Ejercicios: Campos de hilos, espiras, solenoides y toros

Por un cable vertical circula una corriente eléctrica ascendente.

1. a) Enuncie con sus palabras la regla de la mano derecha que relaciona el sentido de la corriente con el sentido de las líneas del campo magnético que crea.
2. b) Aplíquela: visto desde arriba, ¿giran las líneas de campo en sentido horario o antihorario? Dibuje la situación en su cuaderno.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Por un cable recto muy largo circula una corriente $I = 10\ \text{A}$. El campo magnético que crea a una distancia $r$ es $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$. Calcule el campo a $r = 5\ \text{cm}$ del cable. Recuerde pasar la distancia a metros.

Una espira circular de radio $R = 10\ \text{cm}$ lleva una corriente $I = 2\ \text{A}$. El campo magnético en su centro es $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcule su valor.
2. b) Exprese el resultado en notación científica, redondeado a dos cifras significativas.

El campo creado por un hilo recto muy largo es $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$. Sin hacer cálculos numéricos, razone con la fórmula:

1. a) ¿Qué le ocurre a $B$ si se duplica la corriente manteniendo la distancia?
2. b) ¿Y si se duplica la distancia manteniendo la corriente?
3. c) ¿Dónde es más intenso el campo, cerca o lejos del hilo? Relacione esto con cómo se separan sus líneas de campo al alejarse.

Un solenoide tiene $n = 1000\ \text{espiras/m}$ y lleva una corriente $I = 0,5\ \text{A}$. El campo magnético en su interior es $B = \mu_0\cdot n\cdot I$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcule su valor.
2. b) Exprésclo en militeslas ($1\ \text{mT} = 10^{-3}\ \text{T}$).

Describa el campo magnético en el interior de un solenoide largo recorrido por una corriente:

1. a) ¿Cómo son las líneas de campo en la zona central del interior: curvas, paralelas o convergentes?
2. b) Al movernos por el interior, ¿el campo aumenta, disminuye o se mantiene prácticamente constante?
3. c) ¿Qué ocurre con el campo en el exterior, en comparación con el interior?

Por una espira circular colocada en horizontal circula una corriente en sentido antihorario, vista desde arriba. La espira, vista desde arriba, se representa en la figura.

1. a) Aplique la regla de la mano derecha e indique el sentido del campo magnético en el centro de la espira: ¿hacia arriba o hacia abajo?
2. b) Razone qué cara de la espira (la superior o la inferior) se comporta como polo norte.

Un toroide es una bobina arrollada en forma de anillo. El campo en su interior, a una distancia $r$ del eje, es $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$, donde $N$ es el número total de espiras. Un toroide de $N = 500$ espiras lleva una corriente $I = 2\ \text{A}$. Calcule el campo en los puntos a $r = 10\ \text{cm}$ del eje ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Una sonda de laboratorio mide el campo magnético a $r = 4\ \text{cm}$ de un cable recto muy largo y obtiene $B = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$.

1. a) Despeje la corriente de la expresión $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcule su valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

El cable del pantógrafo de un tren eléctrico puede llevar corrientes de $I = 500\ \text{A}$.

1. a) Despeje la distancia $r$ de la fórmula del campo del hilo, $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcule a qué distancia del cable el campo que crea iguala al campo magnético terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Calcule el campo a $10\ \text{m}$ del cable y comente si podría llegar a afectar a una brújula situada a esa distancia.

Una bobina plana de $N = 50$ espiras tiene un radio $R = 8\ \text{cm}$ y lleva una corriente $I = 0,3\ \text{A}$. El campo en su centro es $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\cdot R}$.

1. a) Calcule su valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) ¿Cuántas veces mayor es que el campo de una única espira del mismo radio con la misma corriente? Razone la respuesta con la fórmula.

En el laboratorio se enrollan $N = 400$ espiras sobre un tubo de $L = 20\ \text{cm}$ de longitud y se hace circular una corriente $I = 1,5\ \text{A}$.

1. a) Calcule la densidad de espiras $n = \frac{N}{L}$, en espiras por metro.
2. b) Calcule el campo en el interior del solenoide, $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Se quiere construir un solenoide que genere en su interior un campo de $B = 2,5\cdot10^{-3}\ \text{T}$ con una corriente máxima de $I = 2\ \text{A}$.

1. a) Despeje la densidad de espiras $n$ de la expresión $B = \mu_0\cdot n\cdot I$.
2. b) Calcule cuántas espiras por metro se necesitan ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Si el tubo sobre el que se bobina mide $40\ \text{cm}$, ¿cuántas espiras habrá que enrollar en total?

Del hilo A, que lleva una corriente $I_A = 5\ \text{A}$, medimos el campo a $10\ \text{cm}$ de distancia; del hilo B, que lleva $I_B = 20\ \text{A}$, lo medimos a $40\ \text{cm}$.

1. a) Calcule ambos campos con $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Explique, a partir de la dependencia $B \propto \frac{I}{r}$, por qué los dos resultados son iguales.

