Ejercicios: Intensidad del campo de un sistema de masas: cálculo vectorial

El valor de la gravedad en la superficie terrestre se puede obtener a partir de la ley de la gravitación universal, como se muestra en la figura.

1. a) Partiendo de la ley de la gravitación universal y de la definición de campo gravitatorio (fuerza por unidad de masa), deduzca la expresión del módulo del campo gravitatorio $g$ que crea un planeta esférico de masa $M$ y radio $R$ en su superficie.
2. b) Calcule su valor para la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compare el resultado con el valor habitual $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.

1. a) Calcule el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explique a qué se debe fijándose en la masa.

El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. La gráfica muestra esa dependencia:

1. a) Si a una distancia $r$ del centro de un planeta el campo vale $g$, ¿cuánto vale a una distancia $2\cdot r$? Razone la respuesta a partir de $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, expresada en radios terrestres $R_T$, el campo vale la cuarta parte del valor en la superficie?
3. c) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia?

En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcule el módulo del campo a $0,50\ \text{m}$ de su centro, tratando la esfera como una masa puntual ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Exprese el resultado en notación científica y compare su orden de magnitud con el del campo gravitatorio terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): ¿qué conclusión saca usted sobre la dificultad de la medida?

El campo gravitatorio $\vec{g}$ en un punto se define como la fuerza por unidad de masa que actuaría sobre una masa de prueba colocada en él: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir de esa definición, demuestre que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explique con sus palabras qué significa que en un punto del espacio el campo valga $g = 3,7\ \text{N/kg}$: ¿qué fuerza sufriría una masa de $1\ \text{kg}$? ¿Y una de $10\ \text{kg}$?

Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2,0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado fuera del segmento, a $1,0\ \text{m}$ de una masa y a $3,0\ \text{m}$ de la otra. La disposición se muestra en la figura.

1. a) Calcule el módulo del campo que crea cada masa en $P$ e indique su sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Como ambos campos tienen la misma dirección y sentido, calcule el campo total en $P$.

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial.

1. a) Indique la dirección y el sentido del vector $\vec{g}$ creado por la Tierra en un punto cualquiera de su entorno.
2. b) Dibuje en su cuaderno el vector campo gravitatorio en ocho puntos repartidos alrededor del planeta (un mapa del campo): ¿qué tienen en común las direcciones de todos los vectores y cómo cambia el módulo al alejarse del planeta?
3. c) Explique por qué se dice que el campo gravitatorio es central y atractivo.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra.

1. a) Calcule el campo gravitatorio en la superficie de la Luna. Datos: masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, radio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcule el cociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ y compruebe que vale aproximadamente $6$.

Dos masas puntuales, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ y $m_2 = 10\ \text{kg}$, están fijas en una mesa de laboratorio, en las posiciones $x_1 = 0$ y $x_2 = 2,0\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule el campo que crea cada masa en el punto $x = 0,50\ \text{m}$, indicando módulo y sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplique el principio de superposición para obtener el campo total en ese punto.
3. c) Razone hacia dónde se aceleraría una pequeña masa de prueba que se soltara allí en reposo.

Entre la Tierra y la Luna existe un punto en el que sus campos gravitatorios se cancelan. El esquema muestra la situación:

1. a) Con el origen en el centro de la Tierra, escriba la condición de anulación: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, donde $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ es la distancia Tierra–Luna.
2. b) Simplifique $G$, tome raíces cuadradas y despeje $x$ usando $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (observe que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, cuya raíz es $9$).
3. c) ¿A qué distancia de la Luna queda ese punto? Razone por qué está mucho más cerca de la Luna que de la Tierra.

Dos masas puntuales iguales, $m = 2,0\ \text{kg}$, están en los puntos $(0; 0)$ y $(2; 0)\ \text{m}$ del plano, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule la distancia de cada masa al punto $P(1; 1)\ \text{m}$ y el módulo del campo que cada una crea en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Dibuje en su cuaderno los dos vectores campo en $P$ y razone qué componentes se cancelan por simetría.
3. c) Sabiendo que cada vector forma $45^\circ$ con la vertical ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcule el campo total en $P$: módulo, dirección y sentido.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Los satélites geoestacionarios orbitan a una distancia $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule el campo gravitatorio terrestre a esa distancia ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) ¿Cuántas veces menor es que el campo en la superficie ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) El campo en un punto no depende de la masa que se coloque en él: explique qué significa esto a partir de la definición $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

Tres masas puntuales iguales, de $6,0\ \text{kg}$, están alineadas en las posiciones $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ y $x = 3,0\ \text{m}$ de una regla de laboratorio, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule el campo que crea cada una de ellas en el punto $x = 2,0\ \text{m}$, indicando módulo y sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplique la superposición y calcule el campo total en ese punto.
3. c) Sin resolver la ecuación, razone si debe existir algún punto entre $x = 2,0\ \text{m}$ y $x = 3,0\ \text{m}$ donde el campo total se anule: fíjese en el sentido del campo total en $x = 2,0\ \text{m}$ y en lo que ocurre al acercarse a la masa situada en $x = 3,0\ \text{m}$.

