Ejercicios: Tabla y gráfica de una función

Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:

1. a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
2. b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:

1. a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
2. b) Dibuja la gráfica de la función e identifica las coordenadas de su vértice.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:

A partir de la gráfica, determina:

1. a) El dominio y el recorrido de la función.
2. b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.

Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:

1. a) Determina analíticamente su dominio.
2. b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para esbozar la gráfica.

Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.

Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:

1. a) Evalúa la función en los puntos $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ y construye una tabla de valores.
2. b) Representa gráficamente la función.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtén su expresión analítica $y = f(x)$.

El costo $C(t)$ en dólares de dejar un carro en un parqueo viene dado por la función $C(t) = 2 + 1,5t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Haz una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa gráficamente la función en ese intervalo.

Marcos debe representar la función a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$ y decide calcular el valor en la frontera $x = 2$ para su tabla de valores. En su cuaderno escribe: «Como $x = 2$ es el punto de cambio, sustituyo en ambas ramas: $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ y $f(2) = 2^2 - 3 = 1$; por tanto, el punto $(2, 5)$ y el punto $(2, 1)$ pertenecen a la gráfica».\na) Identifica el error conceptual que comete Marcos y explica por qué su afirmación contradice la definición matemática de función.\nb) Indica cuál es el único valor correcto para $f(2)$, justificando qué tramo corresponde según la condición dada.\nc) Para analizar el comportamiento de la gráfica justo después de la frontera sin cometer el error de Marcos, ¿qué valor de $x$ propondrías para la tabla y qué valor de la función se obtiene?

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{3}{x - 4}$:\na) Antes de calcular ningún valor exacto, estima qué signo y qué orden de magnitud (muy cercano a cero o muy grande en valor absoluto) esperas que tome $f(x)$ cuando evaluamos en valores muy próximos a $4$, como $x = 3,9$ y $x = 4,1$. Justifica tu predicción a partir de los signos del numerador y del denominador.\nb) Comprueba tu estimación calculando los valores de la función para $x = 3,9$; $x = 3,99$; $x = 4,01$ y $x = 4,1$, y organízalos en una tabla de valores.\nc) A partir de los resultados numéricos obtenidos, interpreta qué ocurre geométricamente en la recta $x = 4$ y razona si se trata de una asíntota vertical.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.

1. a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
2. b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
3. c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. a) Construye una tabla de valores evaluando la función en $x = -2; 0; 0,99; 1; 2; 3$.
2. b) Representa gráficamente la función e indica si es continua en $x = 1$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

1. a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes.
2. b) Crea una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
3. c) Representa gráficamente la parábola.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.

A partir de la gráfica:

1. a) Indica la temperatura inicial del café.
2. b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
3. c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.

Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:

1. a) Determina su dominio.
2. b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1,9; 1,99; 2,1; 2,01$).
3. c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?

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En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Construye una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa gráficamente la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?

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Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

1. a) Calcula analíticamente su dominio de definición.
2. b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
3. c) Representa gráficamente la función e indica cuál es su recorrido.

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Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:

1. a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto.
2. b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.
3. c) Construye una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuja su gráfica.

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En una localidad española, la factura mensual del agua se estructura en dos bloques de consumo para fomentar el ahorro:\n- Bloque 1: Si el consumo mensual $x$ no supera los $15\text{ m}^3$, se aplica una cuota fija de $6\text{ \$}$ más $0,50\text{ \$}$ por cada metro cúbico consumido.\n- Bloque 2: Si el consumo supera los $15\text{ m}^3$, los primeros $15\text{ m}^3$ se facturan según el Bloque 1, y cada metro cúbico adicional que exceda de $15$ se cobra a $1,20\text{ \$}$.\na) Escribe la expresión analítica del costo total $C(x)$ (en dólares) en función de los metros cúbicos $x$ consumidos ($x \ge 0$) como una función definida por tramos.\nb) Elabora una tabla de valores estratégica que incluya el consumo nulo ($x = 0$), el punto frontera del cambio de bloque y un valor a cada lado del cambio ($x = 14$ y $x = 16$).\nc) Determina si la factura experimenta un salto brusco al pasar de $15\text{ m}^3$ a un consumo ligeramente superior o si el costo varía de forma continua. Justifica tu respuesta utilizando los valores de tu tabla.

