Ejercicios: El modelo cuántico y las partículas subatómicas

En el modelo cuántico actual ya no se habla de órbitas, como hacía Bohr, sino de orbitales. Explique la diferencia entre una órbita y un orbital: ¿qué información da cada uno sobre el electrón y cuál de los dos conceptos describe una trayectoria determinada?

El número cuántico principal $n$ etiqueta los niveles de energía del átomo.

1. a) ¿Qué valores puede tomar $n$?
2. b) ¿Qué les ocurre a la energía del nivel y al tamaño medio de la nube electrónica cuando $n$ aumenta?

Dentro de cada nivel hay subniveles. En este tema estudiaremos los subniveles s y p: el orbital s tiene forma esférica y cada orbital p tiene forma de dos lóbulos simétricos. Sus formas se muestran en la figura.

1. a) ¿Cuántos electrones caben como máximo en un orbital s?
2. b) Un subnivel p tiene $3$ orbitales: ¿cuántos electrones caben en total en un subnivel p?

En $1927$, Heisenberg enunció su principio de incertidumbre. Explique qué afirma ese principio sobre la posición y la velocidad del electrón y por qué, a causa de él, los físicos dibujan el electrón como una «nube de probabilidad» y no como una bolita que sigue una trayectoria.

Indique la carga eléctrica (positiva, negativa o nula) y la localización en el átomo (núcleo o corteza) del protón, del neutrón y del electrón. ¿Cuáles de las tres partículas tienen casi la misma masa? ¿Cuál es unas $2000$ veces más liviana que las otras dos?

Desde los años sesenta del siglo pasado sabemos que protones y neutrones no son partículas elementales: están formados por quarks.

1. a) ¿Cuántos quarks componen un protón? ¿Y un neutrón?
2. b) ¿Qué diferencia hay, en este sentido, entre esas dos partículas y el electrón?

Los escáneres PET de los hospitales funcionan gracias a los positrones.

1. a) ¿Qué es un positrón? ¿En qué se parece y en qué se diferencia de un electrón?
2. b) ¿Qué ocurre cuando un positrón se encuentra con un electrón?

Las centrales nucleares usan como combustible uranio-235, mientras que el uranio más abundante en la naturaleza es el uranio-238; ambos tienen número atómico $Z = 92$. La figura representa los dos núcleos.

1. a) Explique qué son los isótopos de un elemento.
2. b) Calcule cuántos neutrones tiene en el núcleo cada uno de estos dos isótopos del uranio.

Los electrones ocupan los subniveles en este orden: $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$. Cada subnivel s admite $2$ electrones y cada subnivel p, $6$.

1. a) Escriba la configuración electrónica del sodio ($Z = 11$) y la del cloro ($Z = 17$).
2. b) ¿Cuántos electrones tiene cada uno de los dos átomos en su último nivel ocupado?

El yodo es un oligoelemento esencial que se añade a la sal de mesa; su isótopo más común tiene $Z = 53$ y $A = 127$.

1. a) Calcule los protones, neutrones y electrones de un átomo neutro de yodo.
2. b) Escriba su símbolo con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.

El esmalte de los dientes contiene calcio y muchas pastas dentales llevan flúor.

1. a) El átomo de calcio ($Z = 20$) forma el ion $\text{Ca}^{2+}$: ¿cuántos electrones tiene ese ion?
2. b) El átomo de flúor ($Z = 9$) forma el ion $\text{F}^{-}$: ¿cuántos electrones tiene ese ion?
3. c) Explique, pensando en sus configuraciones electrónicas, por qué los átomos tienden a ganar o perder electrones hasta quedarse con el último nivel completo.

En radioterapia contra el cáncer se utiliza cobalto-60, una fuente radiactiva con $Z = 27$.

1. a) Escriba el símbolo del cobalto-60 con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
2. b) Calcule sus protones, neutrones y electrones, suponiendo el átomo neutro.
3. c) ¿Qué diferencia hay entre el cobalto-60 y el cobalto-59, el isótopo estable del mismo elemento?

El cloro natural es una mezcla de dos isótopos: un $75\ \%$ de cloro-35 y un $25\ \%$ de cloro-37.

1. a) Calcule la masa atómica media del cloro como media ponderada de las masas de sus isótopos.
2. b) La tabla periódica indica para el cloro una masa de $35,5\ \text{u}$: explique por qué ese valor no es un número entero si cada átomo de cloro tiene un número entero de partículas en su núcleo.

En una prueba de PET, el paciente recibe glucosa marcada con flúor-18 ($Z = 9$), un isótopo que emite positrones. Cuando un positrón encuentra un electrón, ambos se aniquilan y se emiten dos fotones gamma en direcciones opuestas, que detecta el anillo del escáner. El esquema del escáner se muestra en la figura.

1. a) Calcule los neutrones del flúor-18 y del flúor-19, el isótopo estable del flúor.
2. b) ¿Por qué, al detectar los dos fotones a la vez, el equipo sabe que la aniquilación ocurrió sobre la línea que une los dos detectores?
3. c) Los tumores consumen más glucosa que el tejido sano: razone por qué el PET permite localizarlos.

Los quarks tienen cargas eléctricas fraccionarias: el quark up tiene $+\frac{2}{3}$ de la carga del protón y el quark down, $-\frac{1}{3}$. El protón está formado por dos quarks up y uno down (uud), y el neutrón, por uno up y dos down (udd). La figura resume esa composición.

1. a) Compruebe, sumando las cargas de sus quarks, que el protón tiene carga $+1$ y el neutrón, carga $0$.
2. b) ¿Qué combinación de tres quarks up o down daría una partícula de carga $-1$?
3. c) ¿Y una de carga $+2$? Justifique ambas respuestas con la suma de fracciones.

