Ejercicios: Conjuntos numéricos

Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertenecen (ten en cuenta que un número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez):

$-5$, $3,14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.

Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales:

1. a) $2,45$
2. b) $1,\widehat{6}$
3. c) $0,1\widehat{25}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

1. a) Todo número entero es un número racional.
2. b) El número $0$ es un número irracional.
3. c) Todos los números decimales se pueden expresar como fracción.

Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente en la recta real el siguiente conjunto de números:

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes utilizar su expresión decimal aproximada:

$3,14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3,1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$

Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre $1,5$ y $1,6$.

Dados los intervalos $A = [-3, 4)$ y $B = (0, 7]$, determina en forma de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$

Determina exactamente qué números enteros pertenecen al intervalo $(-2,5; 3]$. Expresa el resultado utilizando notación de conjuntos con llaves.

Hugo tiene que hallar la fracción generatriz del número decimal $2,1\widehat{45}$ y escribe en su cuaderno lo siguiente:

«Llamo $x = 2,1454545\ldots$

Como el período tiene dos cifras, multiplico por $100$:

$100x = 214,54545\ldots$

Ahora resto ambas expresiones para quitar los decimales:

$100x - x = 214,54545\ldots - 2,1454545\ldots = 212,4$

Por tanto, $99x = 212,4 \implies x = \frac{212,4}{99} = \frac{2124}{990} = \frac{118}{55}$.

Como he obtenido una fracción de números enteros, el resultado es correcto».

1. a) Explica cuál es el error de concepto en el método que ha seguido Hugo. Fíjate en la resta que realiza: ¿se cancela realmente la parte periódica infinita o queda distorsionada?
2. b) Corrige su resolución explicando qué potencias de $10$ deben utilizarse para alinear de forma exacta los períodos y escribe el procedimiento paso a paso.
3. c) Obtén la fracción generatriz irreducible correcta y compárala con la de Hugo. ¿Coinciden por casualidad o el resultado de Hugo era incorrecto?

Considera el número real $N = \sqrt{10} + \sqrt{26}$.

1. a) Estima: sin utilizar la calculadora, acota cada una de las raíces entre dos números enteros consecutivos a partir de los cuadrados perfectos más cercanos. Con esa información, deduce entre qué dos números enteros tiene que encontrarse el valor de $N$.
2. b) Comprueba: tomando las aproximaciones con tres cifras decimales $\sqrt{10} \approx 3,162$ y $\sqrt{26} \approx 5,099$, calcula el valor aproximado de $N$. ¿Es coherente el resultado obtenido con tu estimación previa?
3. c) Justifica razonadamente si $N$ pertenece al intervalo cerrado $[8, 9]$. A continuación, clasifica $N$ en el conjunto numérico más restrictivo posible ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$), justificando por qué ni $\sqrt{10}$ ni $\sqrt{26}$ pueden expresarse como números racionales.

En una clase de Física se miden o utilizan diferentes magnitudes para un experimento: la masa de una partícula $m = 2,5 \cdot 10^{-3}$ kg, el período de un péndulo $T = 2\pi$ s, el número de oscilaciones $n = 15$, la variación de temperatura $\Delta \theta = -4^\circ$C y la energía $E = \sqrt{2}$ J. Clasifica los valores numéricos exactos de estas medidas según el conjunto numérico más restrictivo (el más pequeño) al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$).

Una empresa divide una ganancia de $1000$ dólares entre $3$ socios a partes iguales. El programa de contabilidad trunca el resultado y transfiere $333,33$ dólares a cada cuenta.

1. a) Expresa la cantidad exacta que corresponde a cada socio utilizando fracciones.
2. b) Calcula el error absoluto total que comete la empresa al usar la aproximación decimal para los tres socios en lugar del valor exacto.

Observa el diagrama de Venn que representa los conjuntos numéricos. Sitúa los siguientes números en la región más restrictiva que les corresponda:

$a = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$, $b = -2,1\widehat{5}$, $c = \frac{\pi}{2}$, $d = \sqrt[3]{-8}$, $e = 1,010010001\dots$

En el diseño de un microchip, la tolerancia admisible para el grosor de una pista de silicio está dada por el conjunto $T = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1,25| \le 0,05\}$ en micrómetros.

1. a) Expresa este conjunto como un intervalo.
2. b) Determina si los grosores $x_1 = 1,30$ y $x_2 = 1,25 + \frac{\sqrt{2}}{100}$ cumplen con la tolerancia exigida.

