Ejercicios: Hipérbola

Escribe la ecuación reducida de la hipérbola cuyos focos son $F(5, 0)$ y $F'(-5, 0)$ y cuyo eje real mide $8$.

Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina las coordenadas de sus vértices, de sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.

Comprueba analíticamente si los puntos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(6, -3)$ son interiores, exteriores o si pertenecen a la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Determina la ecuación de una hipérbola equilátera centrada en el origen sabiendo que pasa por el punto $P(4, 2)$ y que sus focos están situados sobre el eje de abscisas.

Calcula la excentricidad de la hipérbola cuya ecuación general viene dada por la expresión $16x^2 - 9y^2 = 144$.

Halla la ecuación reducida de la hipérbola que tiene sus vértices en los puntos $V(3, 0)$ y $V'(-3, 0)$ y que pasa por el punto $P(5, 4)$.

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos $F(0, 10)$ y $F'(0, -10)$ es, en valor absoluto, igual a $12$. Escribe su ecuación reducida.

Halla las coordenadas del centro, las longitudes de los semiejes y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.

Lucas intenta calcular los focos, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. En su cuaderno escribe la siguiente resolución:

«Identifico $a^2 = 16$ y $b^2 = 9$. Como en las cónicas la relación fundamental es $a^2 = b^2 + c^2$, despejo $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$. Por tanto, los focos están en $(\pm\sqrt{7}, 0)$ y la excentricidad es $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0,66$. Finalmente, las asíntotas son las rectas $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, es decir, $y = \pm\dfrac{4}{3}x$».

Identifica y explica de forma razonada los dos errores conceptuales que ha cometido Lucas, justifica por qué el valor obtenido para la excentricidad carece por completo de sentido físico y geométrico a partir de la definición de hipérbola, y escribe la resolución correcta con los valores exactos de los focos, la excentricidad y las asíntotas.

Determina la ecuación reducida $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ de una hipérbola centrada en el origen sabiendo que sus asíntotas son las rectas de ecuaciones $y = \pm 1,5x$ y que la distancia entre sus dos focos es exactamente igual a $2\sqrt{13}$ unidades.

1. a) Halla los valores de los semiejes $a$ y $b$, y escribe las coordenadas de sus vértices y de sus focos.
2. b) Calcula la excentricidad de la hipérbola.
3. c) Justifica por qué la excentricidad de cualquier hipérbola depende únicamente de la pendiente $m$ de sus asíntotas mediante la relación $e = \sqrt{1 + m^2}$, y comprueba que se cumple con los datos obtenidos.

En el diseño de una torre de refrigeración para una central térmica, la estructura tiene forma de hiperboloide de revolución. La sección transversal vertical es una hipérbola con el centro en el origen de coordenadas. La torre tiene una altura total de $160\text{ m}$. La parte más estrecha (la garganta) tiene un diámetro de $60\text{ m}$ y se encuentra a una altura de $120\text{ m}$ sobre la base. Además, el diámetro en la parte más alta de la torre es de $100\text{ m}$. Determina la ecuación de la hipérbola que perfila la torre y calcula el diámetro de la base circular.

El sistema de navegación LORAN determina la posición de un barco midiendo la diferencia de tiempo en la recepción de señales de dos estaciones de radio. Las estaciones $A$ y $B$ están situadas en un sistema de coordenadas cartesianas en los puntos $(-60, 0)$ y $(60, 0)$, con las distancias expresadas en kilómetros. Un barco $P$ recibe la señal de $A$ un tiempo después que la de $B$, lo que indica que el barco está $100\text{ km}$ más cerca de $B$ que de $A$. Determina la ecuación de la hipérbola sobre la que navega el barco y calcula la distancia del barco a la estación $B$ si se sabe que su ordenada es $y = 45\text{ km}$.

Halla la ecuación de la hipérbola centrada en el origen que tiene un foco en el punto $F(0, \sqrt{13})$ y en la que una de sus asíntotas es la recta de ecuación $2x - 3y = 0$.

Calcula los puntos de intersección de la recta $x - y - 2 = 0$ y la hipérbola $x^2 - 2y^2 = 2$. A continuación, determina la longitud exacta de la cuerda que delimita la recta al cortar la cónica.

