Ejercicios: Transformaciones

Dada la función $f(x) = x^2 - 3x$, escribe la expresión algebraica de la función $g(x)$ que se obtiene al trasladar la gráfica de $f(x)$ cuatro unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba.

La gráfica de una función $f(x)$ pasa por el punto $P(-3, 5)$. Determina las coordenadas del punto homólogo en las gráficas de las siguientes funciones transformadas:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada en la figura, describe los pasos geométricos necesarios para obtener la gráfica de la función $g(x) = |f(x)|$ y calcula las coordenadas de los nuevos vértices o puntos de inflexión.

Un globo aerostático desciende con una velocidad constante. Su altitud en metros viene dada por $A(t) = 800 - 50t$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Un segundo globo inicia su descenso $10$ minutos más tarde exactamente con el mismo perfil de vuelo. Escribe la expresión de la altitud del segundo globo $B(t)$ en función de $A(t)$ y desarrolla su expresión algebraica final.

Dada la función elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indica qué transformaciones geométricas (traslaciones, dilataciones, reflexiones) hay que aplicar sucesivamente, y en qué orden, para obtener la función $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

La función $C(x)$ representa el costo en dólares de producir $x$ componentes electrónicos. Debido a una mejora tecnológica en la línea de montaje, ahora se puede producir el triple de componentes por exactamente el mismo costo total. Expresa la nueva función de costo $N(x)$ en términos de la función original $C(x)$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ definida en el intervalo $[-4, 4]$. Determina el dominio y el recorrido de la función transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

Expresa la función $g(x) = |-x^2 + 4|$ como una función definida a trozos, eliminando el valor absoluto e indicando claramente los intervalos donde la expresión original cambia de signo.

Marcos está estudiando cómo transformar la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x$. Su objetivo es obtener la expresión analítica de una nueva función $g(x)$ cuya gráfica sea el resultado de desplazar la de $f(x)$ exactamente $3$ unidades hacia la derecha y, a continuación, reflejarla respecto al eje de abscisas ($X$). Marcos presenta la siguiente resolución en su cuaderno:

«Para trasladar $3$ unidades a la derecha, sumo $3$ dentro del argumento: $x \to x + 3$. Para reflejar respecto al eje $X$, cambio el signo de la variable independiente: $x \to -x$. Por tanto, sustituyendo en la fórmula obtengo: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$».

1. a) Localiza y explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Marcos al aplicar las transformaciones.
2. b) Muestra el procedimiento correcto paso a paso y escribe la expresión algebraica de $g(x)$ en su forma desarrollada y simplificada.

A partir de la función cuadrática elemental $f(x) = x^2$, se define una función transformada $g(x) = a \cdot f(x - h) + k$, donde $a$, $h$ y $k$ son números reales con $a \ne 0$. Se sabe que la gráfica de $g(x)$ tiene su vértice en el punto $V(-2, 5)$ y corta al eje de ordenadas ($Y$) en el punto $(0, -3)$.

1. a) Deduce razonadamente, a partir de las propiedades geométricas de las traslaciones, los valores de los parámetros $h$ y $k$.
2. b) Plantea una ecuación utilizando el punto de corte con el eje $Y$ para determinar el valor exacto del parámetro $a$.
3. c) Explica qué tres transformaciones geométricas se han aplicado sobre $f(x)$ para obtener $g(x)$ (indicando orden, magnitudes y sentidos) y escribe la expresión algebraica final de $g(x)$ en forma polinómica general ($Ax^2 + Bx + C$).

El beneficio mensual de una pequeña empresa tecnológica, en miles de dólares, se modela mediante la función $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, donde $x$ representa el mes del año ($x=1$ para enero, etc.). La empresa decide retrasar el lanzamiento de su campaña de marketing un mes, lo que supone un desplazamiento horizontal de la curva de beneficios, y además asume un incremento de costos fijos de $3$ mil dólares mensuales. Encuentra la nueva expresión de la función de beneficios $N(x)$ y determina en qué mes se alcanzará ahora el beneficio máximo.

En un estudio de acústica, una onda sonora base se modela mediante la función $S(t) = \sin(t)$. Para un experimento, la onda original se amplifica multiplicando su amplitud por $4$ y se hace más aguda duplicando su frecuencia. Además, se introduce un retardo en la emisión de $\frac{\pi}{4}$ segundos. Escribe la expresión analítica de la nueva onda sonora $W(t)$ y calcula su nuevo periodo.

La gráfica de la función $f(x)$ está formada por dos segmentos de recta que unen los puntos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ y $(4, -2)$. Se define una nueva función mediante la transformación $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Describe la secuencia ordenada de transformaciones geométricas aplicadas a $f(x)$.

• Calcula las coordenadas exactas de los nuevos vértices de la gráfica de $g(x)$.

La eficiencia de un panel solar a lo largo del día viene dada por una función $E(t)$. Se instala un nuevo modelo de panel que comienza a generar energía $2$ horas antes y, debido a un recubrimiento especial de grafeno, genera un $15\%$ más de energía en cada instante equivalente. Expresa la nueva función de eficiencia $N(t)$ en términos de $E(t)$. Si el panel original alcanzaba su máxima eficiencia a las 14:00, ¿a qué hora la alcanzará el nuevo panel?

