Ejercicios: Distribuciones bidimensionales

Clasifica las siguientes parejas de variables estadísticas bidimensionales según el tipo de correlación lineal (positiva, negativa o nula) que cabe esperar entre ellas:

• El peso de un vehículo y su consumo de combustible por cada 100 km.

• El número de horas de luz solar directa y la cantidad de energía producida por un panel solar.

• El número de calzado de un adulto y su sueldo mensual.

• El tiempo de uso continuo de una laptop y el porcentaje de batería restante.

En una fábrica de componentes electrónicos, se ha medido el número de defectos encontrados en un lote ($X$) y el turno de producción ($Y$, donde 1 es mañana, 2 es tarde y 3 es noche) durante 50 días. La tabla de frecuencias conjuntas es la siguiente:

Calcula la distribución marginal de la variable $X$ (número de defectos) y determina su media aritmética.

En una fábrica de componentes electrónicos, se ha medido el número de defectos encontrados en un lote ($X$) y el turno de producción ($Y$, donde 1 es mañana, 2 es tarde y 3 es noche) durante 50 días. La tabla de frecuencias conjuntas es la siguiente:

Obtén la distribución de la variable $X$ condicionada a que la producción se haya realizado exclusivamente en el turno de noche ($Y=3$).

En un estudio sobre el rendimiento de 12 servidores, se ha registrado la cantidad de memoria RAM asignada en GB ($X$) y el número de peticiones procesadas por segundo ($Y$). Se sabe que $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, la media de la RAM es $\bar{x} = 16$ GB y la media de peticiones es $\bar{y} = 22$. Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

La covarianza entre la temperatura media diaria en grados Celsius ($X$) y las ventas de helados en cientos de dólares ($Y$) en una heladería durante el verano es $\sigma_{xy} = 18,5$. Si las desviaciones estándar marginales son $\sigma_x = 4,2$ y $\sigma_y = 5,1$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ e interpreta el resultado.

En un análisis de la relación entre el gasto mensual en marketing digital ($X$, en miles de dólares) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de dólares), se obtuvieron las dos rectas de regresión. La recta de $Y$ sobre $X$ es $y = 2,5x + 10$ y la recta de $X$ sobre $Y$ es $x = 0,36y - 2$. Determina el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de esta distribución bidimensional.

El departamento de recursos humanos de una empresa de software ha determinado que la recta de regresión que relaciona los años de experiencia ($X$) con el salario mensual en dólares ($Y$) de sus programadores es $y = 85x + 1200$. Estima el salario mensual de un empleado que cuenta con 5 años de experiencia.

Observa los siguientes diagramas de dispersión que relacionan distintas variables en tres experimentos diferentes. Asigna razonadamente a cada gráfico uno de los siguientes coeficientes de correlación lineal: $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

En una estación meteorológica de Castilla y León, Lucas analiza la relación entre la temperatura media diaria ($X$, en grados Celsius) y el consumo de gas natural de la calefacción central ($Y$, en metros cúbicos) durante cinco jornadas de invierno. Tras operar con los datos, obtiene una covarianza $\sigma_{xy} = -14,5\text{ }^\circ\text{C}\cdot\text{m}^3$. Para enviar el informe a una revista científica internacional, decide convertir la temperatura a kelvin ($U = X + 273,15$) y el volumen de gas a litros ($V = 1000Y$). Lucas concluye en su borrador: «Como a $X$ le sumamos $273,15$ y a $Y$ la multiplicamos por $1000$, la nueva covarianza es $\sigma_{uv} = (-14,5 + 273,15) \cdot 1000 = 258\,650\text{ K}\cdot\text{L}$, por lo que ahora la relación entre ambas magnitudes pasa a ser positiva». Identifica y explica los dos errores conceptuales cometidos por Lucas, justifica qué efecto geométrico y algebraico tienen las traslaciones y los cambios de escala sobre la covarianza, y calcula el valor numérico correcto de $\sigma_{uv}$ con sus unidades.

Un equipo de orientación educativa de un centro de secundaria ha registrado en una muestra de 30 estudiantes de 1.º de Bachillerato el tiempo diario de uso recreativo del móvil ($X$, en horas) y las horas de sueño nocturno ($Y$, en horas). Tras tabular los datos individuales, se dispone de las medias $\bar{x} = 3,5\text{ h}$, $\bar{y} = 7,0\text{ h}$ y la covarianza $\sigma_{xy} = -1,8\text{ h}^2$. Para coordinarse con un estudio autonómico de salud juvenil, se necesita expresar ambas variables en minutos ($U = 60X$, $V = 60Y$). Para hallar la nueva covarianza $\sigma_{uv}$, se proponen dos caminos:

• Método 1: Multiplicar por 60 cada uno de los 30 pares de valores originales $(x_i, y_i)$, construir una nueva tabla con los pares $(u_i, v_i)$, hallar las nuevas medias $\bar{u}$ y $\bar{v}$, y calcular $\sigma_{uv} = \frac{\sum u_i v_i}{30} - \bar{u}\bar{v}$.

