Ejercicios: Características de las funciones

Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.

Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.

Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.

A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.

Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.

Carla afirma en su examen que el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(9 - x^2)$ es el intervalo cerrado $[-3, 3]$. Para justificarlo, escribe en su desarrollo: «Como hay que calcular el dominio, planteo la inecuación $9 - x^2 \ge 0$, cuya solución es $x^2 \le 9$, por lo que $x \in [-3, 3]$. Pongo corchetes porque en $x = 3$ y en $x = -3$ el radicando da cero y la raíz de cero sí existe».

1. a) Encuentra y explica detalladamente los dos errores conceptuales que ha cometido Carla al identificar y aplicar las restricciones de las operaciones elementales.
2. b) Razona qué ocurre matemáticamente si intentamos evaluar $f(3)$ en una calculadora científica y por qué el resultado no puede ser un número real.
3. c) Corrige el procedimiento de Carla y escribe el dominio correcto de $f(x)$ utilizando la notación adecuada de intervalos.

Diseña la expresión analítica de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios) que satisfaga simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. Su dominio exacto sea $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Sea una función par, es decir, simétrica respecto al eje de ordenadas ($Y$).

3. Tome únicamente valores estrictamente negativos ($f(x) < 0$) para cualquier valor de $x$ perteneciente a su dominio.

Justifica paso a paso cómo eliges el numerador y el denominador para garantizar cada condición y explica por qué un denominador simple de la forma $Q(x) = x^2 - 4$ no serviría si el numerador fuese una constante negativa.

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.

Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determina el dominio de la función en el contexto del problema y calcula las dimensiones que maximizan el área.

Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$

Halla sus puntos de corte con los ejes y estudia su signo en todo su dominio.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Para estudiar el signo de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ en todo su dominio, dos compañeros de clase debaten sobre qué camino seguir:

• Estrategia A (Tabla de signos tradicional): Igualar a cero numerador y denominador por separado, situar todas las soluciones obtenidas sobre la recta real y evaluar un punto de prueba en cada intervalo resultante.

• Estrategia B (Análisis estructural previo): Analizar el signo global de cada término mediante inspección algebraica de sus propiedades antes de descomponer en intervalos.

1. a) Aplica la Estrategia B para determinar de forma razonada los intervalos de positividad ($f(x) > 0$), negatividad ($f(x) < 0$) y los puntos de corte con el eje $X$.
2. b) Explica qué dificultad algebraica o pérdida de tiempo surge al intentar aplicar el paso del denominador en la Estrategia A en el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).
3. c) Justifica cuál de los dos métodos es más seguro y eficiente para evitar errores cuando aparecen expresiones cuadráticas irreducibles en denominadores.

En un informe de la AEMET sobre inversión térmica invernal en un valle de montaña de Asturias, la temperatura ambiente $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) se modeliza en función de la altitud $h$ (medida en cientos de metros sobre el nivel del mar, donde $h = 5$ representa $500\text{ m}$) mediante la función:

1. a) Determina el dominio matemático de la función $T(h)$ a partir de la restricción del radical y compáralo con el dominio físico del fenómeno si el fondo del valle está a $200\text{ m}$ ($h=2$) y la cima a $1000\text{ m}$ ($h=10$).
2. b) Sin recurrir a derivadas, deduce el recorrido (o imagen) de la función en dicho valle razonando sobre los valores máximo y mínimo que puede tomar el radicando. ¿Cuáles son las temperaturas mínima y máxima previstas?
3. c) ¿A qué altitud se alcanza la temperatura máxima? Justifica si la función presenta simetría respecto a la recta vertical $h = 6$ e interpreta su significado físico en la distribución térmica de las dos laderas del valle.

Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas en $x = 1$.

El costo medio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determina el dominio en el contexto del problema, estudia su signo y demuestra analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.

Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.

Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa. Una cabina se encuentra en su punto más bajo en el instante $t = 0\text{ min}$. Sabiendo que la altura $h(t)$ en metros de la cabina en función del tiempo $t$ en minutos se modela con una función trigonométrica, determina su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.

Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.

A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.

Dada la función con múltiples restricciones operacionales $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x)}$:

1. a) Estima antes de operar:

• Sin resolver inecuaciones, reflexiona: ¿tiene sentido plantearse si esta función es par o impar? Argumenta tu respuesta analizando los valores negativos de $x$ frente a los componentes de la fórmula.

• Predice el signo que tomará $f(x)$ para valores muy próximos a $0$ por la derecha (como $x = 0{,}1$) y para valores como $x = 2$. Justifica tu previsión recordando las propiedades elementales de los logaritmos.

1. b) Calcula y formaliza:

• Determina con rigor el dominio de definición de $f(x)$, planteando explícitamente las tres condiciones necesarias (fracción, radical de índice par y logaritmo) y resolviendo su intersección.

• Realiza el estudio formal del signo de $f(x)$ indicando los intervalos exactos donde $f(x) > 0$ y donde $f(x) < 0$.

1. c) Valora y contrasta:

• Comprueba si tus estimaciones iniciales de (a) concuerdan con el cálculo analítico de (b).

• Razona si la función tiene raíces (puntos donde $f(x) = 0$) y describe qué comportamiento experimenta la función cuando $x$ se aproxima a $1$ por la izquierda y por la derecha.

En un proyecto de bioingeniería se requiere modelizar la respuesta $R(x)$ de un biosensor en función de un parámetro de control $x \in \mathbb{R}$. Se debe construir la fórmula analítica de una función $f(x)$ que satisfaga simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Su dominio exacto sea $\text{Dom}(f) = [-5, 5] \setminus \{0\}$.

2. Sea estrictamente impar en todo su dominio: $f(-x) = -f(x)$.

3. No tenga ninguna raíz en su dominio (es decir, $f(x) \ne 0$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$).

4. Tome valores estrictamente positivos cuando $x \in (0, 5]$.

1. a) Propón una expresión algebraica para $f(x)$ combinando operaciones elementales (fracciones algebraicas y radicales de índice par). Justifica cómo cada elemento de tu fórmula asegura las condiciones exigidas sin anular a los demás.
2. b) Demuestra analíticamente que la función que has diseñado cumple la condición de simetría impar $f(-x) = -f(x)$.
3. c) Deduce razonadamente el recorrido (imagen) de tu función en el intervalo $(0, 5]$ y, apoyándote en la simetría impar, determina el recorrido completo en todo su dominio. Justifica si la función está acotada superiormente analizando qué ocurre cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha.