Ejercicios: Razones trigonométricas recíprocas

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.

Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.

Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.

Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.

Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.

Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.

Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.

Lucía tiene que calcular el valor de $\sec \alpha$ sabiendo que $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$ y que $\alpha$ es un ángulo del segundo cuadrante ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). En su examen escribe el siguiente procedimiento:

Al final añade: «Como la secante proviene de despejar una raíz cuadrada de una suma de términos al cuadrado, su resultado siempre es positivo».

1. a) Explica razonadamente los dos errores conceptuales que comete Lucía (uno en el despeje algebraico y otro en su afirmación sobre el signo de la secante), apoyándote en la relación entre la secante y el coseno y en la posición del ángulo en la circunferencia goniométrica.
2. b) Corrige el cálculo y halla el valor exacto de $\sec \alpha$ y de $\csc \alpha$.

Considera el ángulo agudo $\alpha = 85^\circ$.

1. a) Sin recurrir a la calculadora para obtener el valor numérico, estima razonadamente si $\sec(85^\circ)$ será un número menor que $1$, cercano a $1$ o mucho mayor que $1$. Justifica tu predicción analizando qué ocurre con el valor de $\cos \alpha$ en la circunferencia goniométrica a medida que $\alpha$ se acerca a $90^\circ$ y teniendo en cuenta la definición $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$.
2. b) Sabiendo que $\cos(85^\circ) \approx 0,0872$, calcula el valor de $\sec(85^\circ)$ redondeado a dos cifras decimales y comprueba si tu estimación cualitativa era correcta.
3. c) Basándote en este comportamiento, ¿es posible encontrar algún ángulo real $\theta$ tal que $\sec \theta = 0,5$? Justifica tu respuesta a partir del rango de valores que puede tomar la función coseno.

Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.

Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.

Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.

Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.

Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.

En las instalaciones solares fotovoltaicas de Extremadura, la masa de aire relativa ($AM$) modeliza la longitud relativa de la trayectoria que recorre la radiación directa a través de la atmósfera terrestre. Para ángulos cenitales $\theta$ no muy próximos al horizonte ($0^\circ \le \theta \le 75^\circ$), se emplea la aproximación $AM = \sec \theta$. El ángulo cenital $\theta$ y el ángulo de elevación solar sobre el suelo $\beta$ son complementarios, es decir, $\theta + \beta = 90^\circ$.

En una medición realizada en una estación meteorológica de Cáceres, se registra que la cotangente del ángulo de elevación solar es $\cot \beta = \frac{4}{3}$.

1. a) Demuestra algebraicamente, a partir de las definiciones de las razones recíprocas y de las razones de ángulos complementarios, que $\sec \theta = \csc \beta$.
2. b) Sin calcular el valor del ángulo en grados y empleando únicamente las identidades pitagóricas del tema, determina el valor exacto de la masa de aire $AM$ en dicha estación.
3. c) Interpreta matemáticamente qué le ocurre a la expresión $AM = \sec \theta$ cuando el Sol se sitúa exactamente en el horizonte (puesta de sol, $\beta = 0^\circ$, lo que equivale a $\theta = 90^\circ$). Explica por qué este modelo deja de ser aplicable en ese instante.

Para simplificar la expresión trigonométrica $E(x) = \frac{\sec^2 x + \csc^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x}$ en todos los puntos donde está definida, dos alumnos de 1.º de Bachillerato proponen estrategias distintas:

• Método de Clara: Expresar desde el principio todas las razones en función de $\sin x$ y $\cos x$, efectuar la suma de fracciones del numerador y luego dividir la fracción resultante entre el denominador.

• Método de Marcos: Descomponer la fracción algebraica original en una suma de dos fracciones con igual denominador común, $\frac{\sec^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x} + \frac{\csc^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x}$, simplificar cada sumando y aplicar las identidades fundamentales.

1. a) Aplica paso a paso ambos métodos y comprueba que con los dos se llega a una expresión numérica constante.
2. b) Compara los dos caminos y justifica cuál de ellos resulta más eficiente, señalando las ventajas algebraicas que presenta respecto al otro.
3. c) Determina qué ángulos del intervalo $[0^\circ, 360^\circ]$ deben excluirse del dominio de $E(x)$ por anular alguno de los denominadores originales de las razones recíprocas involucradas.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.

Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \cdot \sec \theta_r$, donde $h = 5$ cm es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \cdot \sin \theta_r$).

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:

Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcula el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios: $\frac{\csc \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \tan \alpha} = \frac{\sec \alpha - \tan \alpha}{\csc \alpha - \cot \alpha}$.

Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.

Se desea construir una ecuación de segundo grado de la forma $A x^2 + B x + C = 0$, con coeficientes enteros tales que $A > 0$ y $\text{mcd}(A, |B|, |C|) = 1$, cuyas soluciones reales sean exactamente $x_1 = \sec \alpha$ y $x_2 = \csc \alpha$.

Se sabe que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) que satisface la siguiente condición:

1. a) Sin calcular el ángulo $\alpha$, eleva al cuadrado la igualdad anterior y aplica la identidad pitagórica fundamental para deducir el valor exacto del producto $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
2. b) Utilizando dicho producto y las definiciones de las razones recíprocas, calcula la suma de las raíces $S = \sec \alpha + \csc \alpha$ y el producto de las raíces $P = \sec \alpha \cdot \csc \alpha$ en forma de fracciones irreducibles.
3. c) A partir de $S$ y $P$, escribe la ecuación $A x^2 + B x + C = 0$ con los coeficientes enteros pedidos.
4. d) Resuelve la ecuación cuadrática obtenida para hallar los valores numéricos de $\sec \alpha$ y $\csc \alpha$, y justifica por qué era imprescindible que ambas soluciones fuesen estrictamente mayores que $1$ considerando que $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.

David debe resolver en un examen la ecuación trigonométrica $\sec x - \tan x = \cos x$ en el intervalo $[0, 2\pi)$. Su desarrollo es el siguiente:

1. Multiplica ambos miembros por $\cos x$: $\cos x \cdot \sec x - \cos x \cdot \tan x = \cos^2 x \implies 1 - \sin x = \cos^2 x$.

2. Sustituye $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, con lo que obtiene $1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$.

3. Cancela el $1$ y factoriza: $\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x (\sin x - 1) = 0$.

4. Concluye que las soluciones son: si $\sin x = 0 \implies x = 0$ o $x = \pi$; si $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$. David escribe como solución final: $S = \left\{0, \pi, \frac{\pi}{2}\right\}$.

1. a) Identifica qué valor de los obtenidos por David no pertenece al dominio de definición de la ecuación original y explica la razón analítica y geométrica por la que $\sec x$ y $\tan x$ no existen en dicho valor.
2. b) Explica qué error algebraico se cometió en el paso 1 que provocó la aparición de esa solución falsa o extraña.
3. c) Comprueba si los otros dos valores ($x = 0$ y $x = \pi$) son efectivamente soluciones sustituyéndolos en la ecuación original y redacta el conjunto solución riguroso del problema.