El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas.

1. a) Calcule el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de la Tierra ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distancia media $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compare el resultado con el campo en la superficie terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?
3. c) Si el Sol tira de nosotros con ese campo, ¿por qué no nos arranca de la superficie terrestre? (Pista: la Tierra y todo lo que hay sobre ella caen juntos hacia el Sol.)

Un gravímetro de prospección geofísica puede detectar variaciones del campo gravitatorio de hasta $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Se sospecha que bajo un terreno hay un gran depósito de agua, que aproximamos por una masa puntual de $10^{5}\ \text{kg}$ centrada a $20\ \text{m}$ de profundidad. El esquema muestra la disposición:

1. a) Calcule el campo gravitatorio que crea el depósito en la superficie, justo encima de él ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) ¿Podría el gravímetro detectarlo? Justifique la respuesta con los números.
3. c) Cite una aplicación práctica de este tipo de mediciones.

Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcule el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule la fuerza con la que Júpiter atrae a una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) y compárela con su peso en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista del resultado, comente críticamente la afirmación astrológica de que «la posición de Júpiter influye en las personas».

Una nave de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viaja de la Tierra a la Luna por la recta que une sus centros.

1. a) Calcule a qué distancia del centro de la Tierra se anula el campo gravitatorio total (Tierra más Luna). Datos: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; tome $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) ¿Qué fuerza gravitatoria neta ejercen entre la Tierra y la Luna sobre la nave cuando está en ese punto?
3. c) Con los motores apagados, la nave se desplaza $10^{6}\ \text{m}$ desde ese punto hacia la Luna: calcule allí el campo total (módulo y sentido) y razone si el punto de anulación es una posición de equilibrio estable o inestable.

Tres masas puntuales iguales, $m = 100\ \text{kg}$, ocupan tres vértices de un cuadrado de lado $L = 2,0\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule el módulo del campo que crea cada masa en el cuarto vértice (ojo: la masa del vértice opuesto dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dato: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Descomponga los tres vectores campo en las direcciones de los lados del cuadrado y calcule las componentes del campo total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcule el módulo del campo total y razone, por simetría, por qué su dirección es la de la diagonal.
4. d) ¿Qué fuerza sufriría una masa de prueba de $50\ \text{kg}$ colocada en ese vértice?

Tres masas puntuales iguales, $m = 150\ \text{kg}$, están en los vértices de un triángulo equilátero de lado $L = 3,0\ \text{m}$. El centroide dista $\frac{L}{\sqrt{3}}$ de cada vértice. La figura muestra la disposición:

1. a) Razone, usando la simetría y la suma de tres vectores iguales que forman $120^\circ$ entre sí, que el campo total en el centroide es nulo.
2. b) Se retira una de las masas: aplicando la superposición, demuestre que el campo en el centroide es igual y opuesto al que creaba la masa retirada, y calcule su módulo ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Calcule la fuerza que sufriría una masa de $20\ \text{kg}$ colocada en el centroide e indique su dirección y sentido.

Una estrella binaria está formada por dos astros de la misma masa, $M = 2,0\cdot10^{30}\ \text{kg}$, separados $d = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Razone que el campo gravitatorio total en el punto medio del segmento que une las estrellas es nulo.
2. b) Calcule el campo total en un punto de la mediatriz de ese segmento situado a $h = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$ del punto medio: dibuje los vectores en su cuaderno, razone qué componentes se cancelan y calcule el resultado ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Si en ese punto se suelta en reposo una sonda de masa pequeña, describa cualitativamente cómo empieza a moverse.

Usted puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

En una versión moderna del experimento de Cavendish se emplean dos esferas de wolframio de $500\ \text{kg}$ cada una, colocadas en los puntos $(0; 0)$ y $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Demuestre que el punto $P(1,5; 2)\ \text{m}$ dista $2,5\ \text{m}$ de cada esfera y calcule el módulo del campo que cada esfera crea en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) El ángulo que forma cada vector campo con la perpendicular al segmento que une las esferas cumple $\sen\theta = 0,6$ y $\cos\theta = 0,8$: razone qué componentes se cancelan y calcule el campo total en $P$ (módulo, dirección y sentido).
3. c) Calcule la fuerza sobre una pequeña esfera de $20\ \text{g}$ colocada en $P$ y comente por qué este experimento exige una sensibilidad extraordinaria.

Un astronauta realiza un paseo espacial a $10\ \text{m}$ del centro de la Estación Espacial Internacional, de masa $M_{ISS} = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, que orbita a $400\ \text{km}$ de altura sobre la superficie terrestre.

1. a) Calcule el campo gravitatorio de la Tierra en la posición del astronauta ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule el campo gravitatorio que la propia estación crea a $10\ \text{m}$ de su centro, tratándola como una masa puntual.
3. c) Compare los órdenes de magnitud de ambos campos y explique por qué el astronauta no «cae» hacia la estación a pesar de su enorme tamaño.
4. d) ¿Qué campo domina el movimiento del astronauta?