Ejercicios: Efectos cinemáticos y dinámicos sobre objetos en el campo

Un astronauta de $70\ \text{kg}$ está sobre la superficie de la Luna, donde el campo gravitatorio vale $g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso en la Luna.
2. b) Calcule su peso en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) ¿Cuántas veces menos pesa en la Luna? ¿Ha cambiado su masa? Razone la diferencia entre masa y peso.

La cima del Everest está a $8848\ \text{m}$ sobre el nivel del mar.

1. a) Calcule el campo gravitatorio en la cima aplicando $g = G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2}$ y suponiendo la Tierra esférica ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Compare el resultado con $9,8\ \text{m/s}^2$: apenas cambia. Explique a qué se debe.

Un satélite de $500\ \text{kg}$ orbita en una región donde el campo gravitatorio terrestre vale $g = 8,7\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él.
2. b) Indique la dirección y el sentido de esa fuerza.
3. c) Según la ley de acción y reacción, ¿qué fuerza ejerce el satélite sobre la Tierra?

Una persona está de pie sobre una balanza dentro de un ascensor.

1. a) Con el ascensor en reposo, la balanza marca $700\ \text{N}$: ¿cuánto vale el peso de la persona?
2. b) El ascensor arranca y acelera hacia arriba: razone si la balanza marcará más, menos o lo mismo, ayudándose de un dibujo de fuerzas en su cuaderno.
3. c) ¿Y si el ascensor baja frenando, es decir, acelerando también hacia arriba? Justifique la respuesta.

En los videos de la Estación Espacial Internacional los astronautas «flotan». Sin embargo, a los $400\ \text{km}$ de altura a los que orbitan, el campo gravitatorio terrestre vale unos $8,7\ \text{m/s}^2$, casi como en la superficie.

1. a) Explique por qué se dice que los astronautas y la estación están en «caída libre» permanente alrededor de la Tierra.
2. b) Razone por qué, en esas condiciones, el peso aparente dentro de la estación es nulo aunque el peso real no lo sea.

El vehículo explorador Perseverance, de $1025\ \text{kg}$, trabaja sobre la superficie de Marte, donde $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso en Marte.
2. b) Calcule cuánto pesaba en la Tierra antes del lanzamiento ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Razone por qué un vehículo así puede llevar ruedas y suspensiones más ligeras en Marte que en la Tierra.

Una báscula de precisión indica que el peso de un instrumento de laboratorio es de $588\ \text{N}$ en un lugar donde $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule la masa del instrumento.
2. b) Si el instrumento se llevara a la Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$), ¿cuál sería su masa? ¿Y su peso?
3. c) Explique qué magnitud no cambia al cambiar de planeta y por qué.

El telescopio espacial Hubble orbita a unos $540\ \text{km}$ de altura.

1. a) Usando la expresión $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, con $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, calcule el campo gravitatorio a esa altura.
2. b) Exprese el resultado como porcentaje del valor en la superficie.

Una persona de $60\ \text{kg}$ se pesa con una balanza dentro de un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) El ascensor sube con aceleración constante de $2,0\ \text{m/s}^2$: dibuje las fuerzas en su cuaderno, aplique $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ y calcule lo que marca la balanza (la fuerza normal).
2. b) Repita el cálculo cuando el ascensor baja con aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$.
3. c) ¿En qué caso se siente la persona más pesada? ¿Coincide con lo que usted nota en los viajes en ascensor?

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

El Observatorio del Teide está a $3718\ \text{m}$ de altitud.

1. a) Calcule $g$ a esa altura con $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcule la diferencia con el valor a nivel del mar.
3. c) Exprésela en porcentaje y comente si un instrumento de medida corriente la apreciaría.

La Estación Espacial Internacional orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre.

1. a) Calcule el campo gravitatorio terrestre a esa altura ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcule la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un astronauta de $75\ \text{kg}$ dentro de la estación.
3. c) Si la Tierra tira de él con esa fuerza, ¿por qué el astronauta flota dentro de la estación? Dé una explicación detallada usando los conceptos de caída libre y peso aparente.

Una persona de $70\ \text{kg}$ está de pie sobre una báscula en un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) El cable se rompe y el ascensor cae con aceleración $g$: calcule lo que marca la báscula y explique el resultado.
2. b) En una avería menos grave, el ascensor baja con una aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$: calcule la lectura de la báscula.
3. c) Razone si sería posible que la báscula marcase un valor negativo durante un descenso y qué condición tendría que cumplirse.

