Ejercicios: Energía y potencial eléctrico

Una pequeña esfera del laboratorio tiene una carga $Q = 3\,\mu\text{C}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule el potencial eléctrico a $0,5\ \text{m}$ de la esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indique el signo del potencial y razone en qué lugar se toma, por convenio, $V = 0$.

El potencial eléctrico es una magnitud escalar; el campo eléctrico, vectorial.

1. a) Explique qué diferencia práctica tiene esto a la hora de sumar, en un punto, las contribuciones de varias cargas.
2. b) ¿Puede ser negativo el potencial en un punto? Ponga un ejemplo.
3. c) ¿Qué signo tiene el potencial creado por una carga positiva?

Una carga $q = 2\,\mu\text{C}$ se encuentra en un punto donde el potencial es $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcule su energía potencial eléctrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Si la carga, que es positiva, se moviera espontáneamente hacia un punto de menor potencial, razone si su energía potencial aumentaría o disminuiría.

A partir de la expresión del trabajo $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Deduzca la equivalencia $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Explique qué significa que entre los bornes de una batería de carro haya una diferencia de potencial de $12\ \text{V}$, hablando de la energía de cada culombio de carga que la atraviesa.
3. c) Indique cuáles de estas expresiones equivalen a un voltio: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Una carga $q = 5\,\mu\text{C}$ se desplaza desde un punto A, con potencial $V_A = 200\ \text{V}$, hasta un punto B, con $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Razone, a partir del signo del resultado, si el campo «empuja» espontáneamente a la carga en ese sentido del desplazamiento.

En física de partículas se usa mucho el electronvoltio: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dato: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Exprese en julios una energía de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifique la equivalencia anterior calculando, con $W = q \cdot \Delta V$, la energía que gana un electrón al ser acelerado con una diferencia de potencial de $1\ \text{V}$.

Dos cargas puntuales $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ y $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ están separadas $0,3\ \text{m}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule la energía potencial eléctrica del sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interprete el signo del resultado: al separar las cargas hasta el infinito, ¿hay que aportar energía o se libera? Relaciónelo con el hecho de que las cargas se repelen.

Entre el interior y el exterior de una célula hay una diferencia de potencial de unos $70\ \text{mV}$, con el interior negativo (dato: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). La figura muestra el esquema de la membrana.

1. a) Exprese esa diferencia de potencial en voltios e indique cuánta energía hace falta, como mínimo, para transportar un culombio de carga positiva del interior al exterior contra el campo.
2. b) Calcule la energía necesaria para transportar un ion sodio $\text{Na}^+$ (carga $+e$) del interior al exterior, en julios y en electronvoltios.

En un generador de Van de Graaff del laboratorio se mide un potencial de $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ del centro de la esfera cargada (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ y suponga la carga puntual).

1. a) Despeje la carga de la expresión $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ y calcúlela.
2. b) ¿Cuánto valdría el potencial al doble de distancia? Razone la proporcionalidad que ha usado.

Dos cargas $q_1 = 4\ \text{nC}$ y $q_2 = -2\ \text{nC}$ están, respectivamente, a $0,3\ \text{m}$ y a $0,5\ \text{m}$ de un punto P (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule el potencial que crea cada carga en P.
2. b) Calcule el potencial total en P.
3. c) Explique por qué aquí las contribuciones se suman directamente como números, mientras que para el campo eléctrico hay que sumar vectores.

Una carga $q = -3\,\mu\text{C}$ se desplaza desde un punto A ($V_A = 500\ \text{V}$) hasta un punto B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcule el trabajo realizado por el campo, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interprete el signo negativo del resultado: ¿es un desplazamiento espontáneo o debe realizarlo un agente externo?
3. c) Razone hacia dónde se movería espontáneamente esta carga negativa: ¿hacia potenciales mayores o hacia potenciales menores?

Un detector registra partículas muy energéticas (dato: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Una partícula registrada tiene una energía de $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: exprésela en electronvoltios.
2. b) Una partícula alfa emitida en una desintegración nuclear tiene una energía de $5\ \text{MeV}$: exprésela en julios.
3. c) Explique, comparando los números anteriores, por qué el electronvoltio es una unidad cómoda en física atómica y nuclear.

En un microscopio electrónico, un electrón parte del reposo y se acelera mediante una diferencia de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observe el esquema:

1. a) Calcule la energía cinética que gana el electrón, en julios y en electronvoltios.
2. b) Aplique la conservación de la energía, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, y calcule su velocidad final.

Para que dos protones puedan fusionarse en el interior del Sol deben vencer su repulsión eléctrica y acercarse muchísimo (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). La figura muestra la energía potencial del par de protones en función de su distancia.

1. a) Calcule la energía potencial eléctrica de dos protones separados una distancia $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Exprese el resultado en electronvoltios.
3. c) Razone por qué la repulsión eléctrica dificulta la fusión y qué papel juega la altísima temperatura del interior solar para superarla.

