Ejercicios: Interacción con cargas en movimiento

Una carga eléctrica se encuentra en reposo dentro de un campo magnético uniforme. El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$.

1. a) ¿Actúa alguna fuerza magnética sobre ella? Justifíquelo con la fórmula.
2. b) La carga se pone en movimiento en la dirección exacta del campo ($\alpha = 0^\circ$). ¿Cambia la respuesta? ¿Por qué?

El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ y su dirección viene dada por el producto vectorial $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que se determina con la regla de la mano derecha. Un protón se mueve horizontalmente hacia el este dentro de un campo magnético uniforme dirigido también horizontalmente hacia el norte. La situación, vista desde arriba, se representa en la figura.

1. a) Determine la dirección y el sentido de la fuerza sobre el protón.
2. b) ¿Cuál sería el sentido de la fuerza si la partícula fuera un electrón? Justifique la diferencia.

Un protón ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en dirección perpendicular a un campo magnético $B = 0,5\ \text{T}$. Calcule el módulo de la fuerza de Lorentz sobre él, $F = q\cdot v\cdot B$.

Dos conductores rectilíneos paralelos llevan corrientes del mismo sentido.

1. a) Dibuje en su cuaderno el campo magnético que crea el primer conductor en la posición del segundo (regla de la mano derecha) y la fuerza que este sufre.
2. b) ¿Se atraen o se repelen?
3. c) ¿Qué cambia si se invierte el sentido de una de las corrientes?

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Un electrón ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$, como se muestra en la figura.

El radio de su trayectoria circular es $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Calcule su valor y exprésela en centímetros.

Una partícula cargada entra con velocidad $\vv{v}$ perpendicular a un campo magnético uniforme.

1. a) Explique por qué la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta y escriba la igualdad $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Despeje el radio $r$ y comente de qué magnitudes depende: ¿aumenta o disminuye si la partícula va más rápida? ¿Y si el campo es más intenso?

Un protón ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en un campo magnético uniforme $B = 0,8\ \text{T}$, formando un ángulo $\alpha = 30^\circ$ con él. Observe el esquema:

1. a) Calcule el módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0,5$).
2. b) ¿Para qué ángulo sería máxima la fuerza? ¿Y para cuál sería nula?

Un protón ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 0,2\ \text{T}$.

1. a) Calcule el radio de su trayectoria circular, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$, y exprésalo en centímetros.
2. b) ¿Qué ocurriría con el radio si el protón entrara con la mitad de velocidad? Razone con la fórmula.

En una demostración de laboratorio, dos cables paralelos separados $d = 10\ \text{cm}$ llevan corrientes del mismo sentido $I_1 = 20\ \text{A}$ e $I_2 = 30\ \text{A}$. La fuerza por unidad de longitud entre ellos es $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observe el esquema:

1. a) Calcule la fuerza por unidad de longitud.
2. b) ¿Los cables se atraen o se repelen? Justifíquelo.
3. c) Calcule la fuerza total sobre un tramo de $1\ \text{m}$ de cada cable.

Un conductor recto de $L = 40\ \text{cm}$, colocado perpendicularmente a un campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, lleva una corriente $I = 5\ \text{A}$. La fuerza magnética sobre él es $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Calcule su módulo.
2. b) Represente la situación en su cuaderno y determine, con la regla de la mano derecha, la dirección y el sentido de la fuerza respecto a la corriente y al campo.
3. c) Si el conductor formara $30^\circ$ con el campo, la fuerza sería $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sen 30^\circ$; calcúlela.

En un espectrómetro de masas, un ión de $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) describe un arco circular de radio $r = 12\ \text{cm}$ en un campo $B = 0,5\ \text{T}$ perpendicular a su velocidad. La situación se representa en la figura.

1. a) Despeje la velocidad de la expresión $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Calcule su valor en notación científica.

La antigua definición de amperio (vigente hasta 2019) decía: un amperio es la intensidad de corriente que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita y separados $1\ \text{m}$ en el vacío, produce entre ellos una fuerza de $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ por cada metro de conductor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Escriba la expresión de la fuerza por unidad de longitud cuando ambos conductores llevan la misma corriente, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$.
2. b) Sustituya $d = 1\ \text{m}$ y $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ y compruebe que se obtiene $I = 1\ \text{A}$.
3. c) Comente las dificultades prácticas de esta definición (conductores «infinitos», medir fuerzas tan pequeñas) frente a la definición actual, que fija el valor de la carga elemental.

Una varilla horizontal de $L = 50\ \text{cm}$ y masa $m = 25\ \text{g}$ se encuentra en un campo magnético horizontal uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendicular a la varilla. Se quiere que la fuerza magnética sobre la varilla, $F = B\cdot I\cdot L$, compense exactamente su peso (tome $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La situación se representa en la figura.

1. a) Plantee la condición de equilibrio entre la fuerza magnética y el peso, y calcule la corriente necesaria.
2. b) Determine, con la regla de la mano derecha, qué orientación relativa deben tener la corriente y el campo para que la fuerza sea vertical hacia arriba.
3. c) Razone qué ocurriría si la corriente aumentara un $10\ \%$: ¿se movería la varilla? ¿Hacia dónde y con qué fuerza neta inicial?

Las líneas de alta tensión transportan la corriente de ida y de vuelta por cables paralelos. Dos de ellos, separados $d = 2\ \text{m}$, llevan $I = 800\ \text{A}$ en sentidos opuestos ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Indique, justificándolo con la regla de la mano derecha, si la fuerza entre los cables es atractiva o repulsiva.
2. b) Calcule la fuerza por unidad de longitud entre ellos, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$.
3. c) En un cortocircuito la corriente puede alcanzar $10^{4}\ \text{A}$; calcule la nueva fuerza por unidad de longitud y explique por qué los cables deben ir firmemente anclados a las torres.