Los aviones de vuelos parabólicos se emplean para entrenar astronautas y ensayar experimentos médicos en ingravidez. El esquema muestra un perfil de vuelo de este tipo:

1. a) Explique cómo debe moverse el avión durante la parábola para que los pasajeros tengan peso aparente nulo: ¿cuánto debe valer su aceleración?
2. b) ¿Cuánto vale el peso aparente de una investigadora de $65\ \text{kg}$ durante la fase de ingravidez? ¿Y su peso real ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) ¿Por qué cree usted que la medicina espacial utiliza estos vuelos antes de enviar sus experimentos a la Estación Espacial?

Los satélites del sistema GPS orbitan a una distancia de $2,66\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra.

1. a) Calcule el campo gravitatorio terrestre en su órbita ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Calcule la fuerza gravitatoria sobre un satélite GPS de $1000\ \text{kg}$.
3. c) Compare esa fuerza con el peso del mismo satélite en la superficie ($g = 9,81\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?

El módulo de mando del Apolo 11 permaneció en órbita lunar a $110\ \text{km}$ de altura mientras dos astronautas descendían a la superficie.

1. a) Calcule el campo gravitatorio lunar en esa órbita ($M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule la fuerza gravitatoria sobre el módulo, de $5500\ \text{kg}$.
3. c) Compare esa fuerza con el peso del módulo en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

En metrología, los patrones de masa deben pesarse con extrema precisión.

1. a) Calcule $g$ en la cima del Mont Blanc ($4808\ \text{m}$) con $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcule la diferencia de peso de una masa patrón de $1,000\ \text{kg}$ entre la cima y el nivel del mar.
3. c) ¿A cuántos gramos de masa equivale esa diferencia? Comente por qué los laboratorios de calibración anotan la altitud del lugar de medida.

Una persona de $70\ \text{kg}$ viaja en un ascensor de pie sobre una báscula ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El viaje de subida tiene tres tramos: arranque con aceleración de $1,5\ \text{m/s}^2$ hacia arriba, tramo central a velocidad constante y frenado final con aceleración de $1,5\ \text{m/s}^2$ dirigida hacia abajo.

1. a) Calcule la lectura de la báscula en cada uno de los tres tramos.
2. b) Dibuje en su cuaderno la gráfica de la lectura en función del tiempo y señale en qué tramo la persona se siente más pesada y en cuál más ligera.
3. c) ¿Qué marcaría la báscula durante todo el viaje si el cable se rompiese justo al arrancar? Justifíquelo.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

El módulo de ascenso del Apolo 11, de $4700\ \text{kg}$, despegó de la superficie lunar ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcule el empuje mínimo que tuvo que dar su motor para elevarse verticalmente con una aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$ (aplique $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ en la vertical).
2. b) Calcule el empuje que haría falta para realizar la misma maniobra desde la superficie terrestre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista de los dos resultados, explique por qué el módulo lunar pudo despegar con un motor pequeño mientras que el cohete Saturno V necesitó un empuje de $3,4\cdot10^{7}\ \text{N}$.

En una torre de caída de un parque de diversiones, la cabina con una pasajera de $60\ \text{kg}$ cae libremente durante $2,0\ \text{s}$ y después frena con aceleración constante hasta detenerse ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Cuánto vale el peso aparente de la pasajera durante la caída libre? Justifíquelo.
2. b) La frenada se realiza con una aceleración de módulo $2\cdot g$ dirigida hacia arriba: calcule el peso aparente en esa fase y compárelo con el peso real.
3. c) Calcule la velocidad al final de la caída libre y la distancia recorrida durante la frenada.

Una sonda sale de la Tierra hacia el espacio profundo.

1. a) Calcule a qué altura sobre la superficie el peso de la sonda es la mitad que en el lanzamiento: plantee $G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0}{2}$, observe que $G$ y $M_T$ se cancelan, y despeje $h$ en función de $R_T$ ($R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$).
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra el peso sería la décima parte?
3. c) Exprese ambos resultados en radios terrestres y comente qué implica la rapidez con que decrece el campo sobre la validez de tomar $g$ constante en los problemas de proyectiles.

Un astronauta entrena saltos verticales con una velocidad inicial de $3,0\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule la altura máxima que alcanzaría en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) usando $h = \frac{v_0^2}{2\cdot g}$.
2. b) Calcule la altura máxima en la Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).
3. c) Calcule el tiempo total de vuelo (subida y bajada) en ambos lugares con $t = \frac{2\cdot v_0}{g}$.
4. d) Razone, a partir de las dos fórmulas, por qué tanto la altura como el tiempo de vuelo se multiplican por el mismo factor al cambiar de planeta, y calcule ese factor.