Ejercicios: Paridad de una función

Determina analíticamente si la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o ninguna de las dos.

Estudia la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.

Observa la siguiente gráfica y clasifica la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando tu respuesta a partir de los puntos destacados.

Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que $C(4) = 150$ dólares, ¿cuál será el valor de $C(-4)$?

La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es $p(3) = -12$ m, ¿cuál era su posición en el instante $t=-3$ s?

Comprueba matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.

Completa los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$

Determina analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.

Lucía afirma en clase: «Como en la función $f(x) = 2x^3 - 5x + 3$ los exponentes de las $x$ son $3$ y $1$ (ambos impares), la función tiene que ser impar. Para demostrarlo, calculo $f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) + 3 = -2x^3 + 5x + 3 = -(2x^3 - 5x - 3)$, y como casi todos los términos cambian de signo, se puede considerar impar salvo por la constante».\na) Identifica el error conceptual y algebraico cometido por Lucía al aplicar la definición de función impar.\nb) Determina analíticamente si $f(x)$ es par, impar o ninguna de las dos.\nc) Razona qué modificación mínima habría que hacer en el término independiente para que la función resultante sí sea simétrica respecto al origen de coordenadas.

Dada la función $g(x) = x^3 \cdot \sin(x)$:\na) Estima su paridad antes de calcular: analiza la simetría de cada factor por separado ($x^3$ y $\sin(x)$) y, aplicando la regla de los signos para el producto de funciones simétricas, anticipa si esperas que $g(x)$ sea par, impar o ninguna de las dos.\nb) Comprueba formalmente tu estimación calculando $g(-x)$ paso a paso y utilizando la propiedad trigonométrica de $\sin(-x)$.\nc) Evalúa numéricamente $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$ y $g\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. ¿Coinciden estos valores con lo que predice la paridad obtenida? Justifica tu respuesta.

El perfil de un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en metros. Demuestra analíticamente si este perfil es simétrico respecto al eje central vertical (función par).

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función de beneficios de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica respecto a $x=0$.

La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modeliza con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la distancia. Determina el valor que debe tener obligatoriamente el parámetro $b$ para que se cumpla dicha simetría.

Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestra analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.

La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describe cómo sería la mitad izquierda y qué valor tomará $f(-x)$ en función de $f(x)$.

Estudia la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.

Determina analíticamente si la función $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ es par, impar o ninguna de las dos.

Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analiza y demuestra la paridad de esta función.

En una estación de control de AEMET en una zona de alta insolación, la oscilación térmica respecto a la temperatura media diaria durante un día despejado de equinoccio se aproxima mediante el modelo $T(t) = \frac{12 \cdot \cos(0,26 \cdot t)}{1 + 0,01 \cdot t^2}$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde el mediodía solar ($t = 0$, que corresponde a las 13:30 h oficiales), definido para el intervalo $t \in [-12, 12]$.\na) Demuestra analíticamente si el modelo de temperatura $T(t)$ es una función par, impar o no presenta simetría.\nb) Interpreta físicamente el resultado: ¿qué predice este modelo sobre la temperatura a las 10:30 h oficiales en comparación con la temperatura a las 16:30 h oficiales?\nc) Si a partir de las horas vespertinas el viento habitual introduce un enfriamiento adicional lineal modelizado por un término $-0,4 \cdot t$ en toda la expresión, razona si la nueva función resultante mantendría la simetría respecto al mediodía solar.

Considera la familia de funciones racionales $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, donde $a$ y $b$ son parámetros reales.\na) Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea impar y su gráfica pase por el punto $(1, 3)$.\nb) ¿Es posible elegir valores para $a$ y $b$ de manera que $f(x)$ sea una función par? Si crees que es posible, calcúlalos; si no lo es, justifica de forma algebraica por qué ningún par de valores reales puede conseguirlo.

Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las expresiones $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

Sabiendo que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ y una función impar $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, descompón la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.

Estudia la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelizar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.

Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determina y demuestra rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.

Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por los puntos $(2, \frac{10}{3})$ y $(3, \frac{15}{4})$, y tiene una asíntota vertical en $x=1$ (para $x>0$), calcula los valores exactos de los parámetros $a, b$ y $c$.

Analiza la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a dos focos emisores de calor situados en $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determina la expresión analítica completa de $f(x)$.

La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestra matemáticamente que su función derivada $f'(x)$ debe ser obligatoriamente una función par.

Para estudiar la paridad de la función $h(x) = \frac{x^3 \cdot \sin(x^2)}{1 + \cos(x)}$, se plantean dos caminos diferentes:\n- Método 1 (Evaluación directa): Sustituir sistemáticamente $x$ por $-x$ en toda la expresión, operar aplicando las identidades trigonométricas de paridad y comparar $h(-x)$ con $h(x)$ y $-h(x)$.\n- Método 2 (Álgebra de simetrías): Descomponer $h(x)$ en el producto y cociente de los bloques elementales $f_1(x) = x^3$, $f_2(x) = \sin(x^2)$ y $f_3(x) = 1 + \cos(x)$, analizar la paridad de cada bloque mediante las reglas de composición y suma, y deducir la simetría global.\na) Aplica ambos métodos detallando todos los pasos analíticos.\nb) Compara ambos caminos: ¿cuál resulta más seguro y eficiente para evitar errores con los signos en funciones anidadas complejas? Justifica tu postura.\nc) Utilizando el método que hayas justificado como más eficiente en el apartado anterior, deduce directamente la paridad de la función modificada $k(x) = \frac{x^3 \cdot \sin^2(x)}{1 + \cos(x)}$ sin desarrollar el cálculo directo completo.

Diseña la expresión algebraica de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios de coeficientes reales, sin factores comunes y con el menor grado posible) que cumpla simultáneamente estas cuatro condiciones:\n1. Su dominio es exactamente $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.\n2. $f(x)$ es una función impar en todo su dominio.\n3. Su gráfica corta al eje de abscisas en el punto $x = 1$.\n4. La gráfica pasa por el punto $(3; -4,8)$.\n\nPara construirla, responde razonadamente a los siguientes pasos:\na) Deduce el polinomio del denominador $Q(x)$ y justifica qué paridad tiene.\nb) Demuestra qué paridad obligatoria debe tener el numerador $P(x)$ para que el cociente cumpla la condición de ser impar.\nc) Deduce todos los ceros obligatorios que debe tener $P(x)$ basándote en la simetría y escribe la expresión factorizada de $P(x)$ en función de una constante $a$.\nd) Determina el valor exacto de la constante $a$ usando el punto dado y escribe la fórmula final simplificada de $f(x)$.