El nivel $n = 1$ tiene un único subnivel s; el nivel $n = 2$ tiene un subnivel s y un subnivel p.

1. a) ¿Cuántos electrones caben como máximo en el nivel $n = 1$? ¿Y en el nivel $n = 2$?
2. b) La primera fila de la tabla periódica tiene $2$ elementos y la segunda, $8$: relacione esos números con los resultados del apartado anterior.

La masa atómica media del boro es $10,8\ \text{u}$ y sus dos isótopos naturales son el boro-10 y el boro-11.

1. a) Llame $x$ a la fracción de boro-10 y plantee la ecuación que cumple la media ponderada: $10\cdot x + 11\cdot(1 - x) = 10,8$.
2. b) Resuélvala y exprese las abundancias de cada isótopo en porcentaje.
3. c) Compruebe el resultado calculando de nuevo la masa media con esas abundancias.

El magnesio natural tiene tres isótopos: magnesio-24 ($78,7\ \%$), magnesio-25 ($10,1\ \%$) y magnesio-26 ($11,2\ \%$).

1. a) Calcule la masa atómica media del magnesio como media ponderada.
2. b) Explique por qué el resultado está mucho más cerca de $24$ que de $26$.
3. c) ¿Podría la masa media de un elemento coincidir exactamente con un número entero? Razone en qué caso ocurriría.

Considere estas tres especies: $\text{F}^{-}$ ($Z = 9$), $\text{Ne}$ ($Z = 10$) y $\text{Na}^{+}$ ($Z = 11$).

1. a) Calcule el número de electrones de cada una.
2. b) ¿Son el mismo elemento? ¿Son isótopos entre sí? Justifique ambas respuestas.
3. c) Escriba la configuración electrónica común de las tres especies con el orden $1s$, $2s$, $2p$ y explique por qué se dice que son isoelectrónicas.

Calcule los protones, neutrones y electrones de cada una de estas especies y responda después:

1. a) ${}^{40}_{20}\text{Ca}^{2+}$
2. b) ${}^{37}_{17}\text{Cl}^{-}$
3. c) ${}^{35}_{17}\text{Cl}$

1. d) ¿Cuáles de ellas son isótopos entre sí? ¿Por qué?
2. e) ¿Cuáles tienen el mismo número de electrones?

El orden de llenado de los subniveles es $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $4s$ (fíjese: después de $3p$ se llena $4s$). Cada subnivel s admite $2$ electrones y cada subnivel p, $6$.

1. a) Escriba la configuración electrónica del potasio ($Z = 19$).
2. b) Escriba la configuración del ion sulfuro, $\text{S}^{2-}$ ($Z = 16$), y compruebe que coincide con la de un gas noble: ¿de cuál se trata?
3. c) El potasio es un metal que reacciona violentamente con el agua: explique, a partir de su configuración, por qué pierde con facilidad un electrón.

En un mismo orbital caben como máximo $2$ electrones y, según el principio de exclusión de Pauli, deben diferenciarse en su espín: uno con espín $+\frac{1}{2}$ y otro con espín $-\frac{1}{2}$ (puede imaginarlo como dos sentidos de giro sobre sí mismos).

1. a) Con esa regla, ¿cuántos electrones admite como máximo un subnivel p, que tiene $3$ orbitales?
2. b) ¿Cuántos electrones caben en total en el nivel $n = 2$, que tiene un subnivel s y un subnivel p?
3. c) Un estudiante escribe: «El orbital $2p$ es la trayectoria cerrada que recorren los electrones del segundo nivel». Corrija la frase usando lo que sabe del modelo cuántico.

El cobre de los cables eléctricos es una mezcla de dos isótopos, cobre-63 y cobre-65, con masa media $63,5\ \text{u}$.

1. a) Sin hacer cálculos, razone cuál de los dos isótopos es más abundante.
2. b) Plantee la ecuación de la media ponderada y calcule las abundancias porcentuales de ambos isótopos.
3. c) En medicina nuclear se usa a veces cobre-64, producido artificialmente. ¿Sigue siendo cobre? Explique qué es lo que decide que un átomo sea de cobre y no de otro elemento.

Reto del tema. ¿Cómo sabemos qué hay dentro de la materia si no podemos ver un átomo? Investigue la escala atómica y el paso del modelo de Thomson al cuántico mediante una experiencia casera.

1. Medida experimental: Corte 5 cuadrados de papel de aluminio de lados crecientes ($L = 5,0\text{ cm}$; $8,0\text{ cm}$; $10,0\text{ cm}$; $12,0\text{ cm}$; $15,0\text{ cm}$), con incertidumbre de $\pm 0,1\text{ cm}$. Mida la masa de cada uno en una balanza de precisión ($\pm 0,01\text{ g}$).

2. Tratamiento de datos: Construya una tabla con área ($A = L^2$), masa ($m$) e incertidumbres asociadas. Represente la gráfica $m$ frente a $A$. A partir de la pendiente y de la densidad del aluminio ($2,70\text{ g/cm}^3$), calcule el espesor de la lámina y estime cuántos átomos apilados contiene ($d \approx 0,28\text{ nm}$).

3. Propuesta razonada: Redacte un informe breve: explique por qué las partículas $\alpha$ de Rutherford atravesaban casi todas láminas similares con desviaciones mínimas mientras unas pocas se desviaban mucho o rebotaban, y por qué estas grandes desviaciones refutaron el modelo de Thomson, y justifique cómo el modelo cuántico actual describe ese volumen atómico mediante orbitales y probabilidad electrónica.

Se valorará:

• Rigor en la toma de medidas, tabla con incertidumbres y gráfica lineal.

• Corrección en el cálculo del espesor y estimación de capas atómicas.

• Coherencia científica al contrastar los modelos clásicos y el modelo cuántico.