• Método 2: Aplicar la propiedad algebraica de conservación de la covarianza frente a transformaciones lineales $\sigma_{uv} = ac\cdot\sigma_{xy}$.

Compara ambos métodos evaluando el tiempo de cómputo y el riesgo de propagación de errores de redondeo, e indica razonadamente cuál es el preferible. Por último, aplica el método seleccionado para calcular el valor exacto de $\sigma_{uv}$ e interpreta su signo.

En una cooperativa agrícola, se ha registrado la cantidad de fertilizante aplicado en kg/ha ($X$) y el rendimiento de la cosecha en toneladas/ha ($Y$) en 5 parcelas experimentales:

• $X$: 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$: 2,5; 3,8; 4,2; 5,5; 6,0

Calcula las medias marginales, las varianzas marginales y la covarianza de esta distribución bidimensional.

En un ensayo clínico, se ha clasificado a 100 pacientes según su grupo de edad ($X$, en años) y su nivel de colesterol en sangre ($Y$, en mg/dL), agrupados en intervalos de clase.

Calcula la media y la desviación típica del nivel de colesterol exclusivamente para los pacientes del grupo de edad $[40, 50)$. Usa las marcas de clase para tus cálculos.

El análisis de los datos macroeconómicos de 20 países muestra que la media del Producto Interno Bruto per cápita ($X$, en miles de dólares) es $\bar{x} = 25$, con una desviación estándar $\sigma_x = 8$. El consumo medio de energía per cápita ($Y$, en MWh) es $\bar{y} = 12$, con una desviación estándar $\sigma_y = 4$. Si el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,85$, determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la temperatura aplicada a una aleación metálica ($X$, en $^\circ\text{C}$) y su dilatación térmica ($Y$, en mm). A partir de la representación visual de la nube de puntos y la recta de regresión ajustada, estima el valor de la ordenada en el origen y la pendiente de la recta. Posteriormente, predice la dilatación para una temperatura de $80^\circ\text{C}$.

Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ con covarianza $\sigma_{xy} = 15$ y coeficiente de correlación $r = 0,6$. Si se realiza una transformación lineal sobre las variables para adaptarlas a una nueva escala de medida, de modo que $U = 2X - 3$ y $V = -0,5Y + 1$, calcula la nueva covarianza $\sigma_{uv}$ y el nuevo coeficiente de correlación $r_{uv}$ entre $U$ y $V$.

En una encuesta realizada a 200 estudiantes universitarios, se ha estudiado la relación entre el número de horas semanales dedicadas al deporte ($X$) y el nivel de estrés reportado ($Y$, medido de 1 a 3). Algunos datos de la tabla de contingencia se han borrado:

Completa la tabla sabiendo que el $30\%$ del total de los encuestados dedica 2 horas al deporte y tiene un nivel de estrés 2. Una vez completa, justifica matemáticamente si las variables son estadísticamente independientes.

Una plataforma de comercio electrónico ha modelado la relación entre el número de visitas diarias a la página de un producto ($X$) y el número de unidades vendidas ($Y$) mediante la recta de regresión $y = 0,04x + 2,5$. El coeficiente de correlación es $r = 0,91$ y el rango de visitas en la muestra estudiada está entre 100 y 500.

1. a) Estima las ventas si un producto recibe 350 visitas.
2. b) Estima las ventas si un producto recibe 2000 visitas.
3. c) Discute la fiabilidad de ambas predicciones basándote en los datos proporcionados.

En un estudio sobre la relación entre la precipitación anual ($X$, en mm) y la producción de trigo ($Y$, en toneladas por hectárea), se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,15x - 12$. Si la media de las precipitaciones es $\bar{x} = 400$ mm y el coeficiente de correlación es $r = 0,75$, halla la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.

A partir de registros climáticos de la AEMET en una misma comarca del interior peninsular durante un día despejado de otoño, se registran la altitud sobre el nivel del mar ($X$, en centenares de metros) y la temperatura máxima alcanzada ($Y$, en $^\circ\text{C}$) en 5 localidades:

$A(4; 21)$, $B(6; 19)$, $C(8; 18)$, $D(10; 15)$ y $E(12; 12)$.