Dos cargas idénticas $q = 5\ \text{nC}$ ocupan los puntos $(0, 0)$ y $(0, 40)$, con las coordenadas en centímetros (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Razone, dibujando los vectores en su cuaderno, que el campo eléctrico total en el punto medio $P(0, 20)$ es nulo.
2. b) Calcule el potencial eléctrico en ese mismo punto P.
3. c) Saque una conclusión: ¿es cierto que donde el campo es nulo el potencial también lo es?

Entre los dos electrodos planos de un detector de humo por ionización, separados $d = 5\ \text{cm}$, hay un campo eléctrico uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dato: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Observe el esquema:

1. a) Calcule la diferencia de potencial entre los electrodos, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcule el trabajo que realiza el campo sobre un ion positivo de carga $+e$ que va del electrodo positivo al negativo.
3. c) Compruebe que el resultado coincide con el calculado como $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ y explique por qué tiene que ser así.

En la etapa de aceleración de un equipo de protonterapia (tratamiento de tumores con haces de protones), un protón parte del reposo en un punto A con $V_A = 3000\ \text{V}$ y llega a un punto B con $V_B = 500\ \text{V}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcule la energía potencial que pierde el protón entre A y B.
2. b) Aplique la conservación de la energía mecánica y calcule la velocidad del protón en B.
3. c) Razone, con el signo de la carga y la variación de la energía potencial, si el protón podría moverse espontáneamente en sentido contrario, de B a A.

Dos cargas puntuales $q_1 = 6\ \text{nC}$ y $q_2 = -2\ \text{nC}$ están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 1\ \text{m}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Plantee la condición $V = 0$ en un punto del eje y exprésela como una relación entre las distancias a cada carga: ¿qué relación debe cumplirse entre $r_1$ y $r_2$?
2. b) Encuentre el punto del eje, entre las dos cargas, donde el potencial se anula.
3. c) Encuentre el punto del eje, a la derecha de $q_2$, donde también se anula.
4. d) Razone por qué no existe ningún punto con $V = 0$ a la izquierda de $q_1$.

Dos cargas $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ y $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, sujetas con soportes aislantes, pasan de estar separadas $1\ \text{m}$ a estar separadas $0,25\ \text{m}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule la energía potencial eléctrica inicial y final del sistema.
2. b) Calcule el trabajo que debe realizar un agente externo en el proceso, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Razone el signo del resultado: ¿por qué hay que aportar trabajo para acercar dos cargas que se repelen?
4. d) ¿Cuánto vale, en ese mismo proceso, el trabajo realizado por el campo eléctrico? Relaciónelo con el del agente externo.

Su compañero afirma: «si en un punto el campo eléctrico es nulo, el potencial también es nulo; y si el potencial es nulo, el campo también lo es» (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refute la primera parte con un ejemplo numérico: calcule el punto del segmento entre las cargas $q_1 = 9\ \text{nC}$ y $q_2 = 4\ \text{nC}$, separadas $1\ \text{m}$, donde el campo es nulo, y calcule el potencial en ese punto.
2. b) Refute la segunda parte con otro ejemplo numérico: calcule el potencial y el campo en el punto medio entre las cargas $q_1 = +5\ \text{nC}$ y $q_2 = -5\ \text{nC}$, separadas $40\ \text{cm}$.
3. c) Explique, a partir de las definiciones de campo (vectorial) y de potencial (escalar), por qué las dos afirmaciones son falsas en general.

En una región, las superficies equipotenciales son planos paralelos. Dos de ellos, separados $2\ \text{cm}$, tienen potenciales $V_1 = 300\ \text{V}$ y $V_2 = 100\ \text{V}$. Observe el esquema:

1. a) Calcule el campo eléctrico entre los dos planos, suponiéndolo uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, e indique su dirección y su sentido (el campo apunta hacia los potenciales decrecientes).
2. b) Calcule el trabajo que realiza el campo al desplazar una carga $q = 2\ \text{nC}$ desde el plano de $300\ \text{V}$ hasta el de $100\ \text{V}$.
3. c) Un estudiante desplaza la carga primero «de lado», sin salir del plano de $300\ \text{V}$, y solo después la lleva hasta el plano de $100\ \text{V}$ por un camino quebrado. Razone, usando que el campo eléctrico es conservativo (el trabajo solo depende de los puntos inicial y final), que el trabajo total es el mismo que en el apartado b), y calcule el trabajo del tramo «de lado».

Durante una tormenta, la base de una nube puede estar a un potencial de unos $10^{8}\ \text{V}$ respecto al suelo, y un rayo llega a transferir una carga de $20\ \text{C}$ (dato: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcule la energía liberada en el rayo, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Exprésela en kilovatios-hora.
3. c) El consumo eléctrico mensual de una casa es de unos $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compare ambos valores y razone por qué, a pesar de esa enorme energía, es tan difícil aprovechar la de los rayos (piense en la potencia instantánea y en la impredecibilidad de las descargas).