Ejercicios: Distancias en el plano

Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.

Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.

Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.

Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.

Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.

Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.

Marcos tiene que calcular la distancia del punto $P(-2, 3)$ a la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. En su examen escribe el siguiente procedimiento:

1. a) Identifica y explica razonadamente los dos errores conceptuales graves cometidos por Marcos en su resolución.
2. b) Corrige el ejercicio realizando el cálculo adecuado y expresa la distancia exacta con el denominador racionalizado.

Se considera el punto $P(2, 4)$ y la recta $r: 3x - 4y + 2 = 0$.

1. a) Sin aplicar todavía la fórmula de la distancia de un punto a una recta, calcula las coordenadas del punto $Q \in r$ que tiene la misma abscisa que $P$ (es decir, con $x = 2$). Halla la distancia vertical entre $P$ y $Q$, y razona geométricamente por qué sabes con total certeza que $d(P, r) \le d(P, Q)$, sirviendo este valor como cota superior de la distancia real.
2. b) Calcula el valor exacto de $d(P, r)$ mediante la fórmula general y comprueba si tu estimación y cota del apartado anterior eran correctas y coherentes.

Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en kilómetros. Calcula el área exacta del terreno evaluando primero la longitud de la base $AB$ y luego la altura correspondiente desde el vértice $C$.

Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma distancia del pueblo $P(-2, 3)$ y del pueblo $Q(4, 1)$. ¿En qué coordenadas exactas debe situarse la antena?

Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma dirección. Calcula la distancia mínima que separa ambas trayectorias.

En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor sobre la tubería que diste exactamente $5$ unidades del centro de la plaza. Halla las coordenadas de las dos posibles ubicaciones del aspersor.

Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos cortes paralelos de seguridad a una distancia exacta de $10$ mm a cada lado del corte principal. Halla las ecuaciones generales de las rectas de los cortes de seguridad.

Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de emergencia. Determina en qué punto exacto de su trayectoria el vehículo estará a la mínima distancia de la base y calcula dicha distancia.

Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en metros. Calcula el perímetro exacto del panel.

Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las coordenadas $S(2, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cometa del satélite.

Una unidad técnica de Adif monitoriza un tramo rectilíneo de vía férrea que, sobre una cuadrícula topográfica con coordenadas en kilómetros, sigue la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$. Se ha instalado una estación base de telecomunicaciones en el punto $T(6, 2)$.

1. a) Modela la situación calculando la distancia mínima exacta en kilómetros entre la estación base y la vía férrea.
2. b) El protocolo de seguridad ferroviaria establece una franja de exclusión de $2\text{ km}$ a cada lado del eje de la vía en la que no puede haber equipos sin apantallamiento electromagnético. Determina razonadamente si la estación $T$ necesita dicho apantallamiento o si se sitúa fuera de la franja.
3. c) Desde la estación $T$ se prevé lanzar un dron de inspección con una autonomía máxima de radioenlace de $5\text{ km}$. Justifica geométricamente si el dron puede alcanzar algún punto de la vía férrea y razona cuántos puntos de la vía se encuentran exactamente a $5\text{ km}$ de la base.

Halla las ecuaciones generales de las dos rectas paralelas a $r: 5x - 12y + 8 = 0$ que se encuentran a una distancia de exactamente $3$ unidades del punto $A(1, -1)$. A continuación, determina la distancia que separa a ambas rectas paralelas entre sí y explica cómo se puede deducir ese último valor de forma inmediata por simetría, sin necesidad de aplicar ninguna fórmula adicional.

Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.

Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril bici que equidiste de ambas avenidas en todo momento. Halla las ecuaciones de las dos posibles trayectorias del carril bici (las bisectrices) y demuestra analíticamente que son perpendiculares.

Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo es de $12$ u$^2$. Calcula la longitud exacta de la base y de los dos lados iguales.

Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$, y su distancia al origen de coordenadas es exactamente $5$ unidades.

Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta $d: x - y - 1 = 0$.

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto fijo $Q(0, 2)$. Simplifica la ecuación resultante.

Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.

Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 9 = 0$. Si el área del rombo es de $20$ u$^2$, halla las coordenadas de los tres vértices restantes.

Para calcular la distancia entre las dos rectas paralelas $r: 3x - 4y + 7 = 0$ y $s: 6x - 8y - 11 = 0$, se proponen tres métodos de trabajo:

• Método A (Definición): Tomar un punto arbitrario $P \in r$ y calcular $d(P, s)$ mediante la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

• Método B (Proyección ortogonal): Trazar una recta perpendicular común a ambas, hallar los puntos de corte $M \in r$ y $N \in s$, y calcular el módulo del vector $\vec{MN}$.

• Método C (Fórmula simplificada): Multiplicar la ecuación de $r$ por $2$ para igualar los coeficientes $A$ y $B$ con los de $s$, y aplicar directamente la expresión $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. a) Aplica el Método A y el Método C resolviendo ambos al completo, y comprueba que proporcionan exactamente el mismo resultado.
2. b) Demuestra algebraicamente la validez de la fórmula del Método C: toma una recta genérica $r: Ax + By + C_1 = 0$, elige en ella un punto genérico $P(x_0, y_0)$ que satisfaga $Ax_0 + By_0 = -C_1$, y calcula $d(P, s)$ respecto a $s: Ax + By + C_2 = 0$.
3. c) Compara críticamente los tres métodos: indica cuál es el más eficiente en la práctica, cuál entraña mayor riesgo de error por acumulación de cálculos y por qué el Método B resulta innecesariamente laborioso para este objetivo.

Se consideran las rectas secantes $r: 4x - 3y + 6 = 0$ y $s: 3x + 4y - 12 = 0$. Se buscan puntos situados sobre el eje de abscisas ($OX$) que equidisten simultáneamente de ambas rectas.

1. a) Escribe las coordenadas de un punto genérico del eje de abscisas, plantea la condición algebraica $d(P, r) = d(P, s)$ y obtén las coordenadas exactas de los dos únicos puntos, $P_1$ y $P_2$, que verifican dicha igualdad.
2. b) Determina las ecuaciones generales de las dos bisectrices, $b_1$ y $b_2$, de los ángulos que forman $r$ y $s$. Comprueba mediante sustitución directa que $P_1$ pertenece a una de ellas y $P_2$ a la otra.
3. c) Demuestra que las dos bisectrices $b_1$ y $b_2$ son perpendiculares entre sí y razona qué significado geométrico tiene el hecho de que los puntos hallados en el apartado a) sean precisamente las intersecciones de cada bisectriz con el eje de abscisas.