Ejercicios: Resolución de triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden $5$ cm y $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y la medida en grados de sus dos ángulos agudos.

Una escalera de $4$ m de longitud está apoyada contra un muro vertical. Si la base de la escalera se encuentra a $1,2$ m de la pared, determina el ángulo que forma la escalera con el suelo horizontal y la altura que alcanza su extremo superior sobre el muro.

Un obelisco proyecta una sombra de $15$ m de largo en el suelo horizontal en el momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $42^\circ$ con la horizontal. Calcula la altura del obelisco.

Un niño vuela una cometa que está sujeta por un hilo de $45$ m de longitud, el cual se mantiene completamente tenso. Si el hilo forma un ángulo de $55^\circ$ con el suelo horizontal, ¿a qué altura se encuentra la cometa? (Asume que el niño sostiene el hilo a ras de suelo).

En una pantalla de computadora de formato rectangular, la diagonal mide $60$ cm y forma un ángulo de $29^\circ$ con la base inferior del marco. Calcula el ancho y la altura de la pantalla.

Una rampa recta de acceso para sillas de ruedas tiene una longitud de $6$ m y salva un desnivel vertical de $0,45$ m. Determina el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal.

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden $14$ cm cada uno, y el ángulo desigual (el comprendido entre ellos) mide $40^\circ$. Trazando la altura correspondiente a la base para dividirlo en dos triángulos rectángulos, calcula la longitud de dicha base.

Los puntos $A(0,0)$, $B(8,0)$ y $C(8,6)$ forman un triángulo rectángulo en el plano cartesiano. Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo situado en el vértice $A$.

Para calcular la distancia entre la base de un faro costero de $24\text{ m}$ de altura sobre el nivel del mar y una lancha fondeada, Lucas mide un ángulo de depresión de $20^\circ$ desde la linterna del faro. En su cuaderno escribe:

1. a) Sin usar la calculadora, explica mediante un razonamiento geométrico elemental (comparando mentalmente con la forma de un triángulo de $45^\circ$) por qué un resultado de $8,74\text{ m}$ es a todas luces absurdo para un ángulo de depresión de solo $20^\circ$.
2. b) Identifica el error conceptual que cometió Lucas al ubicar el ángulo de depresión respecto a la vertical en lugar de la horizontal.
3. c) Corrige el planteamiento y calcula la distancia horizontal real $x$ entre el faro y la lancha.

En la reforma de un policlínico en Camagüey, se proyecta construir una rampa rectilínea de acceso para salvar un desnivel vertical de $1,2\text{ m}$. Por limitaciones de espacio urbano en la acera, el desarrollo horizontal máximo disponible es de exactamente $10\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular: razona si el ángulo de inclinación de la rampa será mayor o menor que $10^\circ$. Para argumentarlo, considera qué ángulo de inclinación correspondería a una pendiente del $100\,\%$ (catetos iguales) y cómo varía la función tangente para ángulos agudos pequeños.
2. b) Calcula la medida exacta del ángulo de inclinación $\alpha$ de la rampa con la horizontal y la longitud que recorrerá un usuario sobre ella en línea recta.
3. c) La normativa cubana de accesibilidad establece que una rampa de esta longitud no debe superar una pendiente del $6\,\%$ (es decir, $\tan(\alpha) \le 0,06$). Comprueba si la rampa diseñada cumple la norma e indica si tu estimación inicial del apartado a) era coherente.

Desde un punto en el suelo se observa la barquilla de un aerogenerador con un ángulo de elevación de $32^\circ$. Al avanzar $25$ m en línea recta hacia la base del poste, el nuevo ángulo de elevación es de $50^\circ$. Plantea un sistema de ecuaciones trigonométricas y calcula la altura del aerogenerador.

Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia de $12$ cm de radio. (Recuerda dividir el polígono en triángulos para usar trigonometría).

Desde la linterna de un faro, situada a $45$ m sobre el nivel del mar, se observan dos barcos que navegan alineados con la base del faro. El ángulo de depresión bajo el cual se ve el barco más cercano es de $34^\circ$, y el del barco más lejano es de $18^\circ$. Calcula la distancia exacta que separa a ambos barcos.

Las diagonales de un rombo miden $24$ cm y $10$ cm. Sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, calcula la medida de los lados del rombo y la amplitud de sus cuatro ángulos interiores.

Una señal de tráfico advierte de una pendiente prolongada del $15\%$. Esto indica que por cada $100$ m que se avanza en la proyección horizontal, se ascienden $15$ m en la vertical. Calcula el ángulo de inclinación de la carretera y la distancia real que recorrerá un vehículo sobre el asfalto si avanza $600$ m en la proyección horizontal.