Se busca diseñar la fórmula analítica de una función racional de la forma $f(x) = \dfrac{ax + b}{x - c}$ para que cumpla las siguientes características observadas en su tabla de valores clave:\n1. Su gráfica corta al eje de abscisas únicamente en el punto $(4, 0)$.\n2. Su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, -2)$.\n3. La función no está definida en $x = 2$, presentando en dicha recta una asíntota vertical.\na) Determina razonadamente los valores de las constantes reales $a$, $b$ y $c$.\nb) Con la función ya obtenida, confecciona una tabla de valores estratégica que contemple los puntos de corte con los ejes y dos valores situados inmediatamente antes y después del valor prohibido ($x = 1,9$ y $x = 2,1$).\nc) Explica qué ocurre con los valores de $f(x)$ cuando la variable $x$ toma valores positivos cada vez más grandes ($x = 100$, $x = 1000$) y deduce la ecuación de su asíntota horizontal.

El beneficio mensual $B(x)$, en dólares, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modela mediante la función $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.

1. a) Encuentra los puntos de equilibrio (producción para la cual el beneficio es cero).
2. b) Genera una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
3. c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar el beneficio y de cuánto es dicho beneficio máximo?

Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.

1. a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
2. b) Con la expresión analítica obtenida, calcula el vértice y construye una tabla de valores para representar la parábola.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Halla el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
2. b) Con el valor de $k$ hallado, construye una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboza la gráfica de la función.

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La masa $M(t)$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.

Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:

1. a) Calcula el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
2. b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboza la gráfica.

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Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:

A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de corte):

1. a) Determina el dominio y el recorrido de la función.
2. b) Deduce la expresión analítica de la función $f(x)$.

Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:

1. a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
2. b) Construye una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
3. c) Representa la gráfica de la función.

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Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres lados.

1. a) Expresa el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
2. b) Determina el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
3. c) Construye una tabla de valores y utilízala para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.

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En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.

1. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construye una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
3. c) Escribe la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.

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Para representar la gráfica de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$, dos estudiantes proponen métodos distintos:\n- Método de Lucía: Construir directamente una tabla con siete enteros consecutivos: $x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, sustituyendo directamente en la fórmula dada.\n- Método de David: Antes de calcular puntos, estudiar el dominio de la función, factorizar el numerador para ver si se simplifica con el denominador en $x \ne 1$, y después confeccionar una tabla estratégica con puntos de corte y valores próximos a las discontinuidades.\na) Si se sigue el método de Lucía, ¿qué problema insalvable surge exactamente en $x = 1$? ¿Podría llevar esto a deducir erróneamente que la recta $x = 1$ es una asíntota vertical?\nb) Desarrolla el método de David: simplifica la expresión de $f(x)$ para todo $x \ne 1$ y calcula los valores de $f(x)$ para $x = 0,99$ y $x = 1,01$. ¿Crecen estos valores sin límite como en una asíntota o se acercan a un número finito?\nc) Compara ambos métodos y justifica cuál es más fiable para evitar interpretaciones gráficas falsas. Describe con precisión qué elemento geométrico aparece en la gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ (indicando sus coordenadas).

Durante un episodio de contaminación atmosférica en una ciudad, la concentración de dióxido de nitrógeno $C(t)$ (en $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durante las primeras $24$ horas se modeliza mediante una función a trozos:\n- Tramo inicial ($0 \le t \le 6$): La concentración sigue una parábola $C(t) = -t^2 + bt + c$, cuyo vértice (máximo del tramo) se alcanza exactamente a las $t = 4\text{ h}$ con un nivel de $36\text{ }\mu\text{g}/\text{m}^3$.\n- Tramo posterior ($6 < t \le 24$): Se activan medidas de restricción de tráfico y la concentración decrece según la función racional $C(t) = \dfrac{k}{t - 2} + 12$.\na) Determina las constantes $b$ y $c$ a partir de la información del vértice y halla la concentración en el instante inicial $t = 0$.\nb) Calcula el valor del parámetro $k$ para que la concentración no sufra una discontinuidad en el cambio de tramo ($t = 6$).\nc) Diseña una tabla de valores estratégica para el intervalo $[0, 24]$ que contenga: el inicio, el corte con el eje vertical, el vértice, el punto de empalme, un punto posterior ($t = 12$) y el extremo final ($t = 24$). A partir de la tabla, razona cuál es el valor mínimo al que tendería la concentración si las restricciones se prolongaran indefinidamente en el tiempo.