Encuentra la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la hipérbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ en el punto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.

Una lámpara de mesa proyecta luz hacia arriba y hacia abajo formando un cono luminoso. Al colocarla cerca de una pared vertical, el borde de la zona iluminada forma una hipérbola. Midiendo sobre la pared y tomando el suelo como eje de abscisas, se observa que el centro de la hipérbola está a $80\text{ cm}$ de altura. El vértice de la rama superior está a $100\text{ cm}$ del suelo. Si a una altura de $180\text{ cm}$ del suelo la anchura total de la zona iluminada es de $96\text{ cm}$, determina la excentricidad de la hipérbola proyectada.

Dada la ecuación general de una cónica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrúpala completando cuadrados para demostrar que se trata de una hipérbola. Calcula las coordenadas de su centro, de sus focos y de sus vértices.

Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la recta $y = x + k$ es tangente, secante o exterior a la hipérbola $x^2 - 2y^2 = 4$.

Dada la hipérbola de ecuación reducida $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$:

1. a) Antes de calcular analíticamente ningún punto, estima si la ordenada positiva del punto $P$ de la curva cuya abscisa es $x = 13$ será mayor o menor que el valor $32$. Justifica tu predicción utilizando exclusivamente la ecuación de la asíntota en el primer cuadrante y la posición relativa de la hipérbola respecto a ella.
2. b) Despeja y calcula el valor exacto de la ordenada positiva del punto $P(13, y)$. Comprueba si tu estimación previa era acertada y calcula la distancia vertical que separa a la curva de su asíntota en la abscisa $x = 13$.
3. c) Determina las coordenadas de los focos $F_1$ y $F_2$ y comprueba de manera rigurosa que para dicho punto $P$ se cumple con exactitud la definición de lugar geométrico $|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$.

El Instituto de Geofísica y Astronomía dispone de dos estaciones de registro acústico en el Parque Nacional Viñales, ubicadas en los puntos $A(-5, 0)$ y $B(5, 0)$ (coordenadas expresadas en kilómetros respecto a un punto central del valle). Durante una tormenta, se produce un deslizamiento de rocas en un punto $P(x, y)$ del terreno. La estación $A$ registra el estruendo $20\text{ segundos}$ antes que la estación $B$. Suponiendo que el sonido viaja en línea recta a una velocidad media constante de $300\text{ m/s}$ ($0,3\text{ km/s}$):

1. a) Modela la situación planteando el lugar geométrico donde pudo originarse el derrumbe. Explica por qué se trata de una rama concreta de una hipérbola y deduce su ecuación reducida, indicando qué restricción debe cumplir la abscisa $x$.
2. b) Una estación sísmica auxiliar detecta que el epicentro del impacto ocurrió a una ordenada $y = 4\text{ km}$. Determina las coordenadas exactas del punto $P(x, y)$ del suceso y calcula la distancia directa en línea recta desde dicho punto hasta la estación receptora $A$.

Un cometa interestelar se aproxima al sistema solar siguiendo una trayectoria hiperbólica, con el Sol situado en uno de sus focos. En su aproximación máxima (perihelio), el cometa pasa a $2\text{ UA}$ (unidades astronómicas) del Sol. Las observaciones astronómicas indican que el ángulo que forman las dos asíntotas de la trayectoria del cometa es de $60^\circ$. Tomando el Sol en el foco de abscisa positiva y el eje focal sobre el eje $X$ (con el vértice a la izquierda del Sol), determina la ecuación de la trayectoria del cometa y la distancia a la que se encontrará del Sol cuando cruce la vertical del Sol.

Encuentra el lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(4, 0)$ y $B(-4, 0)$ es igual a $\frac{9}{16}$. Demuestra analíticamente que se trata de una hipérbola, halla su ecuación reducida, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola $x^2 - 4y^2 = 4$ trazadas desde el punto exterior $P(1, 1)$.

Demuestra de forma analítica que el área del triángulo formado por cualquier recta tangente a la hipérbola equilátera de ecuación $xy = k$ (con $k > 0$) y los dos ejes de coordenadas es independiente del punto de tangencia. Calcula dicho valor constante en función del parámetro $k$.