Dos chimeneas industriales verticales de $20$ m y $35$ m de altura están construidas sobre un terreno llano. Desde el punto medio del segmento rectilíneo que une sus bases, se observa la cima de la primera chimenea con un ángulo de elevación de $35^\circ$. ¿Con qué ángulo de elevación se observará la cima de la segunda chimenea desde ese mismo punto medio?

Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia de radio $8$ cm se trazan las dos rectas tangentes a la misma. Si la distancia desde el punto $P$ hasta el centro de la circunferencia es de $17$ cm, calcula el ángulo total que forman entre sí las dos rectas tangentes.

Un panel solar rectangular de $2,5$ m de largo está inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal de una cubierta plana. Calcula la longitud de la sombra que proyecta el panel sobre la cubierta cuando los rayos del sol inciden de forma completamente perpendicular al plano de la cubierta.

En un tramo del puerto de montaña de Pajares (Asturias), una señal de tráfico de la DGT advierte de una pendiente peligrosa del «$12\,\%$», lo que indica un desnivel vertical de $12\text{ m}$ por cada $100\text{ m}$ de avance en proyección horizontal. El cuentakilómetros de un vehículo indica que ha recorrido $2,5\text{ km}$ a lo largo del asfalto en subida continua por dicho tramo.

1. a) Modela la situación mediante un triángulo rectángulo identificando con precisión a qué elemento geométrico (cateto o hipotenusa) corresponde la distancia registrada por el vehículo y determina el ángulo de inclinación $\alpha$ de la carretera en grados sexagesimales.
2. b) Calcula la altitud ganada por el vehículo en metros y la distancia horizontal real que se ha desplazado.
3. c) Un conductor calcula mentalmente el desnivel multiplicando de forma directa la distancia del asfalto por el porcentaje: $2500 \cdot 0,12 = 300\text{ m}$. Explica matemáticamente qué confusión conceptual entre razones trigonométricas ha cometido, calcula el error en metros de su aproximación y razona por qué para pendientes habituales en carreteras esa diferencia resulta tan pequeña.

Al resolver un problema de topografía para determinar la altura $h$ de la torre mudéjar de San Martín (Teruel) midiendo ángulos desde dos puntos alineados con su base en terreno llano, un estudiante anotó en la pizarra únicamente la ecuación final a la que llegó tras plantear un sistema y eliminar la incógnita de la distancia horizontal:

1. a) Reconstruye el enunciado completo del problema original: describe la posición relativa de los dos puntos de observación respecto a la torre, especifica a qué distancia se encuentran entre sí y aclara el significado topográfico de los ángulos $28^\circ$ y $44^\circ$.
2. b) Justifica geométricamente por qué en el paréntesis aparece una resta de razones y no una suma: ¿dónde deberían haberse situado los dos observadores para que los términos se sumasen en lugar de restarse?
3. c) Resuelve la ecuación y halla la altura $h$ de la torre mudéjar con dos cifras decimales.

Sobre la azotea plana de un edificio se encuentra instalada una antena de telecomunicaciones. Desde un punto en el suelo, situado a $45$ m de la base del edificio, un topógrafo observa la base de la antena con un ángulo de elevación de $38^\circ$ y la punta superior de la antena con un ángulo de elevación de $46^\circ$. Calcula la altura del edificio y la longitud exacta de la antena.

En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es $x$ cm, la del otro cateto es $(x+7)$ cm y la hipotenusa mide $(x+14)$ cm. Plantea y resuelve la ecuación correspondiente para determinar el valor de $x$. A continuación, calcula el valor exacto (en forma de fracción irreducible) del seno y el coseno del ángulo de menor amplitud del triángulo.

Dos observadores, $A$ y $B$, se encuentran separados por una distancia de $300$ m en una llanura horizontal. Ambos miran hacia un dron estático que se encuentra exactamente en el plano vertical que pasa por la línea recta que los une, y situado espacialmente entre ellos. El observador $A$ ve el dron con un ángulo de elevación de $60^\circ$ y el observador $B$ lo ve con un ángulo de $45^\circ$. Calcula la altura exacta a la que vuela el dron, expresando el resultado con radicales.

Dos circunferencias secantes tienen radios de $10$ cm y $17$ cm. La longitud de la cuerda común a ambas circunferencias es de $16$ cm y los centros quedan a lados opuestos de dicha cuerda. Calcula la distancia que separa los centros de las dos circunferencias y determina el ángulo que forman entre sí sus respectivas rectas tangentes en uno de los puntos de intersección.