1. Antes de realizar cualquier cálculo algebraico, estima de forma justificada el signo que debe tener la covarianza basándote en el gradiente térmico vertical de la troposfera y razona si cabe esperar una dependencia funcional exacta o puramente estadística.

2. Calcula las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución y la covarianza exacta $\sigma_{xy}$ aplicando la fórmula $\sigma_{xy} = \frac{1}{N}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$.

3. Comprueba si el valor numérico obtenido confirma tu estimación previa y explica el significado del signo de la covarianza en términos de la variación simultánea de ambas variables.

En una planta de envasado de aceite de oliva virgen extra en Jaén, se analiza la relación entre el tiempo de llenado ($X$, en segundos) y el volumen neto introducido ($Y$, en centilitros) para $N = 4$ envases seleccionados en el control de calidad. Por un fallo informático se han extraviado dos coordenadas, disponiéndose únicamente de los pares $(2; 98)$, $(3; y_2)$, $(x_3; 100)$ y $(7; 102)$. No obstante, el registro general conserva dos parámetros: el centro de gravedad es $(\bar{x}, \bar{y}) = (4; 100)$ y la covarianza muestral es $\sigma_{xy} = 2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$.

1. Deduce los valores perdidos $x_3$ e $y_2$ utilizando exclusivamente las propiedades de las medias marginales.

2. Con la serie completa de los cuatro puntos, comprueba numéricamente que la covarianza coincide con el dato del informe ($2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$).

3. Determina qué valor debería tomar la ordenada del cuarto punto (sustituyendo $102$ por un nuevo valor $y_4$, manteniendo fijos $x_1, x_2, x_3, x_4$ y reajustando $y_2$ para que la media $\bar{y} = 100$ no se altere) para que la covarianza resulte exactamente igual a $0\text{ s}\cdot\text{cl}$.

En un análisis sociodemográfico, se han obtenido las dos rectas de regresión que relacionan la tasa de natalidad ($X$, en tantos por mil) y la esperanza de vida ($Y$, en años) de una región. Las ecuaciones de las rectas son:

$3x + y - 105 = 0$

$x + 2y - 160 = 0$

Identifica razonadamente cuál es la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y cuál es la de $X$ sobre $Y$. Posteriormente, calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y el coeficiente de correlación lineal $r$.

Demuestra matemáticamente que si las ecuaciones de las rectas de regresión de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$ se expresan en la forma $y = mx + n$ y $x = m'y + n'$ respectivamente, entonces el coeficiente de correlación lineal cumple que $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Razona, además, de qué depende el signo que toma $r$.

Se ha analizado la relación entre el tiempo de secado de una pintura industrial ($X$, en horas) y su resistencia a la abrasión ($Y$, en un índice de 0 a 100) en 4 pruebas, obteniendo los siguientes pares de valores: $(2, 40)$, $(3, 55)$, $(5, k)$, $(6, 85)$.

Si se sabe que la media marginal de la resistencia es $\bar{y} = 62,5$, determina primero el valor del parámetro $k$. A continuación, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$ y la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

El crecimiento de una colonia de bacterias en función del tiempo ($X$, en horas) no sigue un modelo lineal, sino exponencial de la forma $Y = A \cdot e^{BX}$, donde $Y$ es el número de bacterias (en miles). Para aplicar técnicas de regresión lineal, se realiza el cambio de variable $Z = \ln Y$.

Los datos transformados $(X, Z)$ arrojan los siguientes resultados marginales y conjuntos para 5 observaciones: $\bar{x} = 4$, $\bar{z} = 2,1$, $\sigma_x^2 = 2,5$, $\sigma_{xz} = 1,2$.

Calcula los valores de los parámetros $A$ y $B$ del modelo exponencial original.

El siguiente gráfico de dispersión relaciona la concentración de un contaminante químico en un río ($X$, en ppm) con la tasa de mortalidad de una especie de pez ($Y$, en %). Observa la presencia de un valor atípico claramente diferenciado del resto de la nube de puntos.

Explica de forma razonada cómo afectaría la eliminación de este valor atípico a la covarianza $\sigma_{xy}$, a la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y al coeficiente de correlación lineal $r$.

De una distribución estadística bidimensional $(X, Y)$ de tamaño $N = 10$, se conocen las siguientes sumas:

$\sum x_i = 50$, $\sum y_i = 70$, $\sum x_i^2 = 286$, $\sum y_i^2 = 540$, $\sum x_i y_i = 385$.