Una reacción química es viable si la temperatura $T$ (en $^\circ$C) pertenece al intervalo $A = [-10, 45)$ y, simultáneamente, la presión obliga a que un parámetro de control de temperatura $k = \frac{T}{10}$ pertenezca al intervalo $B = (0, 5]$. Calcula el intervalo exacto de temperaturas $T$ para el cual la reacción es viable cumpliendo ambas condiciones a la vez.

Un arquitecto calcula la longitud de un muro sumando dos tramos cuyas medidas teóricas son $L_1 = 2,\widehat{3}$ m y $L_2 = 1,1\widehat{6}$ m.

1. a) Calcula la longitud total exacta del muro operando con las fracciones generatrices de ambos números.
2. b) Expresa el resultado final como un número decimal.

Sin utilizar calculadora, determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional, desarrollando las expresiones algebraicas:

1. a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
3. c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

La propiedad de densidad de los números racionales establece que entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Demuestra esta propiedad encontrando tres números racionales distintos comprendidos estrictamente entre $\frac{4}{7}$ y $\frac{5}{7}$.

La propiedad de densidad de los números reales afirma que entre dos números reales distintos existen infinitos racionales e infinitos irracionales. Considera el intervalo abierto $(0,45\,;\, 0,46)$.

1. a) Construye un número racional $r$ que pertenezca estrictamente a dicho intervalo. Escribe primero su expresión decimal exacta y obtén a continuación su fracción generatriz irreducible $\frac{p}{q}$ con $p, q \in \mathbb{Z}$.
2. b) Construye un número irracional $s$ que pertenezca a dicho intervalo. Explica con claridad la regla de formación de sus infinitas cifras decimales para garantizar que no presenta ningún período de repetición.
3. c) Encuentra dos números irracionales distintos, $x$ e $y$, pertenecientes ambos al intervalo $(1, 2)$, tales que su producto sea exactamente un número natural: $x \cdot y = 2$. Demuestra que tanto $x$ como $y$ son efectivamente irracionales.

En una estación de monitorización agroclimática del valle de Viñales se mide el porcentaje de humedad del suelo ($H$) en tres parcelas de tabaco para automatizar el sistema de riego por goteo. La central sigue este protocolo según el valor de $H$:

• Estado de déficit severo: $H \in [0, 15)$ (activa riego de emergencia).

• Estado óptimo: $H \in [15, 28]$ (mantiene el riego desactivado).

• Estado de saturación: $H \in (28, 100]$ (activa drenaje preventivo).

Los sensores registran los siguientes valores exactos en tres parcelas:

• Parcela 1: $H_1 = \sqrt{200}\,\%$

• Parcela 2: $H_2 = \frac{85}{6}\,\%$

• Parcela 3: $H_3 = 14,\widehat{9}\,\%$

1. a) Clasifica cada uno de los valores $H_1$, $H_2$ y $H_3$ en el conjunto numérico más restrictivo al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$).
2. b) Determina en qué estado de actuación se encuentra cada una de las parcelas. Para la Parcela 3, calcula su fracción generatriz irreducible, explica qué particularidad matemática presenta el decimal $14,\widehat{9}$ y concluye qué acción debe ejecutar el sistema en esa parcela.
3. c) Expresa mediante una unión de intervalos el conjunto de valores de humedad para los cuales el sistema debe intervenir de forma activa (riego de emergencia o drenaje preventivo).

Demuestra, utilizando el método de reducción al absurdo, que $\sqrt{3}$ es un número irracional. (Supón que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros primos entre sí, y llega a una contradicción).

Dados los conjuntos definidos en la recta real $A = (-\infty, 3k-1]$ y $B = [k+5, \infty)$, determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para el cual la intersección $A \cap B$ está formada por un único número real. Clasifica dicho número en los conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$.

En la figura se muestra la construcción geométrica de un número sobre la recta real utilizando un triángulo rectángulo y un arco de circunferencia.

1. a) Identifica qué número real exacto representa el punto $P$ sobre el eje horizontal.
2. b) Clasifica dicho número en los conjuntos numéricos.
3. c) Demuestra analíticamente su valor aplicando el teorema de Pitágoras.

El número áureo se define como $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1. a) Demuestra algebraicamente que $\phi$ cumple la ecuación $\phi^2 - \phi - 1 = 0$.
2. b) A partir de este resultado, deduce si el número $\frac{1}{\phi}$ es racional o irracional y exprésalo como un binomio en función de $\phi$.

Considera el número real $x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$.

