Ejercicios: Función inversa

Halla la expresión analítica de la función inversa de la función lineal $f(x) = 3x - 5$.

Determina la función recíproca de la función racional $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

Calcula la función inversa de $h(x) = \sqrt{2x - 1}$, indicando el dominio de la nueva función obtenida.

Dada la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$, dibuja en tu cuaderno los ejes de coordenadas, la recta bisectriz del primer cuadrante ($y = x$) y esboza la gráfica de su función inversa $f^{-1}(x)$. Identifica las coordenadas de al menos tres puntos por los que pase $f^{-1}(x)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Comprueba, utilizando la composición de funciones, si $f(x) = \frac{x+1}{2}$ y $g(x) = 2x - 1$ son funciones inversas. Debes verificar que $(f \circ g)(x) = x$ y que $(g \circ f)(x) = x$.

Obtén la función inversa de la función exponencial $f(x) = 2^{x-3}$.

Halla la función recíproca de la función logarítmica $g(x) = \log_3(x) + 1$.

Sabiendo que $f(x) = x^3 + 2x + 1$, calcula el valor numérico de $f^{-1}(4)$ sin necesidad de hallar la expresión algebraica completa de la función inversa.

Marcos tiene que hallar la función inversa de $f(x) = \frac{3x - 5}{2}$. En su examen escribe la siguiente resolución:

«Como la inversa se denota por $f^{-1}(x)$, aplico la propiedad de las potencias de exponente negativo invirtiendo la fracción:

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual cometido por Marcos, distinguiendo con claridad entre el recíproco o inverso multiplicativo de un número y la función inversa respecto de la composición.
2. b) Corrige el ejercicio realizando el procedimiento adecuado paso a paso para hallar la verdadera expresión de $f^{-1}(x)$.
3. c) Comprueba que tu resultado es correcto verificando que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

En una estación meteorológica de la AEMET situada al nivel del mar se registra una temperatura de $24\text{ }^\circ\text{C}$. En la comarca montañosa adyacente, la temperatura desciende linealmente a razón de $0,65\text{ }^\circ\text{C}$ por cada $100\text{ m}$ de altitud ($h$, expresada en cientos de metros), según el modelo $T(h) = 24 - 0,65h$.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo analítico, estima si para encontrar una temperatura de $11\text{ }^\circ\text{C}$ será necesario ascender a más o a menos de $1500\text{ m}$ de altitud ($h = 15$) y justifica brevemente tu razonamiento cualitativo.
2. b) Despeja la variable $h$ en la ecuación para obtener la función inversa $h(T)$, interpreta qué magnitud calcula dicha función y halla con ella la altitud exacta (en metros) a la que la temperatura es de $11\text{ }^\circ\text{C}$.
3. c) Compara el valor obtenido con tu estimación previa y valora si el resultado es coherente con el comportamiento físico del modelo.

El costo de producción mensual en dólares de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C(x) = \frac{120x + 500}{x + 2}$. Halla la función inversa $C^{-1}(x)$ e interpreta qué representa esta nueva función en el contexto del problema.

La relación que permite convertir una temperatura dada en grados Celsius ($C$) a grados Fahrenheit ($F$) es $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Encuentra la función inversa $C(F)$ y utilízala para calcular a cuántos grados Celsius corresponden $68$ grados Fahrenheit.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, halla su función inversa $f^{-1}(x)$. A continuación, calcula el dominio de $f(x)$ y el dominio de $f^{-1}(x)$, y explica la relación que existe entre estos dominios y los recorridos (imágenes) de ambas funciones.

El número de usuarios de una nueva aplicación de mensajería crece según el modelo $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, donde $t$ se mide en semanas y $U(t)$ en miles de usuarios. Determina la función inversa $t(U)$ y úsala para calcular cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que la aplicación alcance los $3000$ miles de usuarios (tres millones).

La función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no tiene función inversa en todo $\mathbb{R}$ porque no es inyectiva. Restringe su dominio al intervalo $[3, +\infty)$ y calcula la expresión analítica de su función inversa en dicho intervalo.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sea su propia inversa, es decir, que se cumpla la condición $f(f(x)) = x$ para cualquier valor de su dominio.

La depreciación anual de un equipo industrial se modela con la función $V(t) = 12000 \cdot (0,8)^t$, donde $V$ es el valor actual en dólares y $t$ el tiempo transcurrido en años desde su compra. Halla la función inversa $t(V)$ e indica cuántos años han pasado exactamente si el equipo se valora hoy en $6144$ dólares.

Se muestra la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 2$ restringida al dominio $x \ge 0$. Dibuja en tu cuaderno la recta $y = x$ y la gráfica de la función inversa $f^{-1}(x)$. Determina analíticamente el punto exacto de corte entre ambas curvas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El consumo de combustible de un carro que circula por una autopista a velocidad constante viene modelizado por la función $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$, donde $v$ es la velocidad del vehículo en $\text{km/h}$, restringida al intervalo reglamentario $[80, 120]$, y $C(v)$ es el consumo en litros cada $100\text{ km}$ ($\text{L}/100\text{ km}$).

1. a) Justifica matemáticamente, analizando la monotonía de $C(v)$ en el intervalo $[80, 120]$, por qué la función es inyectiva en dicho dominio y por qué esto garantiza la existencia de su función inversa.
2. b) Obtén la expresión analítica de la función inversa $v(C)$ e indica razonadamente su dominio de definición e interpretación en el contexto de la conducción.
3. c) Si la computadora de viaje indica que el consumo medio en un tramo llano ha sido de $4,68\text{ L}/100\text{ km}$, utiliza la función $v(C)$ para determinar la velocidad exacta a la que circulaba el vehículo.