Un toroide de $N = 1000$ espiras tiene un radio medio de $15\ \text{cm}$.

1. a) Despeje la corriente de la expresión $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcule qué corriente hace falta para que el campo en el interior valga $B = 4\cdot10^{-3}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

¿De qué radio debería ser una espira por la que circula una corriente $I = 1\ \text{A}$ para que el campo en su centro iguale al campo magnético terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$?

1. a) Despeje el radio de la expresión $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$.
2. b) Calcule su valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$) y expréselo en centímetros.

Dos conductores rectilíneos y paralelos, separados $20\ \text{cm}$, llevan corrientes del mismo sentido $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). El montaje, en el plano perpendicular a los hilos, se muestra en la figura.

1. a) Calcule el módulo del campo que crea cada hilo en el punto medio del segmento que los une.
2. b) Con la regla de la mano derecha, determine el sentido de cada uno de esos campos en el punto medio y justifique que el campo total allí es nulo.
3. c) Si las corrientes fueran distintas, ¿seguiría siendo nulo el campo en el punto medio? Razone la respuesta.

Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, perpendiculares al plano del papel y separados $20\ \text{cm}$, llevan corrientes de sentidos opuestos, $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). La situación se representa en la figura.

1. a) Determine con la regla de la mano derecha el sentido del campo magnético creado por cada hilo en el punto medio y compruebe que, al ser las corrientes opuestas, ahí se suman.
2. b) Calcule el campo magnético total en el punto medio.
3. c) Calcule el campo magnético total en el punto $P$ de la línea que une los hilos, situado fuera del segmento, a $10\ \text{cm}$ del hilo 2 y a $30\ \text{cm}$ del hilo 1, indicando si allí los campos se suman o se restan.

Dos conductores rectilíneos paralelos, separados $d = 40\ \text{cm}$, llevan corrientes del mismo sentido $I_1 = 30\ \text{A}$ e $I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observe el esquema:

1. a) Razone, con la regla de la mano derecha, en qué zona (entre los hilos o fuera de ellos) los campos de ambos tienen sentidos opuestos.
2. b) Plantee la condición $B_1 = B_2$ para un punto situado a una distancia $x$ del primer hilo, dentro del segmento que los une, y resuelva la ecuación resultante.
3. c) Compruebe la coherencia del resultado: ¿queda el punto más cerca del hilo de menor corriente? ¿Por qué tiene que ser así?

Un hilo recto muy largo, contenido en el plano de una espira circular de radio $R = 10\ \text{cm}$, pasa a $d = 5\ \text{cm}$ de su centro. Por el hilo circulan $I_1 = 10\ \text{A}$ y por la espira $I_2 = 4\ \text{A}$, con sentidos elegidos de modo que sus campos en el centro de la espira tengan sentidos opuestos ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Calcule el módulo del campo del hilo en el centro de la espira.
2. b) Calcule el módulo del campo de la espira en su centro.
3. c) Justifique por qué ambos campos son perpendiculares al plano de la espira y calcule el campo total en el centro.

Los imanes de un equipo de resonancia magnética (IRM) son solenoides por los que circulan corrientes intensas. Considere uno con $n = 2000\ \text{espiras/m}$ e $I = 15\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$; campo magnético terrestre $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$).

1. a) Calcule el campo en el interior del solenoide.
2. b) ¿Cuántas veces mayor es que el campo magnético terrestre?
3. c) Los equipos reales usan bobinas superconductoras en lugar de bobinas normales. Comente qué ventaja aporta que el superconductor no ofrezca resistencia eléctrica cuando se necesitan corrientes grandes y permanentes.

En el laboratorio se mide el campo magnético creado por un hilo muy largo a varias distancias, con estos resultados: a $r = 20\ \text{cm}$ se obtiene $B = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 10\ \text{cm}$, $B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 5\ \text{cm}$, $B = 8\cdot10^{-5}\ \text{T}$.

1. a) Represente en su cuaderno $B$ frente a $\frac{1}{r}$ y explique qué tipo de relación aparece.
2. b) La pendiente de la recta anterior es $\frac{\mu_0\cdot I}{2\pi}$; estímela a partir de los datos y deduzca el valor de la corriente $I$ que recorre el hilo ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Un toroide de $N = 600$ espiras tiene un radio interior de $8\ \text{cm}$ y un radio exterior de $12\ \text{cm}$, y lleva una corriente $I = 5\ \text{A}$. El campo en su interior, a una distancia $r$ del eje, es $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observe la sección del toroide en la figura.

1. a) Calcule el campo junto al borde interior ($r = 8\ \text{cm}$) y junto al borde exterior ($r = 12\ \text{cm}$).
2. b) Calcule el campo en el radio medio ($r = 10\ \text{cm}$) y compruebe que queda entre los dos valores anteriores.
3. c) A la vista de los resultados, ¿es uniforme el campo dentro de un toroide? ¿Por qué se usa entonces la aproximación del radio medio?