Ejercicios: Ecuaciones y gráficas del movimiento

La gráfica $x$-$t$ de un móvil es una línea horizontal en $x = 5\ \text{m}$ durante $10\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) ¿Cómo está el móvil durante ese tiempo?
2. b) ¿Cuánto vale su velocidad? Justifíquelo a partir de la pendiente de la gráfica.

La gráfica $x$-$t$ de un peatón es una recta que pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(4, 10)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la pendiente de la recta e indique qué magnitud representa.
2. b) Escriba la ecuación de posición del peatón.

La gráfica $v$-$t$ de un ciclista es una línea horizontal en $v = 6\ \text{m/s}$ desde $t = 0$ hasta $t = 5\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué tipo de movimiento describe?
2. b) Calcule la distancia recorrida usando el área bajo la gráfica.

La gráfica $v$-$t$ de un carro es una recta que une los puntos $(0, 0)$ y $(4, 12)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la pendiente de la recta e indique qué magnitud representa.
2. b) ¿Cuál es su valor con su unidad?

Complete las siguientes frases sobre las gráficas del movimiento:

1. a) La pendiente de una gráfica $x$-$t$ representa la $\dots$
2. b) La pendiente de una gráfica $v$-$t$ representa la $\dots$
3. c) El área bajo una gráfica $v$-$t$ representa la $\dots$ recorrida.

La gráfica $a$-$t$ de un móvil es una línea horizontal en $a = 2\ \text{m/s}^2$ desde $t = 0$ hasta $t = 6\ \text{s}$, como se muestra en la figura.

Si el móvil parte del reposo, calcule su velocidad a los $6\ \text{s}$ usando el área bajo la gráfica $a$-$t$.

Un compañero le muestra dos gráficas $x$-$t$: en la primera, la posición crece siguiendo una recta inclinada; en la segunda, la posición crece siguiendo una curva cada vez más empinada. Se muestran en la figura.

1. a) ¿Cuál corresponde a un movimiento uniforme y cuál a uno acelerado?
2. b) Explique, en cada caso, qué le ocurre a la velocidad.

La gráfica $v$-$t$ de un carro es una recta que une los puntos $(0, 20)$ y $(5, 0)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) ¿El carro acelera o frena? Justifíquelo.
2. b) Calcule su aceleración a partir de la pendiente.

La gráfica $x$-$t$ de una excursión a pie tiene tres tramos rectos: de $(0, 0)$ a $(10, 50)$, de $(10, 50)$ a $(15, 50)$ y de $(15, 50)$ a $(25, 0)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la velocidad de cada tramo.
2. b) Interprete cada tramo: ¿qué hacen los excursionistas en cada uno?
3. c) ¿Cuánto dura la excursión completa?

La gráfica $v$-$t$ de un carro tiene tres tramos: de $(0, 0)$ a $(10, 20)$, de $(10, 20)$ a $(30, 20)$ y de $(30, 20)$ a $(40, 0)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la aceleración de cada tramo.
2. b) Calcule la distancia recorrida en cada tramo mediante las áreas (triángulos y rectángulo) bajo la gráfica.
3. c) ¿Cuál es la distancia total?

Al medir la posición de un carrito de laboratorio se obtienen estos datos: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 3\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 5\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 7\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Represente los puntos en una gráfica $x$-$t$ en su cuaderno y compruebe que están alineados.
2. b) Deduzca la ecuación de posición del carrito.
3. c) Prediga su posición cuando $t = 10\ \text{s}$.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

La posición de un móvil, en unidades del Sistema Internacional, es $x = 10 - 3 \cdot t$.

1. a) Calcule su posición en $t = 0\ \text{s}$, $t = 1\ \text{s}$ y $t = 2\ \text{s}$.
2. b) Describa la gráfica $x$-$t$: ¿es ascendente o descendente? ¿Qué indica la pendiente negativa?
3. c) Calcule en qué instante pasa por el origen, redondeando a un decimal.

La gráfica $v$-$t$ de un carro es una recta que une los puntos $(0, 5)$ y $(6, 17)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la aceleración.
2. b) Escriba la ecuación de la velocidad y calcule $v$ cuando $t = 3\ \text{s}$.
3. c) Calcule la distancia recorrida en los $6\ \text{s}$ dividiendo el área bajo la gráfica en un rectángulo y un triángulo.

En una gráfica $x$-$t$ conjunta, el móvil A sigue la recta $x_A = 4 \cdot t$ y el móvil B la recta $x_B = 20 + t$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Dibuje las dos rectas en su cuaderno.
2. b) ¿Qué significa el punto donde se cortan?
3. c) Calcule el instante y la posición de corte, redondeados a un decimal.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

La gráfica $a$-$t$ de un móvil que parte del reposo es: $a = 3\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$, y $a = 0$ de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la velocidad a los $4\ \text{s}$ usando el área bajo la gráfica $a$-$t$.
2. b) ¿Qué velocidad lleva a los $10\ \text{s}$? Justifíquelo.
3. c) Dibuje en su cuaderno la gráfica $v$-$t$ correspondiente.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

La gráfica $v$-$t$ de una ciclista tiene tres tramos rectos que unen los puntos $(0, 0)$, $(5, 10)$, $(15, 10)$ y $(20, 0)$, con $v$ en $\text{m/s}$ y $t$ en segundos.

