Ejercicios: Satélites y cuerpos celestes

La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura de $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre. La velocidad orbital de un satélite en órbita circular es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y radio terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita de la estación (sin escala):

1. a) Exprese el radio de la órbita, $r = R_T + h$, en metros.
2. b) Calcule la velocidad orbital de la ISS, en $\text{m/s}$, y expréselo en $\text{km/s}$.

La Luna, el satélite natural de la Tierra, orbita a una distancia media entre centros de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcule su velocidad orbital con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, en $\text{m/s}$.
2. b) Compárela con la velocidad orbital de la ISS, unos $7,7\ \text{km/s}$: ¿cuál de los dos cuerpos orbita más rápido y por qué?

La velocidad orbital circular de un satélite es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Razone, a partir de la expresión, si un satélite más alejado del centro de la Tierra orbita más rápido o más despacio que uno cercano.
2. b) Si el radio de la órbita se multiplica por $4$, ¿qué le ocurre a la velocidad orbital? Justifíquelo con la expresión.

Un satélite de observación describe una órbita circular de radio $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Escriba la expresión del periodo en función del radio y de la velocidad, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calcule el periodo en segundos y exprese el resultado en minutos.

Los satélites de comunicaciones Intelsat son geoestacionarios.

1. a) Explique qué significa que un satélite sea geoestacionario.
2. b) Indique las tres condiciones que debe cumplir su órbita: forma, plano que la contiene y periodo.
3. c) Razone por qué un satélite geoestacionario no puede quedarse «quieto» sobre la vertical de España (latitud $40^\circ$), sino sobre el ecuador.

En una órbita rasante (muy baja) el radio orbital es aproximadamente el radio terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule la velocidad orbital rasante con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, en $\text{km/s}$.
2. b) Compruebe que se obtiene prácticamente el mismo valor con $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ y explique, a partir de $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, por qué ambas expresiones coinciden.

La Luna orbita la Tierra a una distancia media $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calcule su periodo orbital con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, en segundos.
2. b) Exprese el periodo en días y compárelo con la duración de una lunación (unas cuatro semanas).

Las antenas parabólicas de televisión por satélite se instalan fijas, apuntando siempre al mismo punto del cielo.

1. a) Explique, usando las características de la órbita geoestacionaria, por qué no es necesario que la antena persiga al satélite.
2. b) Cite dos aplicaciones de los satélites geoestacionarios y razone qué ventaja aporta en ellas que el satélite parezca inmóvil.

El telescopio espacial Hubble describe una órbita circular a $540\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcule su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calcule su periodo orbital, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y exprésela en minutos.

Un satélite geoestacionario debe tener un periodo $T = 24\ \text{h}$. Combinando $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ se obtiene $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observe el esquema (sin escala):

1. a) Exprese el periodo en segundos.
2. b) Calcule $r^3$ y, extrayendo la raíz cúbica, el radio de la órbita geoestacionaria.
3. c) Calcule la altura sobre la superficie, $h = r - R_T$, y exprésela en $\text{km}$.

Los satélites del sistema europeo de navegación Galileo tienen un periodo orbital de $14\ \text{h}$. Use $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Exprese el periodo en segundos y calcule el radio de la órbita.
2. b) Calcule la altura de los satélites sobre la superficie terrestre.
3. c) Calcule su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

En la superficie terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, pero la gravedad disminuye con la altura según $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. La ISS orbita con $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcule el valor de $g$ en la órbita de la ISS.
2. b) Exprésele como porcentaje del valor en superficie.
3. c) Con ese resultado, explique por qué no es correcto afirmar que en la ISS «no hay gravedad» y qué significa que la estación y sus tripulantes se encuentren en caída libre continua.

Fobos, la mayor de las lunas de Marte, orbita a solo $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro del planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calcule su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calcule su periodo, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y expréselo en horas.
3. c) Marte rota sobre sí mismo en $24,6\ \text{h}$, en el mismo sentido en que orbita Fobos. Razone si Fobos, visto desde la superficie marciana, sale por el este o por el oeste.

El satélite español de observación de la Tierra PAZ describe una órbita circular a $514\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcule su velocidad orbital.
2. b) Calcule su periodo y exprésolo en minutos.
3. c) Calcule cuántas vueltas completas a la Tierra da cada día.

Un satélite artificial describe una órbita circular de radio $r$ alrededor de la Tierra, de masa $M_T$.

1. a) Justifique que la única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria y que desempeña el papel de fuerza centrípeta; escriba la ecuación $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Deduzca de ella la velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, y el periodo, $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$. Comente por qué la masa $m$ del satélite no aparece en los resultados.
3. c) Aplique las expresiones a un satélite meteorológico en órbita polar a $850\ \text{km}$ de altura y calcule su velocidad y su periodo. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

Un operador de telecomunicaciones va a colocar un satélite geoestacionario sobre el ecuador. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y periodo de rotación terrestre $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Partiendo de $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ y de $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$, deduzca la expresión $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
2. b) Calcule el radio de la órbita y la altura sobre la superficie.
3. c) Calcule la velocidad del satélite en su órbita y explique por qué, moviéndose a esa velocidad, parece inmóvil visto desde el suelo.

En las misiones Apolo, el módulo de mando permanecía en una órbita lunar circular a $110\ \text{km}$ de altura mientras el módulo lunar descendía a la superficie. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ y radio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observe el esquema (sin escala):

1. a) Calcule el radio de la órbita del módulo de mando.
2. b) Calcule su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, y exprésela en $\text{km/s}$.
3. c) Calcule su periodo, en horas, y estime cuántas vueltas completas a la Luna daba cada día el astronauta que quedaba a bordo.

Para futuras misiones tripuladas a Marte se estudia colocar satélites de comunicaciones «areoestacionarios», es decir, estacionarios respecto al suelo marciano. Datos: Marte rota en $T = 24,6\ \text{h}$; masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Razone qué periodo orbital deben tener esos satélites.
2. b) Calcule el radio de la órbita areoestacionaria con $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calcule su altura sobre la superficie de Marte y compárela con los $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ de la órbita geoestacionaria terrestre, explicando a qué se debe la diferencia.

Suponga que la Tierra tuviera la mitad de su masa actual, pero conservara su radio y su periodo de rotación de $24\ \text{h}$. Datos: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; el radio geoestacionario actual es $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Razone, a partir de $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, si el radio de la órbita geoestacionaria sería mayor, menor o igual que el actual.
2. b) Calcule el nuevo radio geoestacionario teniendo en cuenta que, al ser $r^3$ proporcional a $M_T$, el nuevo radio es $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) ¿Seguiría siendo el periodo de $24\ \text{h}$? ¿Cambiaría la velocidad orbital del satélite? Justifique ambas respuestas.

Un estudiante escribe en una prueba: «un satélite geoestacionario está en reposo, porque no se mueve respecto al suelo terrestre; por tanto, no necesita velocidad orbital ni tiene aceleración».

1. a) Identifique los dos errores del razonamiento.
2. b) Calcule la velocidad orbital real de un satélite geoestacionario ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), en $\text{km/s}$.
3. c) Calcule su aceleración centrípeta, $a_c = \frac{v^2}{r}$, e indique qué fuerza la proporciona.