Ejercicios: Problemas

Se ha medido el tiempo en horas ($X$) y la distancia recorrida en km ($Y$) por un ciclista en $5$ etapas, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ y $(5, 110)$. Calcula la covarianza de esta distribución bidimensional.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional viene dada por la ecuación $y = 3,2x - 1,5$. Si la media aritmética de la variable $X$ es $\bar{x} = 4,5$, determina el valor de la media aritmética de la variable $Y$, $\bar{y}$.

En un estudio sobre el peso ($X$, en kg) y la altura ($Y$, en cm) de un grupo de estudiantes, se ha obtenido un coeficiente de correlación lineal $r = 0,85$. Si las desviaciones típicas marginales son $S_x = 12$ y $S_y = 8$, calcula el valor exacto de la covarianza $S_{xy}$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la edad de un grupo de vehículos ($X$, en años) y su valor de mercado en la actualidad ($Y$, en miles de dólares). Observando la forma de la nube de puntos, indica el signo que tendrá la covarianza y si la correlación lineal entre ambas variables es fuerte o débil.

Para estimar el consumo eléctrico mensual ($Y$, en kWh) en función del número de personas que habitan en una vivienda ($X$), se ha obtenido la recta de regresión $y = 45x + 120$ con un coeficiente de correlación $r = 0,92$. Estima el consumo para una vivienda con $4$ personas e indica si la estimación es muy fiable o poco fiable, justificando brevemente tu respuesta.

En la siguiente tabla de contingencia se recogen los datos de $100$ piezas cerámicas, clasificadas según su tamaño ($X$: Pequeño=$1$, Grande=$2$) y su calidad ($Y$: Defectuosa=$0$, Óptima=$1$). Escribe la tabla de la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula su media $\bar{y}$.

De una distribución bidimensional se conocen los siguientes parámetros estadísticos: $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la varianza marginal de $X$, $S_x^2 = 16$, y la covarianza $S_{xy} = 24$. Escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En un estudio que relaciona el presupuesto en marketing de varias empresas ($X$) con sus beneficios anuales ($Y$), se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,7$. ¿Qué porcentaje de la variabilidad de los beneficios queda explicada por el presupuesto en marketing según el modelo de regresión lineal propuesto?

En un examen de Estadística bidimensional, Marcos tiene que analizar la relación entre dos variables a partir de las ecuaciones de sus rectas de regresión:

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = -0,75x + 12$

• Recta de regresión de $X$ sobre $Y$: $x = -0,48y + 10$

Marcos escribe en su resolución:

1. «El coeficiente de correlación lineal es $r = \sqrt{(-0,75) \cdot (-0,48)} = \sqrt{0,36} = 0,6$, por lo que la correlación entre las variables es positiva y moderada.»

2. «La covarianza de la distribución es directamente la pendiente de la primera recta, es decir, $\sigma_{xy} = -0,75$.»

Identifica y explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Marcos, calculando el valor correcto de $r$. Razona además si es posible o no averiguar el valor numérico de $\sigma_{xy}$ disponiendo únicamente de las ecuaciones de las rectas.

Una estación de esquí del Pirineo aragonés registra la altitud en cientos de metros ($X$) y la temperatura media en $^{\circ}\text{C}$ durante una jornada de invierno ($Y$) en cinco puntos de su dominio esquiable:

1. a) Antes de efectuar ningún cálculo analítico, estima razonadamente el signo de la covarianza y del coeficiente de correlación lineal $r$, indicando si esperas una relación lineal débil o fuerte a partir de la naturaleza del fenómeno físico.
2. b) Calcula las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la covarianza $\sigma_{xy}$, las desviaciones típicas $\sigma_x$ y $\sigma_y$, y el valor exacto de $r$.
3. c) Comprueba si el valor de $r$ obtenido confirma tu estimación inicial y valora si un ajuste lineal es adecuado para predecir temperaturas a otras cotas de la montaña.

En un laboratorio de física se ha medido el alargamiento de un muelle elástico ($Y$, en cm) al colgarle diferentes masas ($X$, en kg). Los resultados obtenidos en el experimento son:

$X$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$

$Y$: $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$

Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Una empresa de tecnología quiere predecir el número de ventas de un nuevo smartphone ($Y$, en miles de unidades) en función de las menciones diarias en redes sociales ($X$, en miles). Se han recopilado los datos de $8$ lanzamientos anteriores, obteniéndose los siguientes sumatorios:

$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.

Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación lineal y estima las ventas que se obtendrán si se registran $25$ mil menciones en el día del lanzamiento.

El diagrama de dispersión adjunto representa la relación entre la temperatura media mensual ($X$, en $^\circ\text{C}$) y el consumo de gas natural ($Y$, en $\text{m}^3$) en una ciudad durante el último año. Sabiendo que las medias marginales son $\bar{x} = 15$ y $\bar{y} = 120$, y que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $-3,5$, halla la ecuación de dicha recta y estima el consumo de gas para un mes con una temperatura media de $8 \ ^\circ\text{C}$.

