

• Lucía propone resolver (a) mediante la fórmula del producto vectorial $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, y luego resolver (b) determinando la proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre $r$.

• Carlos sostiene que usar la fórmula del producto vectorial en este ejercicio es una mala elección metodológica que genera cálculos redundantes, y que es más eficiente empezar directamente buscando la proyección ortogonal $M$.

Se pide:

1. Valora críticamente ambas posturas: explica por qué el método de Lucía duplica el esfuerzo de cálculo y demuestra cómo la obtención previa de la proyección ortogonal $M$ permite responder de forma inmediata a los apartados (a) y (b).

2. Siguiendo el método propuesto por Carlos (mediante un punto genérico de la recta o construyendo el plano perpendicular auxiliar a $r$ que pasa por $P$), halla las coordenadas de la proyección ortogonal $M$, deduce a partir de él la distancia exacta $d(P, r)$ y calcula las coordenadas del punto simétrico $P'$.

Dos planos secantes $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ se cortan a lo largo de una recta en el espacio, dividiéndolo en cuatro regiones angulares diedras.

1. Utilizando la definición analítica de distancia de un punto a un plano, plantea la condición geométrica que debe cumplir cualquier punto $X(x, y, z)$ del espacio para equidistar de ambos planos: $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Desarrolla la ecuación resultante aplicando las propiedades del valor absoluto y obtén las ecuaciones generales de los dos planos bisectores resultantes, $\sigma_1$ y $\sigma_2$.

3. A partir de los vectores normales de $\sigma_1$ y $\sigma_2$, comprueba algebraicamente que ambos planos bisectores son perpendiculares entre sí.

4. Generaliza el resultado anterior para cualquier par de planos secantes: si dos planos tienen vectores normales unitarios $\vec{u}$ y $\vec{v}$ (con $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), demuestra mediante propiedades del producto escalar que los vectores directores normales de los planos bisectores, $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$, son siempre ortogonales, explicando el significado geométrico de este hecho.