1. a) Describa con palabras lo que hace la ciclista en cada tramo.
2. b) Calcule la distancia total recorrida mediante las áreas bajo la gráfica.

La gráfica $v$-$t$ de un tren entre dos estaciones es: acelera de $0$ a $15\ \text{m/s}$ en $30\ \text{s}$, mantiene $15\ \text{m/s}$ durante $60\ \text{s}$ y frena hasta pararse en $15\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la aceleración de cada tramo.
2. b) Calcule la distancia de cada tramo y la distancia total entre las estaciones.
3. c) Calcule la velocidad media del trayecto, redondeada a un decimal.

Al medir la posición de un carrito que baja por un plano inclinado se obtiene: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 0\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 1\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 4\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Compruebe que los datos cumplen la relación $x = t^2$ y, comparándola con $x = \frac{1}{2} a \cdot t^2$, deduzca la aceleración del carrito.
2. b) Prediga su posición cuando $t = 5\ \text{s}$.
3. c) Calcule cuánto avanza en cada segundo ($0$-$1\ \text{s}$, $1$-$2\ \text{s}$, $2$-$3\ \text{s}$) y explique, a partir de esos valores, por qué la gráfica $x$-$t$ es una curva y no una recta.

En una misma gráfica $v$-$t$, el carro A es una línea horizontal en $v = 20\ \text{m/s}$ y el carro B es una recta que sale del origen con aceleración $a = 4\ \text{m/s}^2$, como se muestra en la figura. Ambos parten del mismo punto a la vez.

1. a) Calcule el instante en que las dos líneas de la gráfica se cruzan.
2. b) Calcule la distancia que ha recorrido cada carro hasta ese instante, usando las áreas. ¿Están juntos?
3. c) Calcule el instante en que B alcanza realmente a A igualando las ecuaciones de posición.
4. d) Explique la diferencia entre «cruce de las gráficas $v$-$t$» y «alcance»: ¿qué es igual en cada caso?

La gráfica $v$-$t$ de un móvil tiene dos tramos: una recta de $(0, 0)$ a $(4, 8)$ y una horizontal en $v = 8\ \text{m/s}$ de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$, con $v$ en $\text{m/s}$.

1. a) Calcule la distancia recorrida en cada tramo.
2. b) Calcule la posición en $t = 2\ \text{s}$, $t = 4\ \text{s}$ y $t = 10\ \text{s}$ (tome el origen como posición inicial).
3. c) Con esos valores, describa la forma de la gráfica $x$-$t$: ¿qué tramo es curvo y qué tramo es recto? Justifíquelo.

La gráfica $x$-$t$ de un móvil es una recta que une los puntos $(0, 50)$ y $(10, 0)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Escriba su ecuación de posición.
2. b) Explique qué significan la posición inicial y el signo de la pendiente.
3. c) Calcule la posición cuando $t = 14\ \text{s}$ y explique el significado físico de que sea negativa.
4. d) ¿En qué instante se encuentra en $x = -50\ \text{m}$?

La gráfica $x$-$t$ de un paseo es: una recta de $(0, 0)$ a $(4, 40)$ y otra de $(4, 40)$ a $(8, 0)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la velocidad de cada tramo.
2. b) Calcule la distancia total recorrida y el desplazamiento total.
3. c) Calcule la velocidad media (desplazamiento entre tiempo) y la rapidez media (distancia entre tiempo).
4. d) Explique por qué una de las dos sale cero y la otra no.

Un móvil parte del reposo. Su gráfica $a$-$t$ es: $a = 4\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ a $t = 5\ \text{s}$, y $a = -2\ \text{m/s}^2$ de $t = 5\ \text{s}$ a $t = 15\ \text{s}$. Se muestra en la figura.

1. a) Calcule la velocidad máxima que alcanza y en qué instante.
2. b) Calcule la velocidad a los $15\ \text{s}$.
3. c) Dibuje en su cuaderno la gráfica $v$-$t$ y calcule la distancia total recorrida mediante su área.
4. d) Describa con palabras el movimiento completo.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Un compañero dibuja una gráfica $x$-$t$ en la que un tramo es una línea vertical y afirma que representa un cambio de posición instantáneo.

1. a) Explique por qué una gráfica $x$-$t$ no puede tener un tramo vertical: ¿qué implicaría sobre la posición del móvil en un mismo instante y sobre su velocidad?
2. b) Por el mismo motivo, razone si la gráfica $x$-$t$ puede «retroceder» hacia la izquierda en el eje del tiempo.
3. c) Dibuje en su cuaderno una gráfica $x$-$t$ correcta para esta situación: una persona sale de la casa, se detiene un rato a hablar con un vecino y vuelve a la casa. Justifique la forma de cada tramo.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.