Dada la función elemental $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obtener la función $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explica detalladamente dos secuencias diferentes de transformaciones geométricas (alterando el orden de las traslaciones y dilataciones horizontales) que permiten obtener $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demuestra algebraicamente que ambas secuencias conducen a la misma expresión.

Expresa la función racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ en la forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efectuando la división de polinomios. A partir de este resultado, describe paso a paso las transformaciones geométricas que hay que aplicar a la hipérbola equilátera $y = \frac{1}{x}$ para obtener la gráfica de $f(x)$.

Un cultivo de bacterias crece según la función $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Un segundo cultivo $M(t)$ inicia con la cuarta parte de la población inicial del primero, pero su tasa de crecimiento es idéntica y se empezó a medir $4$ horas antes. Expresa $M(t)$ en términos de $N(t)$ y simplifica la expresión resultante para comprobar si ambas poblaciones serán iguales en algún momento.

Asocia cada una de las expresiones analíticas con el panel correspondiente en la figura, sabiendo que todas derivan de transformaciones con valor absoluto aplicadas a la función base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Considera la función polinómica $f(x) = x^2 - 2x - 8$ y la función transformada $g(x) = |f(x)| - 5$.

1. a) Estima: Sin resolver todavía ninguna ecuación de segundo grado, calcula las coordenadas del vértice de $f(x)$ y sus puntos de corte con el eje $X$. A partir de esa información geométrica, describe qué efecto produce el valor absoluto sobre las zonas negativas y cómo afecta la traslación vertical posterior de $-5$ unidades. Basándote en esto, estima razonadamente cuántos puntos de corte con el eje $X$ tendrá la función $g(x)$ y entre qué valores del eje real deberían situarse aproximadamente.
2. b) Comprueba: Plantea y resuelve algebraicamente la ecuación $g(x) = 0$ transformándola en dos ecuaciones cuadráticas independientes según la definición de valor absoluto. Halla todos los puntos de corte exactos y comprueba si el número de soluciones y sus posiciones concuerdan con la estimación que realizaste en el apartado anterior.

Según los registros de una estación meteorológica de la AEMET en la meseta castellana durante un día despejado de primavera, la temperatura $T(t)$ en grados Celsius ($^{\circ}\text{C}$) entre las $6:00$ y las $22:00$ horas ($t \in [6, 22]$) responde al modelo cuadrático:

$T(t) = -0,125(t - 14)^2 + 18$

donde $t$ indica la hora solar del día.

Al día siguiente entra un frente frío que modifica el régimen térmico de acuerdo con tres efectos simultáneos sobre la gráfica:

1. El momento de máxima insolación y temperatura punta se adelanta $2$ horas.

2. La oscilación térmica diurna (diferencia entre la temperatura máxima y la mínima) se reduce a la mitad, lo que equivale a comprimir la gráfica verticalmente con un factor de escala $a = 0,5$.

3. Se produce un descenso térmico uniforme adicional de $3\,^{\circ}\text{C}$ a lo largo de todo el día por la masa de aire frío.

1. a) Escribe la relación funcional entre el nuevo modelo $N(t)$ y el modelo inicial $T(t)$ en la forma $N(t) = a \cdot T(t - h) + k$, justificando detalladamente el valor y el signo de cada uno de los parámetros $a$, $h$ y $k$.
2. b) Desarrolla y simplifica la expresión analítica final de $N(t)$ en función de la hora $t$.
3. c) Determina razonadamente a qué hora se alcanzará la temperatura máxima en este nuevo día frío y cuál será su valor exacto.

Un ingeniero diseña el perfil de un puente colgante utilizando como modelo la curva $f(x) = e^{-x^2}$. Por requisitos geológicos del terreno, necesita proponer un nuevo perfil $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

• Debe tener el doble de anchura que el diseño original.

• El centro de simetría del puente debe estar desplazado $4$ unidades hacia la derecha.

• El perfil debe estar invertido (abriendo hacia arriba en lugar de hacia abajo), sin modificar su escala vertical.

• La altura mínima del nuevo perfil debe situarse exactamente a $10$ metros sobre el nivel del suelo.

Determina analíticamente los valores precisos de los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$.

Sea $f(x)$ una función real impar y periódica de periodo $T=6$. A partir de ella se define la función transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.

Demuestra analíticamente si la función $g(x)$ es par, impar o ninguna de las dos cosas. Determina también si $g(x)$ es periódica y, en caso afirmativo, calcula su periodo mínimo.

Dada una función arbitraria $f(x)$ cuyo dominio es el intervalo $[-6, 8]$ y cuyo recorrido es el intervalo $[-4, 12]$, se define una nueva función mediante la expresión $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcula de forma razonada, detallando los efectos de cada transformación aplicada, el dominio y el recorrido de la función $h(x)$.