Al estudiar la relación estadística entre dos variables $X$ e $Y$, se han obtenido las siguientes rectas de regresión:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y - 3$

Calcula las coordenadas del centro de gravedad de la distribución bidimensional $(\bar{x}, \bar{y})$.

Se ha realizado un estudio sobre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y la marca obtenida en una prueba de atletismo ($Y$, en segundos) en un grupo de corredores. Tras el análisis, se sabe que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 45$, $S_x = 3$, $S_y = 2$ y la covarianza es $S_{xy} = -4,8$.

Calcula la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ y estima cuántas horas semanales entrenó un atleta que ha logrado una marca de $42$ segundos en la prueba.

La siguiente tabla de doble entrada muestra la distribución de $50$ familias según el número de hijos ($X$) y el número de vehículos que poseen ($Y$):

Calcula la media y la desviación típica de la distribución condicionada del número de vehículos que poseen las familias sabiendo que tienen exactamente $1$ hijo (es decir, la distribución $Y|X=1$).

El coeficiente de correlación entre los ingresos mensuales ($X$, en dólares) y el gasto en recreación ($Y$, en dólares) de un grupo de personas es $r = 0,75$. Si decidimos expresar los ingresos en miles de dólares ($X' = \frac{X}{1000}$) e incrementar el gasto en recreación en una cantidad fija de $50$ dólares debido a un subsidio ($Y' = Y + 50$), ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación lineal entre $X'$ e $Y'$? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de la covarianza y las desviaciones estándar.

Para una distribución bidimensional se conocen los siguientes datos: tamaño muestral $n = 10$, medias marginales $\bar{x} = 5$ e $\bar{y} = 8$, varianzas marginales $S_x^2 = 4$ y $S_y^2 = 9$. Además, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,2x + 2$.

Calcula el valor exacto de la covarianza $S_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$.

En una prueba de control de calidad industrial se miden dos variables, $X$ e $Y$, obteniéndose los cuatro primeros pares de datos $(x_i, y_i)$: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ y $(4, 7)$. El quinto par registrado es $(5, k)$, donde $k$ es un valor real positivo pendiente de validación.

1. a) Expresa en función de $k$ las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la varianza $\sigma_x^2$ y la covarianza $\sigma_{xy}$.
2. b) Sabiendo que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ debe pasar exactamente por el origen de coordenadas $(0, 0)$, deduce el valor exacto que debe tomar $k$.
3. c) Con el valor hallado de $k$, determina la ecuación de dicha recta de regresión y calcula el coeficiente de determinación $R^2$ para justificar si la recta hallada tiene suficiente capacidad explicativa.

A partir de una muestra del Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre el nivel de vida en cinco municipios medianos de España, se relacionan la renta media disponible anual por hogar ($X$, en decenas de miles de dólares) y el gasto medio anual en ocio y cultura ($Y$, en cientos de dólares):

1. a) Modela la relación lineal determinando la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
2. b) Interpreta el significado socioeconómico concreto de la pendiente obtenida y del término independiente en el contexto del estudio.
3. c) Utiliza el modelo para predecir el gasto en ocio esperado en un municipio con una renta media por hogar de $45\,000$ dólares ($x = 4,5$) y en otro con $120\,000$ dólares ($x = 12$). Compara razonadamente la fiabilidad de ambas predicciones distinguiendo entre interpolación y extrapolación.
4. d) Si se quisiera estimar la renta de un municipio a partir de su gasto cultural, justifica si sería matemáticamente adecuado despejar $x$ directamente de la ecuación obtenida en el apartado a).

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) y $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre $Y$).

Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y halla las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

En un estudio estadístico sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha realizado un cambio de variable tipificando o reescalando los datos originales de la forma $U = \frac{X - 10}{5}$ y $V = \frac{Y - 20}{2}$. Se sabe que la recta de regresión de $V$ sobre $U$ es $v = 0,8u + 1,5$.

Encuentra, deshaciendo el cambio de variable, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en su forma explícita $y = mx + n$.

Una fábrica estudia la relación entre la antigüedad de sus máquinas ($X$, en años) y el costo anual de mantenimiento ($Y$, en cientos de dólares). Se han tomado datos de $4$ máquinas, pero por un error informático se ha perdido el costo de mantenimiento de una de ellas. Los pares $(x_i, y_i)$ son: $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(5, k)$, $(6, 9)$.

Sabiendo que la media marginal del costo de mantenimiento de las cuatro máquinas es $\bar{y} = 6,5$, determina el valor de $k$ y, a continuación, calcula la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Demuestra matemáticamente, utilizando las expresiones de las pendientes de las rectas de regresión en función de la covarianza y las varianzas marginales, que si el coeficiente de correlación lineal es perfecto ($r = 1$ o $r = -1$), las dos rectas de regresión (la de $Y$ sobre $X$ y la de $X$ sobre $Y$) son rectas coincidentes.

El siguiente diagrama de dispersión muestra el crecimiento de una colonia de bacterias ($Y$, en miles) en función del tiempo ($X$, en horas). La nube de puntos sugiere un crecimiento exponencial del tipo $Y = A \cdot e^{BX}$.