Se desea construir una rampa recta para salvar un desnivel vertical de altura $h$. Si el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal es $\alpha$, demuestra utilizando las definiciones de las razones trigonométricas que la suma de la longitud de la base de la rampa (su proyección horizontal) más la longitud de la rampa misma es igual a $h \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Un guardacostas detecta que un barco $A$ navega en línea recta hacia el Este a una velocidad constante de $20$ nudos, y un barco $B$ navega hacia el Norte a $15$ nudos. En un instante determinado ($t=0$), ambos barcos se encuentran exactamente en el mismo punto, donde se cruzan sus trayectorias. ¿Bajo qué ángulo respecto a la dirección Norte observará el capitán del barco $A$ al barco $B$ exactamente $2$ horas después de haberse cruzado?

En un triángulo isósceles cuya base mide $12$ cm y cuya altura sobre dicha base es de $18$ cm, se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados descansa sobre la base del triángulo y los otros dos vértices tocan los lados iguales. Si las diagonales de dicho rectángulo se cortan formando un ángulo de $60^\circ$ (siendo este el ángulo que abarca la base del rectángulo), plantea el sistema trigonométrico y geométrico necesario para calcular las dimensiones exactas de dicho rectángulo.

Un poste vertical proyecta una sombra en un terreno llano. En un momento de la mañana, cuando la elevación del sol es de $\alpha = 30^\circ$, la sombra mide $L$ metros. Un par de horas más tarde, cuando la elevación del sol ha aumentado a $\beta = 45^\circ$, se comprueba que la sombra se ha acortado exactamente $10$ metros. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la altura exacta del poste expresada con radicales.

Sobre un acantilado vertical que da al mar se alza una torre vigía de $18\text{ m}$ de altura. Desde una patrullera costera detenida en el agua, se miden los ángulos de elevación hasta la base de la torre ($\alpha = 24^\circ$) y hasta su extremo superior ($\beta = 31^\circ$). Se desea calcular la altura $H$ del acantilado sobre el nivel del mar.

Dos oficiales proponen métodos trigonométricos distintos:

• Método 1 (Ángulos con la horizontal): Utilizar la distancia horizontal desconocida $d$ al acantilado mediante $\tan(24^\circ) = \frac{H}{d}$ y $\tan(31^\circ) = \frac{H+18}{d}$, despejando $d$ de la primera y sustituyendo en la segunda.

• Método 2 (Ángulos con la vertical / cenitales): Trabajar con los ángulos que forman las líneas de visión respecto a la vertical del acantilado ($\theta_1 = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$ y $\theta_2 = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ$), expresando $d = H \cdot \tan(66^\circ)$ y $d = (H+18) \cdot \tan(59^\circ)$, e igualando ambas expresiones.

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos de forma completa hasta hallar $H$.
2. b) Analiza algebraicamente ambos caminos: ¿cuál de los dos requiere despejar una incógnita situada en el denominador y cuál conduce a una ecuación lineal directa en $H$ sin fracciones algebraicas?
3. c) Si en una libreta de campo se redondean los valores de las tangentes a solo dos decimales en los pasos intermedios, demuestra numéricamente cuál de los dos métodos propaga un mayor error en el resultado final y justifica cuál elegirías para programar el software de navegación de la embarcación.

Un equipo técnico proyecta un campo solar fotovoltaico sobre la cubierta horizontal plana de un centro logístico en Zaragoza. Cada hilera de paneles mide $2,4\text{ m}$ de longitud sobre su plano inclinado y se monta orientada al sur con un ángulo de elevación fijo de $36^\circ$ respecto a la cubierta.

1. a) Modela la sección transversal de una hilera mediante un triángulo rectángulo y calcula la altura vertical $h$ de su borde superior y la longitud de su base horizontal proyectada $b$.
2. b) En el solsticio de invierno a las 12:00 (hora solar), los rayos del sol alcanzan en esa latitud su inclinación mínima del año, con un ángulo de elevación solar de solo $\gamma = 25^\circ$ sobre el horizonte. Modela el triángulo rectángulo que describe la sombra arrojada por la hilera y deduce la distancia horizontal mínima $D$ que debe existir entre la parte posterior de una hilera y el pie de la siguiente para evitar cualquier sombreado sobre los paneles.
3. c) Si la cubierta mide exactamente $45\text{ m}$ de fondo en dirección norte-sur, determina el número máximo de hileras completas que se pueden instalar garantizando la ausencia total de sombras en el solsticio de invierno e indica cuántos metros de fondo de cubierta quedan sin aprovechar al final.