Ejercicios: Combinaciones

Calcula los valores de $C_{8,3}$ y $C_{8,5}$. A la vista de los resultados numéricos, ¿qué propiedad fundamental de los números combinatorios se comprueba?

En una heladería artesanal ofrecen 5 sabores distintos de helado. Si deseas comprar una tarrina en la que caben 3 bolas de helado, pudiendo repetir el mismo sabor varias veces, ¿de cuántas formas distintas puedes configurar tu tarrina?

Determina el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.

Desarrolla completamente la expresión $(x + 2)^4$ aplicando la fórmula del binomio de Newton.

En una clase de 15 alumnos se va a elegir una comisión formada por 4 personas para organizar el viaje de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede constituir dicha comisión?

Calcula el quinto término del desarrollo del binomio $(2a - b)^6$, considerando que los términos se ordenan según las potencias decrecientes de $a$.

¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar uniendo 7 puntos en un plano, sabiendo que no hay tres puntos que estén alineados?

Aplica directamente las propiedades del triángulo de Pascal (o de Tartaglia) para calcular la suma $\binom{9}{4} + \binom{9}{5}$ sin necesidad de desarrollar los factoriales de cada término por separado.

Un equipo de baloncesto escolar cuenta en su nómina con 7 jugadoras y 6 jugadores. El entrenador necesita formar un quinteto inicial mixto compuesto exactamente por 3 jugadoras y 2 jugadores. ¿Cuántos quintetos distintos puede formar para empezar el partido?

En una pizzería permiten a los clientes diseñar sus propias pizzas. Disponen de 10 ingredientes diferentes para añadir sobre la base de tomate y queso. La oferta especial del día incluye una pizza con al menos 8 ingredientes. ¿Cuántas pizzas distintas se pueden pedir acogiéndose a esta oferta?

Halla el coeficiente numérico del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(3x - \frac{1}{2})^5$.

Un polígono convexo tiene 15 lados. Utilizando el concepto de combinaciones para contar los segmentos entre vértices, determina cuántas diagonales se pueden trazar en este polígono.

Se van a repartir 10 entradas idénticas para un festival de música entre 4 amigos. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las entradas si no hay ninguna restricción sobre el número de pases que puede recibir cada uno (incluso pudiendo alguno quedarse sin entradas)?

En una empresa tecnológica hay 12 programadores disponibles. Se necesita crear un equipo de 5 personas para desarrollar una nueva aplicación, pero la dirección ha decidido que el programador jefe debe formar parte obligatoriamente del equipo. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden constituir bajo esta condición?

Resuelve la siguiente ecuación combinatoria y halla el valor del número natural $x$:

$3 \cdot C_{x, 4} = 5 \cdot C_{x, 2}$

En un torneo local de ajedrez participan 14 jugadores. El formato del torneo establece que cada jugador debe enfrentarse una sola vez a cada uno de los demás inscritos. ¿Cuántas partidas de ajedrez se jugarán en total a lo largo del campeonato?

Una delegación estudiantil de 6 personas debe formarse a partir de un grupo compuesto por 8 chicas y 7 chicos. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir la delegación si las normas exigen que haya una mayoría estricta de chicas en el grupo?

En una cuadrícula que representa las calles de un barrio (de $6 \times 4$ manzanas), un repartidor debe ir desde el punto de origen A hasta el punto de destino B desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debido a unas obras, la intersección marcada con el punto C está completamente cerrada al tránsito. ¿Cuántos caminos distintos puede tomar el repartidor para llegar a su destino respetando la restricción?

En el desarrollo del binomio $(kx - 2)^5$, se sabe que el coeficiente numérico correspondiente al término de grado 3 es $-1080$. Plantea la ecuación correspondiente y determina el valor del parámetro $k$.

Se extraen 5 cartas simultáneamente de una baraja española tradicional de 40 cartas. ¿De cuántas formas distintas se puede obtener una mano que contenga exactamente tres reyes y exactamente dos cartas del palo de oros? Ten en cuenta que el rey de oros es una carta que pertenece a ambas categorías, lo que te obligará a distinguir casos.

Un profesor de arte quiere repartir 18 plumones idénticos entre los 5 grupos de trabajo de su clase. Para asegurar que todos los grupos puedan realizar la actividad, establece la condición de que cada grupo debe recibir al menos 2 plumones. ¿De cuántas formas diferentes puede realizar el reparto completo?

Demuestra algebraicamente, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales y reduciendo a común denominador, que se cumple la siguiente identidad para cualquier par de números naturales $n$ y $k$ (con $k < n$):

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

En un plano se han dibujado 12 puntos en total. Al analizarlos, se observa que exactamente 5 de ellos están alineados sobre una misma recta, mientras que de los restantes no hay tres que estén alineados. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando exclusivamente estos 12 puntos como vértices?

Considera el polinomio $P(x)$ que resulta de desarrollar la expresión $(4x - 3)^7$. Sin necesidad de calcular cada uno de los términos del desarrollo de forma individual mediante el binomio de Newton, razona y calcula cuál es la suma de todos los coeficientes de dicho polinomio.