Para linealizar el modelo, se ha propuesto realizar el cambio de variable $Z = \ln(Y)$. Si al realizar el ajuste de regresión lineal de $Z$ sobre $X$ obtenemos la recta $z = 0,4x + 1,2$, determina los valores numéricos de las constantes $A$ y $B$ del modelo exponencial original.

Se tiene la siguiente tabla de frecuencias conjuntas (frecuencias absolutas) para dos variables cualitativas $X$ e $Y$:

Determina el valor exacto del parámetro $k$ sabiendo que las variables $X$ e $Y$ son estadísticamente independientes.

En un estudio estadístico, la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 2x - 3$ y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $x = 0,4y + 2$. Sabiendo que la varianza marginal de la variable $X$ es $S_x^2 = 5$, calcula el valor de la varianza marginal de $Y$, $S_y^2$, y el valor de la covarianza $S_{xy}$.

Se han estudiado dos grupos de empleados de una misma empresa multinacional para analizar la relación entre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual ($Y$).

En el Grupo A, formado por $10$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, y una covarianza $S_{xy,A} = 200$.

En el Grupo B, formado por $20$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, y una covarianza $S_{xy,B} = 350$.

Calcula la covarianza total $S_{xy}$ si decidiéramos agrupar a los $30$ empleados en una única distribución bidimensional.

Se estudia la evolución del número de vehículos eléctricos matriculados ($Y$, en decenas) en una comarca según el año transcurrido ($X$). La serie histórica observada es:

Para obtener la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y el coeficiente de correlación $r$, se plantean dos alternativas:

• Camino 1 (Directo): Calcular los sumatorios $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum y_i^2$ y $\sum x_i y_i$ directamente sobre los datos numéricos originales.

• Camino 2 (Cambio de variable): Definir $U = X - 2022$ y $V = Y - 122$, calcular la recta de regresión de $V$ sobre $U$ ($v = m \cdot u + n$) y revertir algebraicamente la transformación sustituyendo $u = x - 2022$ y $v = y - 122$.

1. a) Compara ambos caminos: demuestra teóricamente que un cambio de origen $U = X - h$ y $V = Y - k$ no altera la covarianza ($\sigma_{uv} = \sigma_{xy}$) ni las varianzas marginales, y justifica cuál de los dos métodos es preferible frente al riesgo de errores de cálculo o redondeo.
2. b) Aplica el Camino 2 para hallar la recta de regresión de $V$ sobre $U$.
3. c) Deshaz el cambio de variable para deducir la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.

Dos centros de investigación A y B analizan, en muestras independientes de estudiantes, la relación entre las horas semanales de uso de pantallas recreativas ($X$) y la calificación media ($Y$). Sorprendentemente, ambos centros obtienen exactamente las mismas ecuaciones de regresión:

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = -0,25x + 9$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -y + 15$

1. a) Demuestra que el coeficiente de correlación lineal $r$ y el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ son obligatoriamente idénticos en ambos estudios, calculando sus valores numéricos exactos.
2. b) El equipo A informa de que la varianza de las horas de pantalla en su muestra es $\sigma_{x,A}^2 = 16$, mientras que el equipo B afirma que en la suya es $\sigma_{x,B}^2 = 4$. Demuestra si es posible que ambos equipos tengan razón simultáneamente calculando, para cada centro, su covarianza $\sigma_{xy}$ y la varianza de las notas $\sigma_y^2$. Explica a partir de este resultado por qué las pendientes de regresión no bastan por sí solas para reconstruir la covarianza.
3. c) Si se fusionan ambas muestras en un único colectivo de $100$ estudiantes ($N_A = 60$ del centro A y $N_B = 40$ del centro B), calcula la covarianza conjunta aprovechando que comparten el mismo centro de gravedad y razona si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ del conjunto total diferirá de la obtenida por los centros por separado.

Reto del tema. ¿Cómo condiciona la altitud al clima de nuestro país? Conviértete en analista climático y elabora un informe ejecutivo utilizando GeoGebra o una hoja de cálculo.

1. Toma de datos: Consulta la web de AEMET y recopila en una tabla la altitud ($x$, en metros) y la temperatura media anual ($y$, en °C) de $10$ capitales de provincia españolas de distintas zonas geográficas.

2. Estudio bidimensional: Introduce los datos en el software. Calcula las medias ($\bar{x}$, $\bar{y}$), desviaciones típicas, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$). Representa la nube de puntos y determina la recta de regresión de $y$ sobre $x$.

3. Predicción y causalidad: Estima la temperatura esperada para un municipio situado a $1250\text{ m}$ y argumenta la fiabilidad de tu resultado. Comprueba si un modelo no lineal (exponencial o potencial) mejoraría el ajuste y reflexiona si la altitud es causa directa de la variación térmica o si intervienen variables latentes.

Entrega un informe breve (una página) con la tabla, las gráficas y tu justificación razonada.

Se valorará:

• Rigor en el cálculo de estadísticos bidimensionales y la recta de regresión con herramientas digitales.

• Destreza en la representación gráfica e interpretación del coeficiente $r$.

• Profundidad crítica al extrapolar valores y debatir sobre causalidad frente a correlación.