En el diseño de un telescopio reflector tipo Cassegrain, el espejo principal es parabólico y el espejo secundario tiene la forma de una rama de hipérbola. El foco del espejo parabólico coincide con uno de los focos de la hipérbola, situado a $120\text{ cm}$ por delante del vértice del espejo secundario. La imagen final se forma en el otro foco de la hipérbola, situado a $30\text{ cm}$ por detrás de dicho vértice (es decir, la distancia total entre los dos focos es $150\text{ cm}$). Calcula la ecuación de la hipérbola que define el espejo secundario y su excentricidad, situando el centro de la hipérbola en el origen de coordenadas y el eje focal en el eje de abscisas.

Estudia, en función del parámetro $m$, la posición relativa de la familia de rectas $y = mx - 1$ respecto a la hipérbola equilátera $x^2 - y^2 = 1$. Especifica para qué valores de $m$ la recta corta a una sola rama, a ambas ramas, es tangente o no corta a la curva.

Determina la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes de coordenadas, sabiendo que pasa por los puntos $A(4, \sqrt{3})$ y $B(2\sqrt{3}, 1)$. A partir de la ecuación obtenida, calcula la distancia exacta entre sus focos.

Sea la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Encuentra, en función de $a$, $b$ y $c$, las coordenadas de los puntos $P$ pertenecientes a la curva desde los cuales el segmento que une los dos focos $F$ y $F'$ se ve bajo un ángulo recto (es decir, los radios vectores $PF$ y $PF'$ son perpendiculares). Demuestra analíticamente que siempre existen dichos puntos para cualquier hipérbola, independientemente de su excentricidad.

Se desea demostrar una propiedad geométrica fundamental de la hipérbola: «La distancia euclídea desde cualquiera de los focos de una hipérbola a cualquiera de sus dos asíntotas es siempre igual a la longitud del semieje imaginario $b$». Para la hipérbola $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, con foco en $F(c, 0)$ y asíntota $y = \dfrac{b}{a}x$, dos alumnos proponen caminos distintos:

• Método 1 (Geometría analítica): Escribir la recta asíntota en su forma general $bx - ay = 0$, aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta desde el foco $F(c, 0)$ y simplificar la expresión mediante la relación métrica fundamental $c^2 = a^2 + b^2$.

• Método 2 (Geometría métrica y trigonometría): Trazar el segmento perpendicular desde $F(c, 0)$ hasta la asíntota, considerar el triángulo rectángulo formado por el origen, el foco y el pie de la perpendicular, y deducir la distancia a partir del seno del ángulo $\alpha$ que forma la asíntota con el semieje positivo de abscisas.

1. a) Desarrolla por completo la demostración siguiendo ambos métodos.
2. b) Compara críticamente las dos alternativas analizando cuál es más directa algebraicamente y cuál aporta una comprensión visual más clara. A partir del resultado, describe cómo construir con regla y compás la posición exacta de los focos si solo se conocen los vértices $(\pm a, 0)$ y las asíntotas.

Una hipérbola se denomina equilátera cuando la longitud de su semieje real coincide con la de su semieje imaginario ($a = b$).

1. a) Demuestra formalmente que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es una constante universal independiente del valor de $a$, y determina el ángulo que forman sus asíntotas entre sí.
2. b) Al rotar $45^\circ$ los ejes cartesianos, las asíntotas pasan a ser los propios ejes coordenados y la ecuación adopta la forma $xy = k$. Sabiendo que los vértices $(\pm a, 0)$ de la hipérbola original se transforman tras el giro en los puntos $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}, \pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$, deduce la expresión exacta de la constante $k$ en función del semieje $a$.
3. c) Considera la hipérbola equilátera particular $x^2 - y^2 = 32$. Se trazan rectas que pasan por el origen de coordenadas, de ecuación $y = mx$. Discute razonadamente el número de puntos de corte entre la recta y la hipérbola en función del parámetro real $m$, e interpreta qué representan geométricamente aquellos valores de $m$ para los cuales no existe ningún punto de intersección.