Simplifica la expresión al máximo (pista: intenta expresar el radicando $7 - 4\sqrt{3}$ como un binomio al cuadrado perfecto) y determina a qué conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$) pertenece el valor exacto de $x$.

Dados los conjuntos de números reales $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \le 0\}$ y $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 1\}$, halla los conjuntos resultantes de las operaciones $A \cup B$ y $A \cap B$. Expresa los resultados finales en forma de intervalo.

Un analista deportivo modela el rendimiento óptimo de un atleta mediante la intersección de tres intervalos de tiempo de reacción (en segundos) obtenidos de diferentes estudios biomecánicos:

$I_1 = [0,15; 0,25]$

$I_2 = (0,18; 0,30)$

$I_3 = [0,20; \infty)$

1. a) Calcula el intervalo resultante de la intersección $I_1 \cap I_2 \cap I_3$.
2. b) Si el tiempo de reacción ideal absoluto debe ser un número irracional contenido estrictamente dentro de esa intersección, propón un valor exacto (usando raíces) que cumpla la condición.

Sabiendo que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales e irracionales, construye un número irracional $x$ que cumpla simultáneamente las siguientes dos condiciones:

1. a) $0,01 < x < 0,02$
2. b) En su desarrollo decimal infinito solo aparecen los dígitos $0$ y $1$.

Escribe al menos los primeros 12 decimales de tu número para dejar clara la regla de formación que garantiza su irracionalidad.

Quieres demostrar de forma rigurosa que el número $x = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ es un número irracional. En tu grupo de trabajo surgen tres propuestas distintas:

• Método 1 (Aproximación decimal): Calcular $\sqrt{2} \approx 1,4142\ldots$ y $\sqrt{5} \approx 2,2360\ldots$, sumar las cifras obtenidas y observar que la parte decimal resultante no presenta repetición periódica alguna.

• Método 2 (Reducción al absurdo aislando un radical): Suponer que $\sqrt{2} + \sqrt{5} = q$ con $q \in \mathbb{Q}$, transformar la igualdad en $\sqrt{5} = q - \sqrt{2}$, elevar ambos miembros al cuadrado y despejar $\sqrt{2}$ para analizar la naturaleza de la igualdad resultante.

• Método 3 (Elevación directa al cuadrado): Elevar directamente al cuadrado la suma para obtener $(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{10}$, y afirmar que como la suma contiene $\sqrt{10}$, el número original debe ser irracional.

1. a) Analiza críticamente el Método 1: ¿constituye una demostración matemática válida? Justifica por qué el uso de aproximaciones finitas jamás puede demostrar la ausencia de periodicidad en los infinitos decimales de un número.
2. b) Evalúa el Método 3: explica qué fallo de implicación lógica comete (¿es cierto que si $x^2$ es irracional, entonces $x$ es irracional?, ¿y se ha demostrado ya formalmente que $\sqrt{10}$ es irracional?).
3. c) Aplica y desarrolla por completo el Método 2: redacta la demostración formal por reducción al absurdo, detallando cada paso algebraico y explicando con precisión matemática la contradicción final a la que se llega.

En una prueba escrita, se plantea la siguiente afirmación para razonar si es verdadera o falsa: «La suma de dos números irracionales cualesquiera es siempre un número irracional». Marcos responde:

«Es verdadera. Un número irracional tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón periódico. Al sumar dos números cuyas cifras decimales son aperiódicas, es imposible que las infinitas cifras se sincronicen mágicamente para formar un ciclo periódico que se repita. Por tanto, la suma tendrá siempre infinitos decimales sin período y pertenecerá a $\mathbb{I}$».

1. a) Localiza y explica el error conceptual de Marcos. ¿Por qué su intuición sobre la «suma de cifras que no pueden sincronizarse» carece de validez matemática?
2. b) Proporciona dos contraejemplos numéricos explícitos que desmientan la afirmación:

1. Dos números $x, y \in \mathbb{I}$ tales que su suma $x + y$ sea un número entero $\mathbb{Z}$.

2. Dos números $u, v \in \mathbb{I}$ tales que su producto $u \cdot v$ sea un número racional no entero (es decir, perteneciente a $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$).

1. c) Demuestra formalmente, utilizando el método de reducción al absurdo, la propiedad que sí se cumple siempre: «La suma de cualquier número racional $q \in \mathbb{Q}$ y cualquier número irracional $r \in \mathbb{I}$ es siempre un número irracional ($q + r \in \mathbb{I}$)».