En la figura se muestra la curva de luz de una estrella variable, modelada por la función $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, donde $t$ se mide en días y $L$ en unidades de luminosidad. Una densa nube de polvo cósmico oscurece la estrella de tal forma que la luminosidad observada $O(t)$ desde la Tierra es exactamente el valor absoluto de la diferencia entre $L(t)$ y su luminosidad media.

Determina la expresión analítica de $O(t)$, calcula su nuevo periodo y encuentra en qué instantes $t \in [0, 12]$ la luminosidad observada es máxima.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sea simétrica con respecto al punto $C(4, 2)$.

Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto $(2, 4)$. Se le aplican las siguientes transformaciones de forma secuencial:

1. Una contracción horizontal que multiplica por $\frac{1}{3}$ las abscisas de sus puntos.

2. Una traslación de $5$ unidades hacia la izquierda.

3. Una reflexión respecto al eje de abscisas.

4. Una traslación de $7$ unidades hacia arriba.

Encuentra la expresión analítica de la función final $g(x)$ y determina las coordenadas exactas de su nuevo vértice y de sus puntos de corte con los ejes.

Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se realiza un cambio de sistema de referencia en el plano cartesiano de modo que el nuevo origen de coordenadas se sitúa en el punto $(-3, 2)$ del sistema antiguo, se invierte el sentido positivo del eje de abscisas y la unidad de medida del eje de ordenadas se reduce a la mitad. Escribe la ecuación de la curva en el nuevo sistema de coordenadas.

Una trayectoria programada para un brazo robótico viene dada por la función $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, que describe una semicircunferencia de radio $R$ centrada en el origen. El equipo de diseño desea programar una nueva trayectoria elíptica $E(x)$ que tenga su centro en el punto $(h, k)$, un semieje horizontal de longitud $a$ y un semieje vertical de longitud $b$ (representando únicamente la mitad superior de la elipse).

Expresa la función final $E(x)$ indicando claramente la composición de transformaciones geométricas aplicadas a la función base $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicircunferencia de radio $1$).

Se desea estudiar la función transformada $g(x) = f(2x - 8)$ a partir de una función base $f(x)$ cuya gráfica es conocida. Dos estudiantes discuten sobre cuál es el procedimiento correcto para construir la gráfica de $g(x)$ mediante transformaciones elementales sobre la variable $x$:

• Método de Alba (factorizar la escala horizontal): Escribe $g(x) = f(2(x - 4))$ y afirma que se debe aplicar primero una compresión horizontal de factor $\frac{1}{2}$ respecto al eje $Y$ y después una traslación horizontal de $4$ unidades hacia la derecha.

• Método de Bruno (traslación previa sin factor): Afirma que se debe aplicar primero una traslación horizontal de $8$ unidades hacia la derecha para obtener $f(x - 8)$, y sobre esta gráfica aplicar una compresión horizontal sustituyendo $x$ por $2x$, lo que comprime toda la gráfica a la mitad respecto al eje $Y$.

1. a) Comprueba analíticamente si ambos métodos conducen al mismo resultado. Para ello, toma un punto genérico $(x_0, y_0)$ que pertenezca a la gráfica de $f$ (es decir, $y_0 = f(x_0)$) y determina qué coordenada $x$ le corresponde en $g(x)$ según cada método para que se cumpla $g(x) = y_0$.
2. b) Analiza críticamente los dos métodos: ¿por qué el método de Alba es el que se recomienda habitualmente en matemáticas y cuál es el error típico en el que suelen caer los alumnos que intentan aplicar el método de Bruno sin prestar suficiente atención al centro de compresión?
3. c) Sabiendo que la función base $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto $(6, -3)$ y corta al eje $X$ en $x = 2$ y en $x = 10$, elige el método que consideres más fiable para calcular las coordenadas del nuevo mínimo relativo de $g(x)$ y sus nuevos puntos de corte con el eje $X$, justificando cada paso.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 1}$:

1. a) Efectúa la división algebraica para expresar $f(x)$ en la forma canónica $f(x) = c + \frac{k}{x - h}$. A partir de dicha expresión, describe con precisión la secuencia de transformaciones geométricas elementales (traslaciones, dilataciones y reflexiones) que permiten transformar la hipérbola básica $y = \frac{1}{x}$ en la gráfica de $f(x)$.
2. b) Se define la familia de funciones transformadas $g_m(x) = |f(x) + m|$, donde $m \in \mathbb{R}$ es una constante. Sabiendo que $f(x)$ posee una asíntota horizontal, deduce razonadamente para qué valores del parámetro $m$ la gráfica de $g_m(x)$ tendrá su asíntota horizontal situada estrictamente por encima de la recta horizontal $y = 3$.
3. c) Para el valor particular $m = -1$, obtén la expresión simplificada dentro del valor absoluto de $g_{-1}(x) = |f(x) - 1|$, calcula las coordenadas del punto de corte de su gráfica con el eje de abscisas y determina el intervalo exacto de la recta real en el que la gráfica de $f(x) - 1$ ha sufrido una reflexión respecto al eje $X$ como consecuencia del valor absoluto.