Calcula el coeficiente de determinación $R^2$ y la varianza residual $\sigma_e^2$. Interpreta el significado de ambos valores en el contexto de la bondad del ajuste lineal.

En un estudio, las variables $X$ e $Y$ toman los valores $X \in \{2, 4, 6\}$ e $Y \in \{4, 6, 8\}$. Las distribuciones marginales son idénticas y uniformes (frecuencia absoluta de 10 para cada valor individual, siendo el tamaño de la muestra $N=30$). Además, se sabe que la distribución conjunta es perfectamente simétrica ($f_{ij} = f_{ji}$) y que la frecuencia conjunta para $X=2$ e $Y=4$ es 8, para $X=2$ e $Y=6$ es 2, y para $X=4$ e $Y=6$ es 2.

Calcula el resto de las frecuencias conjuntas de la tabla y demuestra que la covarianza de esta distribución es $\sigma_{xy} = 1,6$.

Sea una distribución bidimensional de variables $(X, Y)$ con desviaciones típicas marginales estrictamente positivas ($\sigma_x > 0$ y $\sigma_y > 0$). Demuestra analíticamente que si existe una relación funcional lineal exacta entre ambas variables de la forma $Y = aX + b$ (con $a \neq 0$), entonces el coeficiente de correlación lineal es $r = 1$ si $a > 0$, o $r = -1$ si $a < 0$. (Pista: utiliza las propiedades de la media y la varianza ante transformaciones lineales).

Un informe sociolaboral en un parque tecnológico de Asturias analiza la relación entre los años de experiencia laboral ($X$) y el salario mensual neto ($Y$, en cientos de dólares) en una muestra de 6 trabajadores clasificados en dos departamentos profesionales:

• Departamento A (Soporte y Operaciones): compuesto por los empleados $A_1(6; 15)$, $A_2(8; 17)$ y $A_3(10; 19)$.

• Departamento B (Desarrollo y Arquitectura de Software): compuesto por los empleados $B_1(1; 26)$, $B_2(3; 28)$ y $B_3(5; 30)$.

• Analiza cada departamento por separado: calcula el centro de gravedad y la covarianza de cada subgrupo ($\sigma_{xy}^A$ y $\sigma_{xy}^B$). Describe la tendencia observada dentro de cada sector.

• Modela la muestra global reuniendo a los 6 trabajadores en una única distribución bidimensional. Calcula el centro de gravedad global $(\bar{x}, \bar{y})$ y la covarianza conjunta $\sigma_{xy}$.

• Contrasta el signo de la covarianza global con los signos obtenidos en cada departamento por separado. ¿Cómo se denomina esta paradoja estadística? Explica cuál es la variable oculta o de confusión que actúa en el conjunto y por qué agregar subgrupos heterogéneos sin desagregar puede distorsionar por completo las conclusiones sociológicas.

Un estudiante sostiene la siguiente afirmación: «Como la covarianza mide la tendencia conjunta entre dos variables, cuanto mayor es su valor absoluto, mayor es la fuerza o intensidad de su dependencia lineal; por tanto, una distribución con $\sigma_{xy} = 1500$ presenta una relación lineal mucho más fuerte y determinista que otra con $\sigma_{uv} = 0,02$». Demuestra razonadamente que esta conclusión es falsa mediante los siguientes pasos:

1. Considera la distribución $D_1$ formada por los cuatro puntos $(1; 10)$, $(2; 2)$, $(3; 11)$ y $(4; 3)$. Calcula su centro de gravedad, su covarianza $\sigma_{xy}$ y justifica por qué su dependencia lineal es débil. A continuación, define dos factores de escala $a$ y $c$ tales que, al transformar las variables según $U = aX$ y $V = cY$, la nueva covarianza $\sigma_{uv}$ supere el valor de $1\,000\,000$, sin que la disposición relativa de la nube de puntos haya variado en absoluto.

2. Diseña de forma razonada una distribución $D_2$ formada por cuatro puntos que verifiquen una dependencia funcional lineal estricta y decreciente ($y = -0,5x + 10$, de modo que todos los puntos estén perfectamente alineados), pero cuyas abscisas estén elegidas de tal manera que su covarianza cumpla $|\sigma_{xy}| < 0,02$.

3. A partir de los resultados anteriores, justifica por qué la covarianza no permite comparar el grado de asociación lineal entre distintas distribuciones que poseen unidades o escalas distintas, argumentando qué propiedad le falta a este parámetro para servir como indicador universal de correlación.