Se desea determinar el valor de los coeficientes de una función homográfica de la forma $f(x) = \frac{ax + 4}{2x - 3}$ (con $x \neq 1,5$) para que satisfaga simultáneamente dos condiciones: su gráfica debe pasar por el punto $(1, -7)$ y debe ser idéntica a su propia función inversa, es decir, $f(x) = f^{-1}(x)$ en todo su dominio.

1. a) Plantea y resuelve la ecuación que permite calcular el parámetro real $a$ a partir del punto por el que pasa la gráfica.
2. b) Con el valor de $a$ hallado, calcula la expresión algebraica de $f^{-1}(x)$ despejando la variable independiente y verifica si efectivamente se cumple la igualdad $f(x) = f^{-1}(x)$.
3. c) Razona geométricamente qué simetría respecto a la recta $y = x$ debe poseer la gráfica de cualquier función que coincida con su propia inversa.

El nivel de intensidad sonora en decibelios (dB) percibido por el oído humano se calcula mediante la función $\beta(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad acústica en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es la intensidad umbral de audición. Encuentra la función inversa $I(\beta)$ que determina la intensidad en función de los decibelios. Si el umbral de dolor humano se sitúa en $120 \text{ dB}$, ¿cuál es la intensidad acústica correspondiente?

Dadas las funciones $f(x) = \frac{x}{x-2}$ y $g(x) = \sqrt{x+1}$, obtén paso a paso la expresión analítica de la función inversa de la composición, es decir, $(f \circ g)^{-1}(x)$, y determina el dominio de validez de esta nueva función.

Calcula la función inversa de la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Comprueba analíticamente que el dominio de $f^{-1}$ coincide exactamente con el recorrido de $f$.

Sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}$ es su propia función inversa (es decir, $f^{-1}(x) = f(x)$) y que su gráfica pasa por los puntos $(2, 5)$ y $(0, -3)$, plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores numéricos de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

La concentración $C(t)$ de un reactivo en una reacción química de segundo orden evoluciona según la ley $C(t) = \frac{C_0}{1 + k \cdot C_0 \cdot t}$, donde $C_0$ es la concentración inicial y $k$ es la constante de velocidad. Despeja el tiempo $t$ para hallar la función inversa $t(C)$. Utilízala para demostrar que el tiempo de vida media (el tiempo necesario para que la concentración se reduzca a la mitad, $C = \frac{C_0}{2}$) es inversamente proporcional a la concentración inicial $C_0$.

Sea la función radical $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ indicando claramente su dominio. Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de $f(x)$ y $f^{-1}(x)$, sabiendo que por simetría dichos puntos deben encontrarse sobre la recta $y = x$.

La propagación de un virus informático en una red cerrada se modela mediante la función logística $N(t) = \frac{5000}{1 + 49e^{-0,5t}}$, donde $N(t)$ es el número de computadoras infectadas y $t$ representa los días transcurridos desde la detección inicial. Determina la función inversa $t(N)$. ¿Qué significado tiene el dominio de esta función inversa en el contexto del límite de propagación del virus?

Demuestra algebraicamente que si $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$, entonces su función inversa viene dada por la expresión $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. A continuación, justifica mediante la resolución de una ecuación si la gráfica de $f(x)$ interseca a la gráfica de su función inversa.

Dada la función $f(x) = \sqrt{2x + 15}$, definida para $x \in [-7,5, +\infty)$, se quieren determinar los puntos de corte entre su gráfica y la de su función inversa $f^{-1}$. Dos estudiantes plantean caminos distintos:

• Método 1 (Despeje directo): Calcular la expresión de $f^{-1}(x)$, plantear la ecuación $f(x) = f^{-1}(x)$ y resolverla elevando al cuadrado.

• Método 2 (Simetría): Utilizar la propiedad de que, si una función estrictamente creciente se corta con su inversa, los puntos de intersección deben situarse necesariamente sobre la recta bisectriz $y = x$, resolviendo directamente la ecuación $f(x) = x$.

1. a) Compara ambos métodos y justifica por qué el Método 1 resulta notablemente más complejo e ineficiente (analiza el grado del polinomio al que da lugar y el riesgo de raíces extrañas frente al Método 2).
2. b) Aplica el Método 2 para resolver la ecuación, comprueba razonadamente la validez de las soluciones obtenidas en el dominio de ambas funciones y da las coordenadas exactas $(x, y)$ del punto o puntos de corte.
3. c) Comprueba que el punto hallado pertenece efectivamente a la gráfica de $f^{-1}$.

Considera la función real definida a trozos:

donde $b$ es un parámetro real.

1. a) Halla el vértice de la parábola correspondiente al segundo tramo y determina su recorrido para $x > 2$. Apoyándote en el criterio de la recta horizontal, deduce razonadamente qué condición debe cumplir el valor máximo del primer tramo para que $f$ sea inyectiva en todo $\mathbb{R}$, y escribe la desigualdad que debe satisfacer el parámetro $b$.
2. b) En el caso límite en que la función resulta continua ($b = -1$), justifica por qué $f$ es biyectiva de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y deduce la expresión analítica de su función inversa $f^{-1}(x)$, indicando de manera precisa el dominio de cada uno de sus tramos.
3. c) Sin necesidad de calcular previamente $f(x)$, utiliza las propiedades de la composición y la función obtenida en el apartado anterior para resolver la ecuación $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(7)$.